數學家的戀愛法則：助你找到「最佳愛人」

隨著社會的進步和人們生活水平的提高，養寵物的，也是越來越多。比如說，這兩年，就有一種叫做「單身狗」的生物，在互聯網上成堆出現……

一轉眼又是七夕了，怎樣才能「脫單」呢？更進一步說，怎樣才能找到最心儀的對象呢？

七夕來啦！（圖片來源：yuansuxi.com）

蘇格拉底的麥穗

關於愛情的思考，最有意思的，要數蘇格拉底的麥穗。

柏拉圖問蘇格拉底，什麼是愛情。蘇格拉底說，這樣吧，你去麥田裡，不要回頭，一直往前走，把你遇到的、最大的那棵麥穗摘下來、拿給我。

後面的事，大家都知道了：柏拉圖瞻前顧後，總覺得後面還有更好的，結果兩手空空、一棵麥穗也沒有得到。

蘇格拉底想借麥穗講的道理，你看懂了嗎？（左蘇格拉底雕像，en. wikipedia.org，右，網路圖）

開普勒的哀嘆

故事是不是真的，暫且不論。總之，蘇格拉底的意思是，愛情里猶豫不決，優柔寡斷的人，什麼都得不到。畢竟，世界變化太快，時不我待！而古希臘那會，人的平均壽命不過三四十，出城串個門都得老半天......

一千多年後，另一個人，遇到了更複雜的問題。

約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler），恐怕是古今中外知名度最高的天文學家。他從第谷浩如煙海的觀星資料中，發現了行星運動的三大規律。一方面，間接打破了宗教的枷鎖；另一方面，啟發牛頓創立了萬有引力定律。

人非草木，孰能無情。偉人也有傷心的時候，1611年，開普勒的髮妻芭芭拉因為疾病去世。為了照顧自己的孩子，也為了緩解自己的悲痛，開普勒斟酌再三，決定再婚。

開普勒夫婦（圖片來源：en. wikipedia.org）

消息一出，就有很多姑娘登門拜訪。開普勒本著嚴謹、求實的學者脾氣，給這些姑娘一一編號、挨個兒面試。

結果呢？

第一位姑娘體味不佳、第二位姑娘生活奢侈，第三位姑娘已經訂婚了……一直到第十一個，也就是最後一個，開普勒依然沒有辦法定奪。

「是上帝的懲罰還是我的罪孽」，老頭子悲憤至極，「使我不得不考慮這麼多的可能？」[1]

「愛情導師」登場

解決這一難題的，就是我們本文的主角，梅里爾·弗勒德（Merrill Flood）。

這麼晚才讓主角登場，真是不好意思。可這也不能怪我，跟梅里爾解決過的問題比起來，他個人的知名度實在太小了。

梅里爾生於1908年。對於那個年代的人來說，受教育的選擇並不是很多。他先是去了附近的內布拉斯加大學，取得了學士學位和碩士學位。之後，為了進一步深造，梅里爾給數所學校發送了申請，最終選擇了普林斯頓大學——不是因為普林斯頓名氣最大，而是因為普林斯頓提供的津貼最高……[2]

有意思的是，在之後的歲月里，梅里爾的研究多數和選擇有關。

在普林斯頓，梅里爾一方面認識了當時世界上最傑出的人物，馮·諾依曼，另一方面，也為自己的傑出，打下了基礎。

隨著二戰爆發，和很多學者一樣，梅里爾被美國戰爭部聘用。打仗嘛，總是面臨著各種各樣的決策。大概這種尋找最優解的氛圍，感染了梅里爾，使他對開普勒的難題產生了興趣，最終在1949年，提出了「未婚妻難題」。

解答千年難題

現在就讓我們看看，如何才能找到心儀的愛人。

數學家解決問題的第一步，是抽象。梅里爾的未婚妻難題，就是把開普勒的難題，變成一個數學遊戲。[3]

假設有一系列的求婚者，分別記為1、2、3、4、5……N，你一次只能面試其中的一個，每次都必須做出決定，接受或者拒絕；而這些求婚者有好有壞，那麼，怎麼才能以最大概率選中那個最好的呢？

為了方便說明，我們可以假定，只有三個求婚者，分別記為ABC。其中，A的條件各方面最好，B差一點，C最差。根據高中學過的排列組合，我們可以得到六種可能：

如圖所示，因為A可以出現在任何一個位置，所以，閉著眼睛蒙，只有三分之一的概率選到A。

梅里爾的方案是這樣的：首先，跳過第一個，不要管她，直接拒絕；然後把第二個跟第一個進行比較，如果比第一個好，就接受，否則就進入下一個，再次跟第一個進行對比，判斷要不要接受。

這樣我們就得到了一張決策圖，紅色代表路線，灰色代表不必進行的選擇，對號代表選到了A、找到了最優解。

那麼，用梅里爾的方案，成功的概率是多少呢？

二分之一！那麼，瞎蒙成功的概率又是多少呢！

通過這種思路，我們可以進行一系列的計算，當總數為N時，拒絕編號S之前的人，計算最優解的概率P，同時跟瞎蒙的概率Pg做比較：

e表示自然底數，表格參考了楊照崑老師的《摘麥穗問題》[4]

可以看出，隨著人數的增多，通過這種策略成功的概率也逐漸下降，最終穩定在37%左右；但是，成功率永遠比瞎蒙好。只需要一個小小的拒絕策略，就能增加成功的概率，這，正是數學的魔力。

其實，你還可以這麼干

實際上，梅里爾·弗勒德，不僅是愛情導師，而且是博弈論的奠基人，對冷戰時期的核戰略，提供了理論上的支持。[5]這樣的人物，長期不為人所知，實在頗為遺憾。

當然嘍，愛情是複雜的。從生理上講，它是多種激素的合力；從心理上講，它可能是一種特殊的應激；要是人人都能看出「A比B好」、 「C比D壞」，哪還會有那麼多始亂終棄的故事呢？如果是對A一見傾心，心動無比，那你對後面的BCDEF還有興趣比較嗎？

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如果像太平公主一樣對A一見傾心， 那還有後面的BCDEF什麼事？（《大明宮詞》劇照）

所以，對於愛情，有時候反而是老法子更管用：真誠，體貼，給對方講梅里爾·弗勒德的故事，告訴對方自己不會這麼干，「弱水三千我只喝一瓢」，順便商量一下將來的小孩叫啥……

參考文獻

[2] INFORMS. Flood, Merrill M.[EB/OL]. INFORMS, [2017-08-22]. https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.-Excellence/Biographical-Profiles/Flood-Merrill-M.

[3] FERGUSON T S. Who solved the secretary problem?[J]. Statistical science, 1989: 282–289.

[4] 摘麥穗問題[EB/OL]. [2017-08-23]. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_03_05_1/index.html.

[5] 失控[M]. 東西文庫, 譯. 新星出版社, 2011.

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