關於四色定理，採用易經模型的超簡潔證明

關於四色定理，採用易經模型的超簡潔證明

有了之前的論述，關於易經八元數系統（九元數系統），四元數系統（五行系統）等論述，

今天我們就採用四元數系統的變換原理，來證明世界難題：四色定理，

四色定理（世界近代三大數學難題之一），又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數學猜想之一。

地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。

四色問題的內容是「任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。」

也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

用數學語言表示即「將平面任意地細分為不相重疊的區域，

每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。」

這裡所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的。

如果兩個區域只相遇於一點或有限多點就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

四色定理的本質正是二維平面的固有屬性，即平面內不可出現交叉而沒有公共點的兩條直線。

很多人證明了二維平面內無法構造五個或五個以上兩兩相連區域，但卻沒有將其上升到邏輯關係和二維固有屬性的層面，以致出現了很多偽反例。

不過這些恰恰是對圖論嚴密性的考證和發展推動。計算機證明雖然做了百億次判斷，終究只是在龐大的數量優勢上取得成功，這並不符合數學嚴密的邏輯體系，至今仍有無數數學愛好者投身其中研究。

到目前為止，四色定理的最終證明是通過計算機完成的。

還沒有一種簡潔的證明這個簡單的原理：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。

今天我們就介紹一種簡潔的證明方法，其過程如下：（估計3張A4紙就夠了。）

第一步：地圖上國家的拓撲化，

如果整張地圖只有4個國家，包括4個以下的國家，不需要證明。

為了簡明證明過程，我們直接證明五個以及五個以上國家的地圖著色問題。

首先，我們對任一張指定的地圖，設定他們是空白的，沒有著色，

我們對這些國家進行拓撲變化，把每個國家變成一個一個獨立的點，分散鋪在平面上。

我們經常看到的國家是這樣的，如圖：

經拓撲變換後，地圖都只是一個個點，相鄰的國家就有連線，不相鄰國家就沒有連線，如圖：

把相鄰國家進行連線後，可以進一步拓撲化成這樣：

第二步：確定平面上的坐標系，

根據平面的二維特性，二元有理數（x，y）可以表達整個平面上的任一個點，

也就是說，每一個點的坐標，都可以通過坐標軸X軸、Y軸上的數值來表達。

了解到，地圖國家之間，著色問題就是一個狀態的問題，我們把問題進一步建模，

一個國家代表一種狀態，考慮到坐標軸的二元形狀，從一個國家，到另外一個相鄰的國家，

從一種狀態到達另外一種狀態，一旦越界，我們就認為發生了變化，我們把這些國家的點進一步拉伸到對應在數軸上的整數點位置。

他的變化只有以下情形：

（1）到達相鄰國家，x軸上的數值變化奇數次，或者變化偶數次（0不動，也歸屬於偶數次），

（2）到達相鄰國家，y軸上的數值變化奇數次，或者變化偶數次（0不動，也歸屬於偶數次），

假定，原點設定為初始狀態的國家，那麼，相鄰的國家可能的情形如下圖：

我們給它定義為（x，y），其中：x，y=n，n為任意整數值。

到這個時候為止，為了簡便證明過程，我們把地圖安放在第一象限，

那麼所有國家的狀態只有以下四種：（奇數，奇數），（奇數，偶數），（偶數，奇數），（偶數，偶數），

第三步：構造一個四元變化系統，

為了方便，我們採用四元數系統的四元數標識：

那麼，四元數系統就構造起來了，

證明過程：

第一，我們證明一個國家到達另外一個國家，必定是這四種狀態中的一種，

反證法，如果存在第五種狀態，這個國家必然不存在這個地圖上。

因為經過拓撲變化，所有國家的狀態都變成了：（整數，整數），

這樣只有四種情形：（奇數，奇數），（奇數，偶數），（偶數，奇數），（偶數，偶數），

第二，一個國家到另外一個國家，狀態必然發生變化，

如果不發生變化，那麼要麼原步不動，要麼那個和初始國家狀態一樣的國家，不和初始國家相鄰。

因為每到一個相鄰國家，X軸，Y軸上的變化，只發生一次，如果變回原來的狀態，意味著不變或者不相鄰，

到這裡，就完全證明，一個國家到另外一個過，必然發生一直變化，而且是必定變換到四元數系統裡面的一個其他因子（另外三個因子的其中一種）。

一旦越界，必然變化，而且只能是四種狀態互相變化。

而且，所有國家的狀態，都只能是四元數系統的四個因子：

其中的任一種。

越過地圖邊界狀態必然變化，變化有且只有三種，如果自己變化成自己，這種變化是不相鄰的。

然後，把四種狀態分別對應換成四種顏色，那麼四色定理，證明完畢！

推論1：

任何一個立體空間中的子空間區域，只用8種顏色就能使具有共同邊界的子空間區域著上不同的顏色。

採用八元數系統，這個是在三維立體空間的推論。

推論2：

我們都在討論四維時空，或者說四維時空，對於一個四維超空間，邊界問題是16種不同的顏色就足夠了。

也就是四維超空間，有十六種狀態。

推論3：

一直到六維超空間，（我們的研究結果是六維度標準時空）採用的著色問題是64種顏色。

到了這裡，大家應該不陌生，就是六爻位對應的六十四卦模型。其實，古人說的八卦真的不玄乎，在說真正的科學，說很實在的數學模型。

後記：

這些推論，不知道具體的應用廣泛程度，但是在超級計算機陣列問題，提高運算速度，和多維度計算，肯定是用得上。

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