費馬真的知道費馬大定理的證明嗎？
原文作者，James Propp，馬薩諸塞大學數學教授。
譯文作者：333，哆嗒數學網翻譯組成員
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這個故事正如數學科普作家西蒙·辛格在一個「數字狂」(Numberphile)視頻中所說：這個十七世紀的法國數學家，皮埃爾·德·費馬，坐在他的私人圖書館中正讀著一本書。他激動地寫下了他的一個新發現，就在書的角落裡——一個我們如今稱為費馬大定理，或簡寫為FLT的斷言——但他緊接著寫道，書的邊角地方太小以至於寫不下他的證明。在他還沒能跟任何人交流這個問題的細節之前，「他就暴斃而亡了。」
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關於這個版本的費馬大定理故事，我有兩個疑問，並且它似乎在暗示是主人公的死亡才導致這個重要的數學秘密被久久塵封。首先，我們看過太多遍「秘密在臨死前始終說不出口」的電影片段了；這很做作可笑，不是嗎？第二，並沒有證據表明費馬死前寫過那樣一段話。我們無法回到過去確定他所使用過的墨水，因為在他的注釋被人轉錄之後原書就不見了，但是從費馬的信件中我們能夠得知，他讀這本書是在職業生涯早期，大約1630年代。大多數學者認為這個傳奇的注釋寫於他死亡之前二十年。所以辛格在他的視頻2分15秒開始杜撰了一個過於戲劇性的故事。他仍然確信費馬是帶著一個沒有向任何人揭示的他所聲稱的證明歸於塵土的。
多虧了現代數學家安德魯·懷爾斯，我們才能夠知道費馬的聲稱是正確的，他也因為在費馬大定理上的著名工作而在不久前獲得了阿貝爾獎。但是，費馬真的有那個絕妙的證明嗎？這正是我今天想要探討的。當我們討論這個費馬沒有揭示的最著名的證明時，我將要告訴你費馬確實創造了一個證明方法——一個可以美妙地解決其它的與此類似形式數論問題的方法。
這本使得費馬很丟面子的書是他私人抄本的《丟番圖算術》。而吸引了費馬注意力的那一頁上討論的問題是：將一個平方數分解為兩個平方數的和。（52=42+32，202=162+122，再不然分數也行，42 = (16/5)2 + (12/5)2，因為丟番圖對分數和整數都同樣滿意。）
費馬在書的邊上寫道：「然而，你卻不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和，也不能將一個四次冪數寫成兩個四次冪數之和，或者更一般的，任何一個高於二次冪的數都不能寫成兩個和它同次冪的數之和。我已經發現了一個絕妙的證明，但是這裡太窄了，我寫不下了。」用現代的記號表示即：若n是一個大於2的正整數，則方程x^n + y^n = z^n (x^n 表示x的n次方)沒有非零的有理數解（你或許會想為什麼我會說「有理數」而不是「整數」？仔細想一想）。費馬的兒子在費馬1665年去世之後整理出版了父親的手稿和筆記，才使得這個斷言公之於眾。
費馬是認真的嗎？
考慮到費馬在今人中的名聲很大一部分源自於這個聲稱，一些人想知道是否有可能他故意誤導後世的人們以博得死後的榮耀——他明知這是個困難無比的問題，但在心裡察覺到，若他聲稱有一個辦法，那他死後就會像一個無與倫比的聖人那般著名。他的所謂的證明會是純粹的虛張聲勢嗎？
這是個有意思的觀點，但這並不符合我們了解的費馬和他那個時代的人。像費馬大定理這樣的問題並不能激起費馬時期那些頂尖的數學家太多的興趣。微積分正在歐洲文化的子宮裡孕育，那些導致了微積分被發明出來的問題才是人們的興趣所在。費馬在解析幾何、計算領域、光學、最優化上的創造性工作——正是這些讓他享有巨大的聲譽。
