數學物理學家心中的十大最美方程（下）

「你認為最美的數學、物理方程是什麼？」當代十位大數學家、物理學家給出了他們自己的回答。這些回答構成了大雅之美（The Concinitas Project）的十篇文章。我們分上下兩期，為讀者帶來這些大師對自己眼中最美方程的精彩解讀。在本文中，我們將會看到代數幾何學家芒福德（Mumford）、數論家邦別里（Bombieri）和數學物理學家戴森（Dyson）則提出了純數學中的一些精妙的公式。著名的物理學家、諾貝爾物理學獎得主溫伯格（Weinberg）和蓋爾曼（Gell-Mann）也各自推出了其成名作。

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十三？

撰文大衛·芒福德1（David Mumford）

翻譯 陳見柯（中國傳媒大學）

校譯 林開亮

數學家們一大部分的工作是在研究那些經推理而得的「對象」，使其變得像我們日常生活一樣真實，雖然它們遠非實物一樣地存在。柏拉圖2正多面體在高維情形的推廣是相對簡單的例子。人們希望能在高迪3主持修建的聖家族大教堂4的某個尖頂上放置正二十面體，這的確是可真實觸碰的對象。但數學家們一致認為，空間的維數可以超過3，19世紀數學家施萊夫利5發現了柏拉圖多面體在四維情形下的推廣。對此，我們只能想像。記Mg是虧格g的光滑射影曲線的模空間，很長時間裡，我的一直關注於如何很好地理解其結構。在我的學生時代，即便以數學家所謂清晰的標準來看，這類空間似乎依舊籠罩在煙霧之中，它們是一種介於成熟數學和幻象之間的存在。我一度努力改變這種狀況。

與此同時，亞歷山大·格羅滕迪克6橫空出世。他有著前人從未具有的高度抽象的思維能力，並對人們尚未理解的具體問題予以啟發。事實證明，他深刻的結果可以應用於長期困擾我的空間結構問題。而那時的我卻不知該如何利用。這些結果的強大之處在20年後才變得明顯起來：通過與喬·哈里斯7合作，我們終於能夠將Mg看作真實的對象（藉助標準術語，它是一個擬射影代數簇）。

這個公式意味著什麼？它優美在何處？它表明：兩個對象（「線叢」）本質相同（「同構」）。等式左邊的對象決定Mg的幾何。追溯至高斯8，人們就已經知道空間可大致分為三種：像平面一樣的平坦空間；像球面一樣的正曲率空間；以及像馬鞍面一樣的負曲率空間（曲面上三角形內角和小於180°）。等式左邊決定了Mg在上述三分法中的位置；博特9將等式右邊稱為「重言」結構：完全由Mg決定的基本對象。上述同構表明，在g充分大的條件下，Mg是負曲率空間。

上述公式最讓人驚訝的地方是數字13。翻閱數學雜誌，你會發現，除頁碼外，論文中一般不會出現大於2的數字。此處出現的13是計數得出的，計數問題有悠久的歷史，另一個著名的例子，是一個三次曲面上恰好有27條直線（包括復直線）。就此而言，我始終覺得造物主在跟我們開玩笑。

1 大衛·芒福德，David Mumford，1937年——，美國數學家。

2 柏拉圖，Plato，約公元前427年——公元前347年，古希臘哲學家。

3 安東尼·高迪，Antoni Gaudí，1852年——1926年，西班牙建築師。

4聖家族大教堂（加泰羅尼亞語：Basílica i Temple Expiatori de la Sagrada Família），又譯作神聖家族大教堂，簡稱聖家堂（Sagrada Família），是位於西班牙加泰羅尼亞巴塞羅那的一座羅馬天主教大型教堂，始建後由西班牙建築師安東尼·高迪接手設計與建設。

