數學的伊甸樂園——康托創立集合論

集合論是19世紀末德國數學家格奧爾格·康托爾創造的。由於它深入到數學的每一個角落，所以成為一切數學分支的基礎。英國哲學家、數學家羅素稱讚康托爾的發現「或許是我們這個時代可引以為自豪的最偉大的事件」。

勤勉的康托爾

早在1638年，義大利天文學家伽利略發現了這樣一個問題，全體自然數與全體平方數，誰多誰少？不僅伽利略對此困惑不解，許多數學家也回答不了這個問題。誰又會想到，這一問題卻為現代數學基礎——集合論的誕生播下了種子。

格奧爾格·康托爾於1845年3月3日出生於俄國彼得堡一個猶太商人的家庭。1856年，康托爾全家遷往德國法蘭克福。康托爾一生主要時光是在德國渡過的。康托爾弟妹六人，他是老大。父親從小就給他們灌輸宗教方面的教育，並培養他們自信、自強和奮鬥精神。父親在給15歲的康托爾的一封信中寫到：「你的父親，或者說，你的父母以及在俄國、德國、丹麥的其他家人都在注視著你，希望你將來能成為科學地平線上升起的一顆明星」。這封信始終陪伴著康托爾，成為康托爾終生奮鬥的一個動力。

年輕的康托爾在一所寄宿學校讀書，操行評語上寫著：「他的勤勉和熱情堪稱典範，在初等代數和三角方面成績優異，其行為舉止值得讚揚。」他是一個有很高天賦，全面發展的學生，在數學方面尤為突出。但父親並不希望兒子獻身純粹數學，希望兒子能夠學工程學。1862年，康托爾上了蘇黎世大學，次年又轉入柏林大學學習。當時，維爾斯特拉斯、庫默爾等著名數學家都在柏林大學任教。受他們的影響，康托爾放棄了當工程師的打算，轉為研究純粹數學。

他22歲時獲得柏林大學數學博士學位，博士論文是關於數論方面的。他在博士論文中提出了一些奇異的觀點，這在常人看來似乎有些「離經叛道」。他卻認為，數學中提問的藝術比起解法來更為重要。後來，康托爾對數學獨特的貢獻就在於他以特殊的提問方式開闢了廣闊的研究領域。1869年康托爾在哈雷大學擔任助教，主要研究數論、不定方程和三角級數。

集合論的誕生

從古希臘時候起，對「無限」問題的研究就一直是數學家努力攻克的堡壘之一，但這一工作極其困難。比如，某種無窮多事物的計數問題，兩類無窮多事物的個數的比較問題等，人們對此類問題的認識還不夠深入，致使數學中有許多遺留問題未能得到徹底解決，例如實數是否可數？實數有多少？等等，在分析學中也留有不少的疑問。

到了19世紀下半葉，德國另一位大數學家戴德金作出了重大突破，他是對20世紀有極大影響的數學家。戴德金曾著文論及「無限」，認為一個系統S如能和本身的一部分相似，稱為是無限的，否則是有限的。在伽利略問題提出200多年以後，1873年康托爾開始了有關集合和無限等問題具有變革意義的工作。他第一次系統地研究了無窮集合的度量問題，並給出了度量集合的基本概念：一一對應，以此作為衡量集合大小的一把「尺子」。這樣，如果兩個集合之間能夠建立一一對應的關係，就說它們的個數是相等的。康托爾利用自己的這一結論成功地證明了實數集合與自然數集合之間不能建立起一一對應關係，從而證明了實數集合是不可數的。也就解決了伽利略問題。同年12月7日，他把自己這一發現寫信告訴戴德金。以後，數學史家把這一天看作是集合論的誕生日。

次年，29歲的康托爾結婚了。在度蜜月時他碰到了戴德金，兩人進行了學術交流。康托爾繼續戴德金的想法，認識到戴德金關於無限的定義是正確的，但是無限集彼此之間也是千差萬別，並不相似，應該加以區別。接著，康托爾就把他的這些研究成果寫成《論所有實代數的集合的一個性質》一文，發表在《克列爾數學雜誌》上。這是關於集合論的第一篇論文，具有開創性意義。該文詳細地論說了「無限」這一問題，受到世人注目，並成為後來的勢和序數理論的基礎。

