數學也荒唐之小便器優選法：如廁時如何選擇小便池？

最新 09-13

「你都喝了三杯啤酒了，就不想……」

「做數學？」

***

數學家喜歡研究十分重要的問題，比如非局部擴散運算元第一特徵值的上下界。數學家也會研究十分困難的問題，比如有限譜運算元舒爾－霍恩定理。但如果厭倦了這些抽象又困難的領域，他們也會研究一些無關緊要的問題。

加拿大卡爾頓大學的信息科學家埃萬耶洛斯·克拉納基斯和美國衛斯理大學的數學家丹尼·克里贊克便是如此。2010年，他們共同署名發表了關於隨機共線感測器最大幹擾的文章。之後，二人決定放鬆一下，研究一個不那麼棘手的問題：如廁時怎麼選擇小便池。

兩位學者以最嚴肅的科研精神，發揮聰明才智寫成一篇12頁的論文，題為《小便器問題》（The Urinal Problem）。問題如下：有一排小便器，如果如廁者不想被打擾，選哪一個最好？高德納曾用組合法計算過斯坦福大學信息科學系應該多久換一次廁紙。兩人看到高德納的研究結果後十分開心，這才有了「小便器優選法」的研究。

圖20.1，21個小便器，1個最佳選擇……哪個？

重要問題要說得具體。酒吧氣氛正濃，你已喝了3杯啤酒，膀胱告急。酒吧的廁所特別大，而且神奇的是一個人都沒有。這是個典型的男廁所，方形屋子，進去後左邊是一排N個小便器，右邊是隔間和洗手池。你（下文中的「你」指站著小便的人。如果不符合你的情況，可默默將「小便器」替換成「椅子」，將「廁所」替換成「候診室」。問題實質不變，只是沒那麼好笑。）是第一個內急來上廁所的人，但門外已有一群啤酒愛好者在吵吵嚷嚷。不巧的是，隔間的門剛刷過漆，現在用不了。既然是來方便嘛，就要盡量「方便」，也就是說，最好不要有人站旁邊。假設小便器都一樣乾淨，任君選擇，選哪個才能酣暢淋漓呢？

直覺上，離門最遠的小便器應該最好。如果下一個進來的「猛男」也只想安靜地撒泡尿，他也會選個離你比較遠的小便器，二人相安無事地尿完。但解答還得靠數學建模！一切都看後來者怎麼選。模型有許多，但總原則不變——大家都想旁邊沒人。因此，除非不得已，不會有人挨著別人站。如果必須挨著，此時廁所即「飽和」。不「飽和」時，至少應該有1個小便器，兩邊都沒人，即為「孤立」；如果僅一邊有人，稱為「半孤立」。因為你第一個進來，你的選擇至關重要：要盡量擴大飽和所需的人數！

模型一：人性本懶

根據來此寶地後的選擇，可以有好幾種數學模型，第一種是「懶人模型」。位置總數很重要，假設進來的人自動選擇離門最近的孤立小便器，在此假設下，可有兩種情況：一種是小便器總數N為偶數，此時，飽和狀態即1/2的小便器被佔用。而此時不管你怎麼選擇小便器（位於奇數位或偶數位），飽和所需人數不受影響（圖20.2）。如果小便器總數N為奇數，那麼你應該選奇數位的小便器，(N+1)/2個小便器被佔用時，廁所才會飽和，而不是(N-1)/2。

圖20.2小便器總數與飽和所需人數的關係

N為偶數時，你可以隨意選擇，飽和所需人數一樣。比如，N=10時，不管選擇第6個或第7個（藍紫色），都要再有4人（粉紅色）才飽和。另外要注意的是，如果選擇第6個，則第4個和第5個半孤立，第6人進來應會選擇二者之一。N為奇數時，應選奇數位小便器。比如一共有11個位置時，假如選擇第7個的話，則還可容納5人，選擇第6個，就只能再容納4人。

就算廁所飽和了，人不能給尿憋死。這時又該怎麼辦？克拉納基斯和克里贊克在文中設想了兩種情景。

第一種，新來的人依舊遵守懶人原則，即使小便器非孤立，依舊就近選擇。這時，你選擇離門越遠的位置越好。假設新來的人會優先選擇半孤立小便器，結論也一樣。實際上，如果你左手邊的兩個位置都沒人，按照懶人模型，後來者更愛選擇更靠左的那個便池。注意，此時你不應該選倒數第二個位置，因為飽和時，你右邊的位置半孤立，很容易有人選。

第二種更有可能發生，在沒有孤立位置之後，新來的人隨機選擇，剩下的位置被選中的概率均等。此時你應該選擇兩端的位置，因為僅一邊有人，感覺稍微好一點吧。

總之，離門越遠越好。

讓我們用方程總結一下。設第一人走進廁所時為t= 1，之後依次為t= 2, 3, 4，等等。如果N為偶數，則t=N/2時飽和；如果N為奇數，若第一人選擇了奇數位，則t=(N+1)/2時飽和，若第一人選擇偶數位，則t=(N-1)/2時飽和。

廁所飽和之後，新來的人隨機選擇。如果你選了兩端的位置，旁邊來人的平均加數[2]為(N+2)/4（其中N為偶數），或者(N+1)/4（其中N為奇數）。

[2]這一平均加數符合負超幾何分布。可以證明，此分布的預期值為(n+1)(a+1)，其中n表示剩餘的位置，在不同情況下分別為N/2、(N+1)/2或(N-1)/2，而a表示相鄰位置的數量，對於兩端的位置a=1，對於其他位置a=2。