5 路德維希·施萊夫利，Ludwig Schl?fli，1814年——1895年，瑞士數學家。

6 亞歷山大·格羅滕迪克，Alexander Grothendieck，1928年——2014年，法國數學家。

7 喬·哈里斯：Joe Harris，1951年—— ，美國數學家。

8 卡爾·弗里德里希·高斯：Carl Friedrich Gauss，1777年——1855年，德國數學家。

9 拉烏爾·博特：Raoul Bott，1923年——2005年，匈牙利裔美國數學家。

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Ree群公式

撰文 邦別里10（Enrico Bombieri）

翻譯 林開亮（西北農林科技大學理學院）

數學中存在美嗎？這個問題關心的是數學對象及其關係，可被驗證的證明即真正的數學對象。數學家通常會贊同，在定理和證明的結構之中的確存在著美，即便大多數時候這種美只有數學家自己才能看得到。

群的概念漂亮地表達了數學中的對稱。群是什麼？考慮任意一個對象，不論它是具體的還是抽象的。該對象的一個對稱——數學的行話叫自同構——就是該對象到自身的一個保持它的所有性質的映射。兩個對稱的乘積，即兩個映射的複合，仍然是一個對稱，而且每個對稱都有一個倒過來的逆。數學家認為連續的Lie群——譬如圓周或球面的旋轉群——是很大一部分數學和物理的漂亮基礎。除了連續的Lie群，還有不連續的有限群和離散群；有一些是通過將Lie群約化到一個有限或離散的框架下得到的。

群可以極其複雜。給定一個群，也許會出現這樣的情況，存在從該群到另一個群的一個保持乘積結構的映射。一個群稱為單群，如果這樣一個映射的像要麼是該群的一個複本要麼是只有一個元素（恆同映射）的平凡群。單群是構建所有群的基本積木，因此在研究任意群時，知道所有的單群非常重要。對稱的一般有限群首次出現在伽羅瓦（évariste Galois）關於代數方程的工作中。伽羅瓦在18歲時就證明了五次一般代數方程不可通過代數操作求解，其論證要點是，作用在5個字母a,b,c,d,e上的偶置換（即由偶數個對換相乘得到的置換）群A5是單群。這個群是最小的非交換的單群，同時也是正二十面體的對稱群。正二十面體是一個非常漂亮的幾何對象！可以想見，單群可以描述為一些特殊幾何對象的對稱群。然而，研究一個抽象化、假設出的單群，其困難恰恰包含了從其內蘊性質構造出一個豐富的幾何對象。迄今為止，羅列出所有有限單群的分類定理的完全證明佔據3000多頁篇幅，匯聚了一百多位數學家近四十年的努力。

源自Lie群的有限單群系列很容易就發現了，只有三個例外。這些系列不是來自實數或複數，而是來自特徵為p的有限域，這裡p是一個素數。在特徵為p的有限域里，仍然可以做普通的算術，不過，一個數用p去乘總是得到0。一切都很順利，即便可能沒那麼容易，除了數學家Ree的發現——特徵2下的Lie群B2和F4和特徵3下的G2也存在額外的對稱，它們可以得到新的單群系列，今天我們稱之為twisted Ree 群——留下的問題：twisted B2群及其唯一性之前由鈴木（Suzuki）通過完全不同的方法得到，F4情形的唯一性也得到了，但G2情形則難以捉摸。

經過湯普森（Thompson）的艱苦努力，G2的唯一性問題歸結為，證明特徵為3的有限域上的某個滿足一組極其複雜的多元方程組的變換σ，具有性質其平方σ2作用於x如同x3，換言之σ2=3。不幸的是，消元法的普通代數操作很快就會給出項數是如此之多的等式，以至於全世界所有的計算機合在一起都無法存儲下來。怎麼辦？早在1973年，湯普森就引發了我對這個問題的興趣，但我迷失在公式的迷宮裡。1979年，當有限單群的分類工作達到高潮時，我再一次考察了湯普森等式。我自問：是否有必要寫下這些「不可能」的公式，也許有辦法可以繞開。利用一個奇妙的技巧，可以發現，通過消元能夠提取到一點點有用的額外信息，再度利用那一技巧重新消元並結合新的信息，額外的信息可以精細化。重複這個精細化過程三次，就得到了所需要的等式σ2=3，除了極少數情形需要用計算機驗證。因此，唯一性的問題解決了，另一項技巧也添加到有限單群分類的證明中。11

這個等式是用白色粉筆寫在暗藍灰色的黑板上，左邊是湯普森等式，雙箭頭指向σ2=3，意指左邊的等式蘊含了twisted Ree群的唯一性。問題很漂亮，而所期待的解答也很簡單，因而優美，湯普森等式具有內在隱秘的美，因為它反映了一個群的性質。對專家來說，避開蠻力而得到的解答也具有其自身的美。事實上，數學家在追尋其真理時——有時是自動地——以尋求美為嚮導。正如詩人濟慈（Keats）所說，美即真，真即美。

10 謝謝Sarah Jones Nelson。

11Bombieri, Enrico. "Thompson s Problem (σ2=3).."Inventiones mathematicae58 (1980): 77-100.