以後十年間，他繼續探索並發表了一系列論文，並以《集合論基礎》為題作為專著於1883年出版。他開始了數學一個全新領域的研究。他發展了奠基於對實無窮作數學處理的超限數理論，並創造了相似於有限數運算的超限數算術。

逆境中蒙難的康托爾及其集合論

在康托爾看來，全體自然數與全體平方數一樣多，因為每一個自然數都對應著它的平方數。可是，人們自古以來一直認為「全體大於部分」，康托爾的新思想從根本上背離了數學中關於無窮的使用和解釋的傳統，在這時候是多麼需要獲得外界的支持啊。但當時他的新思想不能被多數人理解，得到的不是讚美和支持，而是一連串懷有敵意的批判，特別是他的老師克羅內克。克羅內克也是一位猶太人，柏林學派的領袖。他只承認有限，至多是自然數，對康托爾的「無限」觀持嚴厲批判態度。他憑藉手中的權勢，長期扣發康托爾的文稿，甚至攻擊康托爾是神經質，誣衊他是科學的騙子、叛徒，他的「思想是近十年來最具獸性的見解」。康托爾任教的哈雷大學在小城市，他薪金微薄，曾希望進入柏林大學任教，但身為柏林大學教授又專橫跋扈的克羅內克處處跟他為難，擋住他立足柏林的通路，給康托爾帶來了巨大的壓力。康托爾那已經十分緊張的神經支持不住了，終於在1884年患了精神分裂症。

為了使他創造的數學天國更加美好，當康托爾身體稍有康復，他又拿起筆，繼續探索。為捍衛真理，與傳統的舊觀念作鬥爭，在逆境面前不屈不撓。1891年克羅內克去世，康托爾的阻力減少了許多，數學界對康托爾的理論逐漸消除了疑慮。康托爾出版了他最著名的著作《關於超窮混合理論的論證》一書。他的理論在法國數學家阿達瑪那裡受到了重視，不久就在測度論、拓撲理論中獲得了應用，人們這才認識康托爾理論的重大意義。

1918年1月6日，這位19世紀末最有影響的數學家的心臟終於停止了跳動。真理是不可戰勝的，康托爾最終獲得了世界的承認，至今享有極高的聲譽，許多人為康托爾鳴不平，對他的遭遇深表同情，大數學家希爾伯特就曾熱烈讚美康托爾的業績，他大聲疾呼：「沒有任何一種力量，能夠把我們從康托爾所創造的伊甸樂園中趕走。」

現代數學的基石

研究數學首先得考慮一些確定的對象，如數、點、圖形等等，把任意一些確定的對象看成一個整體時，就是一個集合。集合論是研究集合的一般性質的。從康托爾把有限集推進到無限集開始，不僅它本身形成了數學的一個獨立分支，而且由於構成集合的對象的任意性，討論的性質的普遍性，它很快就滲透到幾乎所有的各個數學分支中，對數學產生了巨大的影響，成為整個現代數學的基礎。

集合論體現現代數學思想，它以全新的手段考察數學的研究對象，既能見樹木，又能看到森林。對某一類問題的研究，像蘑菇一樣成堆成片地作出發現。鄰域、映射、線性空間、結構、群、環、域等一系列現代數學概念，都建立在集合論之上。

集合論中的連續統假設更是數學問題來源於幾何、力學、物理等方面的現實問題的一個範例。它是康托爾在1882年提出的一個猜想：在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數。直觀地講，就是實數有多少的問題，一條直線上點有多少的問題。一百年來，經過許多著名數學家的不懈努力，取得了一些重大進展，而且為了解決它也找到一些著名的方法，這些方法對解決其它數學問題起了積極的作用。但是就猜想本身來說，還需要繼續尋求新的數學命題或採用其它有效途徑去攻克。

來源：數學中國

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