如果你開始選擇了其他位置，則旁邊來人的平均加數為(N+2)/6（圖20.3）。

圖20.3 計算結果很清楚，不管總共有多少位置，離門越遠的位置，旁邊越不易有人

模型二：人性本羞

按照第一種模型，就算廁所很大，人也會聚在一起，不符合實情。我們修改一下基本假設：人性雖懶，但現代人要體面。在此模型中，新來的人不會選擇最近的孤立位，而是選擇離別人最遠的孤立位。如果好幾個位置都符合條件，那麼懶惰本性再度發揮作用——選擇這幾個位置中離門最近的。

這與第一種模型非常不同。飽和所需人數不僅取決於位置總數，還與你這第一人的選擇有關。令人吃驚的是，最遠的位置這次不一定最好（圖20.4）。

圖20.4共有14個位置，使用害羞模型

如果第一人選擇最後的位置，再來5人飽和。如果他選擇第10個位置，則再來6人才飽和，可記為A(14,14)=6，A(14,13)=5，A(14,10)=7。

下面來看看，如何根據位置總數N確定最好的位置。當N值較小時，很容易得出選擇位置j的飽和人數，記為A(N,j)。比如N=2時，1人即飽和，於是A(2, 1)=A(2, 2)=1。當總共有3個位置時，選擇兩端的位置則還可容納1人，於是A(3, 1)=A(3, 3)=2。但選擇中間位置則直接飽和，於是A(3, 2)=1。

如果N值較大，就要用公式來簡化計算。假設你（t=1）選擇了最後位置，第二人（t=2）則會選擇第一位置，第三人（t=3）要在兩端已被占的情況下選擇一個位置。記B(N)為兩端已被占時飽和所需人數，於是有A(N,N) = 2+B(N)，對稱地有，A(N, 1)=2+B(N)。

如果一開始第一人選擇倒數第二位置呢？此時第二人依然會選擇第一位置，而且後來者誰都不會選擇最後位置，這時可視為共有N-1個位置，且兩端位置已被占。從第三人開始，要達到飽和所需人數為B(N-1)，於是有A(N,N-1) = 2+B(N-1)，同樣對稱地有，A(N, 2) = 2+B(N-1)。

如果你這第一人不選擇兩端的第一個位置、第二個位置、最後位置（N）或倒數第二位置（N-1）呢？此時，你左右都有足夠多位置，後來者可以盡量靠近門，也可以盡量遠離門。第3人進來後，以你的位置分成兩部分，左邊從位置1到位置j（你的位置），共有j個位置，右邊從位置j到位置N，共N-j+1個位置。兩部分互相獨立，都可視為兩端已被占的一組。左邊可再有B(j)個人，右邊可再有B(N-j+1)個人。總之，如果第一人選擇j位置，則N個位置可讓A(N, j) = 3+B(j)+B(N-j+1)個人安心解決內急問題。

現在，只要算出B(N)即可，也就是說，總共有N個位置且兩端已被占時，達到飽和所需人數。N≤4時，兩端被占即飽和，此時B(N)=0。N＞4時，第一人可以選中間位置，即位置(N+1)/2（N為奇數）或N/2（N為偶數）。如上文所述，3人形成新的分區：左邊從第一個位置到中間，還可再有B((N+1)/2)或B(N/2)人（N為奇數或偶數）；右邊從中間到最後位置，還可再有B((N+1)/2)或B(N/2+1)人（N為奇數或偶數）。

最終：

函數A和B都以遞歸形式定義，不到一杯啤酒的時間就能在手機上編個小程序算出來。函數B可簡化為單一表達式（包含一堆對數和各種因式），但至今無法直接算出令A(N,j)最大的j值。對於給定的N值，可算出所有j值對應的A(N,j)，由此可以看出，最後位置並不總是最好的選擇（表20.1），並且便池利用率最高可達50%（一半便池被佔用），而最低只有33%（圖20.5）。

表20.1根據便池總數不同，可算出好位置和壞位置

作圖得出：

圖20.5 害羞模型產生的結果比較難理解。

簡單地說，便池利用率在33%到50%之間，但具體是多少，佔用哪個位置會導致此利用率，都很難說。

兩位大膽的數學家沒有就此打住，他們還研究了「醉鬼模型」，即隨機選擇孤立位的模型。此模型中依然是離門越遠越好。人們得到答案的同時，還能提出更多疑問，這才是好的數學題。如果部分位置已被占，選擇哪個位置才好？方便的時間不會無限長，廁所里肯定是人來人往，這會不會改變最佳位置？如果不是隔開的小便器，而是沿著牆腳的小便池呢？下次泡酒吧的時候再慢慢想吧。

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「所以說，如果我選倒數第二個位置，旁邊就不會很快來人，對吧？」

「這得看你什麼時候去上廁所。現在都快夜裡2點了，適用醉鬼模型而不是害羞模型。我只能跟你說，現在去方便，肯定不方便！」

* 文章摘選自最新科普讀物《數學也荒唐：20個腦洞大開的數學趣題》，[法]傑羅姆·科唐索著，王烈譯，人民郵電出版社，2017.8。

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