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MacDonald 等式

撰文 戴森（Freeman Dyson）

翻譯 林開亮（西北農林科技大學理學院）

麥克當納（MacDonald）等式是我最美妙的發現。它屬於數論，這是數學中最無用和最古老的分支。我的朋友麥克當納（Ian MacDonald）享受了第一個發現它的快樂，而我作為第二個發現者享有幾乎同等程度的快樂。我們的女兒在同一班上小學，因此我們談論我們的女兒而不談數學。我們發現了τ函數滿足的一個方程，τ函數是32歲英年早逝的印度天才數學家拉馬努金（Srinivassa Ramanujan）最後四年里探究的課題。這裡我寫下τ函數的麥克當納等式。

麥克當納等式具有神奇的五重對稱性，這一點逃過了拉馬努金的法眼。在等式的右邊，有十個乘在一起的差，此即五重對稱性。我們要感激拉馬努金，不僅感激他所發現的許多美妙的東西，還有他留給後人發現的其它美妙的東西。

為解釋麥克當納等式的意義，我們來查考一下最簡單的三種情況，n=1,2,3求和取遍所有滿足條件a+b+c+d+e= 0且a2+b2+c2+d2+e2=10n的整數a,b,c,d,e。而「(mod5)」的條件意味著，a是被5除餘1的數，b是被5除餘2的數，c是被5除餘3數，d是被5除餘4的數，e是被5除餘0（整除）的數。而等式中的驚嘆號含義是1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24。因此，當n=1時，a,b,c,d,e只有唯一取值1,2,-2,-1,0，根據MacDonald等式，我們得到τ(1)=1。當n=2時，a,b,c,d,e只有唯一取值1,-3,3,-1,0，我們得到τ(1)=-24。當n=3時，a,b,c,d,e有兩種取值1,-3,-2,4,0和-4,2,3,-1,0，我們得到τ(3)=252。容易驗證，τ(n)的這三個值與Ramanujan等式給出的值一致。

麥克當納等式是麥克當納發現的存在於兩種對稱之間的更深刻聯繫的一個特殊情況。這兩種對稱我們分別稱為模對稱與仿射對稱，它們最初在科學的不同部分被發現，模對稱來自數學，仿射對稱來自物理。每個人都可以通過欣賞藝術埃舍爾（Mauritz Escher）畫中飛翔的天使與魔鬼而看到模對稱的展示。埃舍爾懂得數學，準確掌握了細節。仿射對稱則體現於物理學家用高能加速器創造的粒子的稀有組合中。數學家朗蘭茲（Robert Langlands）第一個猜測出這些對稱與其它類型的對稱之間的聯繫。麥克當納在實現朗蘭茲的夢想方向上邁出了一大步。我在這裡所寫下的等式僅僅是麥克當納那一大步留下的一點印記。

9

電弱理論的拉格朗日密度

撰文 溫伯格（Steven Weinberg）

翻譯 劉雲朋（天津大學理學院）

校譯 林開亮

這是方程的原始版本，後來成了自然界兩種基本的力——電磁力與弱核力——的標準理論。弱核力儘管不像電磁力那麼常見，卻產生一種重要的放射性（β衰變）以及核反應鏈的第一步（太陽和其它恆星賴此發熱）。我在這方面的第一篇論文發表於1967年，其中的(4)式就是這個方程。它在那幾年是基本粒子物理領域發表的論文中引用最多的，也許現在仍然如此。