相反，費馬在試圖讓人們相信諸如他的大定理之類的問題有很大價值時遇到了重重困難。他用以構造「佩爾-費馬方程」解的步驟確實引起了一些人的興趣，比如約翰·沃利斯，但是沃利斯覺得費馬否定性的結果索然無味。布萊斯·帕斯卡，他很讚賞費馬在概率論上先驅性的工作，然而對費馬在數論上的工作卻是不屑一顧。
如果我活在費馬的時代，我會很同情費馬努力所做的工作，但是恐怕我很可能會站在那些懷疑者的一邊。我能想像我自己會說：「數學難道不該是解出方程，而不是證明它們無解嗎？如果試圖找出所有數字解導致我們要去考慮那些壓根就沒有解的方程，那麼從一開始，試圖尋找它們的解不就是個錯誤嗎？難道這不是告訴我們費馬在問一些錯誤的問題嗎？」
費馬敦促他的同時代人在解方程時加入有理性和整數性的要求，並沒有其他原因，純粹是為了使方程更具挑戰性。在實數範圍內容易解出的方程，在加上諸如有理解或整數解等附加條件後會變得極端困難而精妙。後代人開始視這種精妙為一件好事；這些問題很難但仍然可解的事實表明了這些問題值得研究。隨後世紀里最偉大的數學家們，比如萊昂哈德·歐拉、卡爾·弗雷德里希·高斯，對費馬的工作非常感興趣，甚至對他遺留下來未完成的工作更加有興趣；他們的認可使得費馬關於整數謎團的雜亂口袋變成了數學中一個叫數論的分支，並賦予了這個領域自己的合理性和無尚榮耀。應當說明高斯對費馬大定理並不感冒，他曾明確指出（在對n=3的情形找到一個證明後）在數論中可以很輕易地提出許多這樣很困難的問題。
到十九世紀早期，數學家們已經解決了費馬所有的猜想——除了這一個，這也致使這個遺留的問題被冠以「費馬大定理」的名號。（不妨告訴你，費馬「倒數第二大定理」是被柯西在1813年證明了。）費馬聲稱他關於費馬大定理的證明是「絕妙的」給人類知識的鴻溝增添了額外的凄美。
讓我們返回十七世紀，費馬問題的巨大困難使得很多數學家認為他們應該把心血努力轉移到別的地方。正如費馬的同代人克里斯蒂安·惠更斯寫道，「有別的更好的東西等著我們去做。」所以，要是費馬想用不誠實的斷言來使人們佩服，那他就不該打費馬大定理的主意。
你仍可以刻薄的懷疑，費馬的緘默就是他根本沒有那個證明的證據。不過你得知道，對於費馬而言，對一個命題不給出證明是一件尋常的事，並不是什麼例外。他沒有發表任何關於數的工作，但他通過和其他數學家的通信來是自己滿意。（不錯，費馬是一個「業餘的數學家」，不過話說回來，誰不是呢？）他就像在和他的通信者玩一個奇妙的遊戲，他提出一個問題並且暗示如果對方無法解決他就會揭示答案。所以，很有可能費馬確有一個關於他的「大定理」的證明，但是在別人絞盡腦汁徒勞無功之前他不願揭秘，這樣就更能顯示他自己的聰明。
總之，我從未見過任何可信的證據表明費馬在書頁邊角寫下的評註是在誤導後人。我認為費馬是真的找到了一個論據並且他覺得是一個有效的證明。那絕不是安德魯·懷爾斯和理查德·泰勒的手段，他們的手段包含了太多的數學新概念（像是「橢圓曲線」）和歷代數學研究者的傑出成果，這些都是在費馬死後才被發展出來的。數學史專家們認為費馬一定擁有一個他自己確信無疑的證明。
如果我們想要理解當費馬說他證明了某個數論中的問題時他是什麼意思，我們需要了解他用了何種方法。幸運的是，這一點費馬能夠親自告訴我們，因為在他一生中，他確實給出了這麼一個數論問題的詳細證明過程。他使用了一種方法，他認為是他對數論這門學科最重要的貢獻：在1657年給皮埃爾·德·卡爾加維的一封信中，費馬稱其為「無窮遞降法」。
無窮遞降法
