什麼是VaR？VaR計算的風險度量制和計量經濟方法

《正文》

在統計學中，簡稱為var這三個字母的一般有三種意思，第一個就是方差（Variance），記為Var，第二個就是在險價值（Value at Risk），記為VaR，第三個就是向量自回歸模型（Vector Auto-Regression），記為VAR。我們今天要介紹的這個VaR就是在險價值，後面有時間會再介紹向量自回歸。

VaR的定義

Definition

我們先來給出一個通俗易懂的文字定義，在險價值是指在一定置信水平下，某一金融資產或證券組合價值在未來特定時期內的最大可能損失。如下圖，假設它是一個金融資產收益率的統計分布，那麼它的在險價值就是使得紅色面積佔總面積（總面積為1）5%的那個分位點，這個5%一般用alpha表示，稱為置信度，那麼1-alpha=95%，稱為置信水平。

VaR的數學表達可以表示如下：

這裡的X%即是指置信水平，可以取95%，有3點需要說明：（1）一定的置信水平，也就是說在險價值是alpha分位點；（2）要指定未來的存續時期，明顯金融資產的存續時期越長，它的在險價值越大；（3）如果是對稱分布，那麼它的上alpha分位點和下alpha分位點的絕對值相等，這個可以從圖直觀地看到。

由統計學裡面的置信水平的定義，我們知道在險價值描述的是一種可能性，它是指在未來一段時間我有95%的可能性說明我的金融資產最大損失為VaR，即5%分位點。而不是說在未來一段時間，我的金融資產一定不會虧損大於VaR！如果你對50ETF的歷史日對數收益率擬合一個正態分布（見下圖），那麼它5%分位點為1.65倍標準差（這個可以在正態分布的表中查到），大約為3.045。這就是說，根據歷史數據的統計，在接下來一天里我有95%的可能性，50ETF單日收益率不會再小於-3.045%。注意！這裡僅僅是個95%的可能性，看似可能性好像非常高，但其實50ETF或者A股其他任何一個指數，單日收益率跌破-3.045%還是經常發生的，畢竟A股2015年7月份股災1.0時代、8月份股災2.0時代和16年1月份股災3.0時代，上證50指數接近跌停都是時有發生的事。

計算VaR的方法有很多，今天我們將介紹兩個常見的方法，風險度量制和計量經濟學方法。

風險度量制

Risk Measure Method

J.P. Morgan於1995年將風險度量制方法發展到了VaR的計算當中。假設資產的日對數收益率服從一個正態分布，如下：

Ft-1表示t-1時刻的信息集，ut是條件均值，sigmat是條件方差。那麼如何估計條件均值和條件方差呢？自然而然會想到公眾號之前推送了很多期的ARMA和GARCH模型，ARMA就是均值方程，可以預測收益率，GARCH是波動率方程，可以預測收益率的波動率。那麼，J.P. Morgan提出的風險度量制是假設收益率序列滿足如下的一個IGARCH（1,1）模型：

這裡還假設了rt=at=sigmat*et，alpha通常取(0/9,1)上，一個代表的值為0.94.

利用這樣一個IGARCH（1,1）模型，並結合對數收益率的多期收益率等於單期收益率之和這個性質，還能夠很簡單地推導出多期收益率的具體分布。推導如下（微信打公式實在太難，就直接截圖了）：

這個推導得到的核心結果就是，在IGARCH（1,1）的假設下，多期波動率就是期數乘以單期波動率，即：

於是，多期收益率分布就是：

他還是個正態分布，有了分布就可以很簡單地導出分位點了！！！看來大神們的假設都是有目的的。很容易得到單期的5%分位點為：

k期的5%分位點為：

來一個簡單的例子，還是上證50ETF日對數收益率序列，假設某人持有價值10000RMB的上證50ETF基金，那麼他持有一天和10天的在險價值VaR為：

這裡面有多重假設前提存在，（1）假設了對數收益率是0均值，（2）假設了IGARCH（1,1）模型。如果均值非0，那麼，在險價值（單期和多期）要做相應的改變，如下：

上面例子，計算結果為：

相較於0均值假設下，這裡的VaR變大了！

計量經濟方法

Econometric

計算VaR的計量經濟方法就是，先用ARMA和GARCH模型分別擬合一個均值方程和波動率方程。利用均值方程和波動率方程向後進行多期的預測，利用此預測的值直接計算VaR。

對於對數收益率，我們前期介紹了很多，它的時間序列模型為：

它的一步向前預測為：

如果假設它的雜訊項et服從高斯分布，則給定t時刻的信息集的條件下，rt+1的條件分布服從：

因此，它的95%分位點為：

如果是向前推k步，也可以得到對應期的VaR！

還是上面的例子，計算的結果如下：

至於為什麼持有1天比持有10天的VaR還大，這就得從計量經濟學計算方法說明了，計量方法的VaR值主要受預測的均值和波動率影響，它是市場實時交易狀態的一種反應。最近，50ETF的波動率持續降低，自然而然，通過這種方法計算的VaR也會降低。至於VaR計算的風險度量制，根據其公式，這種方法下計算的VaR隨著持有期的增加而增加，直觀理解上貌似合理，因為人們總是認為，一個風險資產持有1期的風險總是比持有10期的風險低。但是，這種方法僅僅是歷史分布的擬合結果，沒有考慮實時的市場交易狀態，恰恰是不合理的。

總結

summary

本期介紹了VaR的概念，並簡單介紹了計算VaR的兩種方法：風險度量制和計量經濟學方法，並舉例計算了持有50ETF基金時的VaR。VaR的計算方法有很多，有些方法也是非常地複雜。需要注意的是VaR是在一定置信水平下得到的，而不是100%的確定性值。下面幾期我們將陸續跟進VaR的相關內容，並在優礦平台上展現VaR的計算過程！

《END》

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