電弱理論是一種場論，它的基本成分是場，其中也包括電場和磁場。方程左側的L由場及場的變化率組合而成，稱為此理論的拉格朗日密度。拉格朗日密度是像能量密度那樣的東西，根據物理學家從二十世紀三十年代就開始使用的規則，理論中各種場所遵循的方程都方便地蘊含在拉格朗日密度之中。

方程右邊的大部分符號是理論中的各種場。弱力和電磁力由和傳遞，電場和磁場是和的組合。中微子和左手電筒子場（該場描述的電子，其自旋對運動方向的環繞與左手四指彎曲時對拇指的環繞方向一致）合在一起用L表示。右手的電子場用R表示。g和g』是數值常數，與電子的荷有關，其值只能從實驗得到。

符號φ表示某四分量的場，它與其它場相互作用，從而賦予電子質量而使中微子仍無質量，賦予傳遞弱相互作用的三種粒子質量而使光子（光的粒子）仍無質量。餘下的常數Ge、M12、h與電子的質量、弱力的強度有關。φ場的四分量之一對應某種新的粒子，到2012年實驗上才見到它的蹤影。方程的第三、四行描述了理論中中微子和左手電筒子之間、弱力和電磁力之間的對稱性破缺機制。

這個方程可能看似不大美，它美在渾然天成——給定成分後，其結構可由數學的自洽條件很好地確定下來。略去一行，甚或只把一個負號改成正號，都會讓整體不再自洽。

方程從簡，略去了繆子（一種像電子而更重的粒子）和相應的中微子。顯然，可以類比電子及其中微子把它們包含進來。

1971年，此理論進而把夸克（構成質子和中子的基本粒子）也包含進來，之後不斷得到實驗的驗證。

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嚴格保持的色SU3對稱群

撰文 蓋爾曼（Murray Gell-Mann）

翻譯 劉雲朋（天津大學理學院）

校譯 林開亮

1932年發現中子，人們開始認識到原子核由中子和質子構成。再向它們內部看去，可以發現每個中子和質子都由三個夸克構成——粗略地說，每種「色」一個。正是色力把夸克束縛在一起，形成中子和質子。作為變數，色有三個不同的取值，俗稱「紅」、「綠」、「藍」。帶「色」的物質受到禁閉，無法彼此脫離而單獨探測。在三種色互相轉換的色SU3變換群下，物理理論完美地對稱。

這裡的表達式給出「量子色動力學(QCD)」的拉格朗日密度，它用數學表達式概括了強相互作用的動力學。強相互作用同引力、弱力、電磁力一樣，都是自然界中基本的力。此表達式美在寓真實於其中。它還美在簡潔，不過是做了一點清理之後的簡潔。這裡有三項，前兩項Lgt、Lq分別包含膠子、夸克的貢獻（場），Laddl包含「附加」項，其中部分的場最終預言了近期才發現的希格斯玻色子。

追憶往昔，我與諸同事獲得這個公式，並非靈光乍現，而是厚積薄發。這公式不僅總結了大自然的一個真理，還凝聚著日積月累的大量艱苦工作。它的每一項都薈萃了數年研究發現的精華。隨著時間推移，我和其他人清楚了要把哪些項包含其中。（我想補充一點，我們在以有點與眾不同的方式考慮強相互作用。）我們本可以在中間任何一步停下來，把更多的東西丟給「附加」項，但這個公式感覺很好，它很完整，滿足SU3群所要求的對稱性條件。這條件也讓我們無法涉足當時尚未完全探索的領域。所以，它儘管真實，在某種意義下卻並非終極真理，總有更多的細節可以補充進去——除了希格斯，還有多種標量場，我們知道其存在，卻不清楚如何正確描述——從而有更多的東西尚待發現，這也是一種美。

大雅之美由「數學火炬手」中的部分成員翻譯。「數學火炬手」是一群熱愛數學的中青年數學愛好者，大部分是活躍於各個高校的數學教師和物理教師，致力於與公眾分享美妙的數學，推動數學的普及。就像奧運火炬手一樣，數學火炬手期待成為數學普及的領跑者，促進公眾對數學的認識。本項目是「數學火炬手」合作完成的第一個項目，以後會推出更多精彩的作品。

——數學火炬手代表 林開亮（西北農林科技大學理學院數學教師）

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