很容易給出一個後項比前項大的無窮正整數序列：如素數序列、完全數序列或者1，2，3，4……但你能想出一個後項比前項小的無窮正整數序列嗎？只要稍微想想你就會回答「不可能」。比如，取第一項是一百萬，那麼第二項至多是999999，第三項至多是999998，一直下去；在一百萬項之後（不會更多），這個序列就會發現自己被逼到了角落裡，這是因為每一項都要求是正整數。如果第一項不是一百萬，是個更大的數，比如十億，那麼這個序列仍然會到達終點，儘管要很多很多項之後。這就是說，不存在無限長的正整數遞減序列；無論首項多麼大，一個正整數的遞減序列遲早都會終結。這個似乎不起眼的費馬原理卻有著意義深遠的結果。
舉個例子，讓我們把費馬的方法運用到這個方程：xy + y2 = x2 ，我們來證明它沒有正整數解。費馬會用純代數的形式來陳述他的證明，而我將採用幾何的途徑，來使證明的邏輯更清晰。要提醒的是，費馬從未將他的無窮遞降法用在這樣簡單的方程上，他發明這個方法是為了敲開更硬的堅果，例如方程x^4 + y^4 = z2,在他給卡爾加維的信中明確的展示了這個方法。
為了開始我們對方程 的分析，首先把「x」用「a」代替，把「y」用「b」代替，這樣方程就變成了ab + b2 = a2；然後將它變形為(a+b)/a = a/b;接下來將這個方程表示為幾何形式，我們可以畫一個a×(a+b)的矩形，它裡面包含了一個a×a的正方形和一個a×b的矩形，如下圖所示。
方程(a+b)/a = a/b表明大矩形相似於小矩形：即將大矩形旋轉90度，再把它按比例縮小就得到了小矩形。因此，這個大矩形就是古希臘人所說的「黃金矩形」：它包含了一個正方形和其自身的縮小版。同樣，這個小矩形也相似於大矩形，它也是個黃金矩形；正如下圖所示。所以，這個小矩形也可以分解為一個正方形和一個更小的矩形；這個更小的矩形還能分解成一個正方形和一個更更小的矩形……可以將這個過程一直無限進行下去。
當你第一次看這張圖可能會有點眩暈，但這在數學上不成問題。如果從一個黃金矩形開始，你可以畫越來越小的正方形和越來越小的黃金矩形，直到你實在沒耐心了（或者找不到更尖細的鉛筆了）。但是，假如你不是從一個黃金矩形開始會怎麼樣呢？要是你想徒手畫一個黃金矩形，怎麼畫呢？甚至如果你要求你的黃金矩形每邊都是整數個單位長，這又會如何呢？
這樣的話，你就陷入了麻煩之中，而費馬的無窮遞降原理會告訴我們為什麼。但是首先，我們需要對圖一做一個似乎很天真的觀察：如果大矩形的邊是整數，那麼小矩形的邊也是整數（代數語言：若a+b和a是整數，則a和b是整數。這是因為我們可以將b寫為(a+b)-a,這是兩個整數的差。）為了看出這將導出什麼，來看接下去的下面那張圖中的小黃金矩形。如果最大的是整數邊，那麼小的也是，更小的也是，一直下去都是。這樣，我們就得到了一個無窮遞減的整邊矩形序列。看出問題了嗎？拿出每個矩形的短邊，我們可以得到一個無窮多項遞減的正整數序列——但是這是不可能的，這由無窮遞降原理可知。所以，不存在一個整數邊長的黃金矩形。
間接證明
我們剛剛所展示的證明就是一個間接證明：為了說明某個命題在數學上是不成立的，我們只要說明它的成立會與自身產生矛盾或與已知的產生矛盾即可。舉個例子，為了證明不存在整數邊長的黃金矩形，我們證明了要是這樣的矩形存在就會導致存在無窮遞降正整數序列，而這一點與無窮遞降原理矛盾。
如果這是你第一次領略非直接證明，你也許會感到有些不安——這彷彿在騙人！如果你這麼覺得（有這種感覺很正常），那我告訴你這是一種和我們現實世界並不十分相稱的推理方式，在這種推理方式下，事物的性質是受到懷疑的，這樣你或許會感覺好一些。這也許就是為什麼你的大腦會對這種方法有所警惕。但是在數學中我們處理的是經過精確定義的抽象概念，而不是憑經驗的觀察所得，因此運用矛盾來證明是一種合理的推理方式。在構建可數數這一數學論據時，我們被允許作出沒有無窮遞減的可數數序列這一假定——不是因為我們在實際生活中沒有遇到這樣的序列，而是當我們說可數數時它就已經暗含了這一性質。
如果你認為要是沒有間接證明數學會發展的更好，這就有一個問題值得深思：那你還能用什麼辦法去證明某個東西是不存在的呢？通過遍尋它可能存在的地方然後發現哪兒都沒有它？當這樣的地方是無限多個時，這種辦法就不管用了！
間接證明的一個好處是，在你緊接著的推理過程中提供了非常廣闊的目的地：你只要到達其中任意一個矛盾的地方，那就完成了證明。可以把推理的過程想像成地理位置依賴於知識狀態的導航過程。如果你試圖證明「若命題P，則命題Q」，那麼你就會從P出發嘗試建立一條通往Q的路線；也許只有惟一一條路線，找到它可能要很高明的技巧。但是，如果你試著去證明命題P和命題Q的否定放在一起可以產生一個矛盾，不管是什麼樣的矛盾都行，都可以使你到達原來的目的地。你可以馬上就試試從一些前提假設作一些隨機的結論，再看看它們把你帶到了何處！所以這種證明方法經常能給你提供比直接證明更大的前進空間。
如果你喜歡上面那個沒有整數邊長的黃金矩形的證明，你可以用同樣的方法試著證明，不存在五條邊和五條對角線都是整數的正五邊形。
費馬知道什麼？他什麼時候知道的？
費馬有找到了一個正確的證明的可能性，但是這一點隨著時間流逝變得越發不可信。因為那些掌握著費馬所知道的所有數學工具的業餘數學家們，足夠聰明也花了足夠多的時間在數學上，都沒能找到費馬大定理的一個初等證明。要是真有那麼一個簡單的證明，會時至今日還沒被發現嗎？
大多數歷史學家傾向於費馬犯了個錯誤這一觀點。（這可能不是他唯一的錯誤；參看參考列表中的文章「費馬的錯誤」。）這一假設會更可信如果歷史學家們能夠重現關於費馬大定理的那些似是而非的費馬式的錯誤證明。其中之一是費馬之後兩個世紀，數學家拉梅的那個錯誤證明；儘管它包含著一些費馬那個時代所沒有的想法（如將複數引入數論），不過費馬很可能有一些基於直覺的、怪異的方法去處理數，而不使用我們今天的方法，比如精巧的三角學方法。所以費馬可能有一個天才的方法比拉梅早兩個世紀犯了那個錯誤。
即使沒有拉梅的那個例子，我們也能夠看出費馬是在試圖解決一個極其容易犯錯的問題。證明一個東西不存在幾乎總是要用到間接證明，當你構建了一個間接證明，找出任意一個矛盾就行了。這就使得很容易構建出一個虛假的間接證明：僅僅犯了一個代數錯誤，就推出了一個矛盾，而這個矛盾卻並不能由你最開始的前提假設推出，它僅僅只是起源於你推理中的一個小錯誤。
大多數對費馬的證明抱有興趣的數學家都得出了和我相同的結論，這也是我在文章標題的選擇中所暗示的。這個片語「深夜小狗神秘事件」來自於《福爾摩斯》里的故事《銀斑馬》，在這個故事裡，福爾摩斯向蘇格蘭警察廳的偵探格雷戈里解釋了他的推理。
格雷戈里：「你還有其他東西想引起我的注意嗎？」
福爾摩斯：「 這隻狗在晚上的奇怪舉動。」
格雷戈里：「這隻狗夜裡什麼都沒做。」
福爾摩斯：「那才是一件奇怪的事。」
對於我們而言這個奇怪的事是，在他所有的信件中，包括他1659年最後一封給卡爾加維的信（在這封信中他在總結了他一生在數論中的所做的工作），費馬也沒有提到他證明了費馬大定理。他的確證明了x^4 + y^4 = z2沒有正整數解，由此可以推出n=4時的費馬大定理成立。費馬也聲稱用他的無窮遞降法他也證明了x3 + y3 = z3沒有正整數解。但是對於方程x^n + y^n = z^n,當n大於4的時候，他沉默了。是否有可能在他原以為自己證明了費馬大定理後，突然意識到實際上他並沒有？而他也忘記了在那一頁書上重新作個聲明，或者他根本就不記得自己寫過那段評註？
我們永遠也不可能知道真相了，但是除非直到有更多的證據，那似乎是這個數學謎團貌似最真實的答案了。
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