數學家-Klein，Felix Christian 克萊因

Klein（1849～1925）生於Dusseldorf，卒於G?ttingen，德國數學家。在群論、幾何、微分方程與函數論交匯的數學領域上有重大貢獻，尤以幾何的「Erlangen綱領」著稱於世。

Klein是一個早慧的天才數學家，16歲進入Bonn大學就讀，19歲在Plucker指導下獲得博士學位，23歲在Clebsch推薦下就任德國南部Erlangen大學數學系主任，25歲就成為《MathematischeAnnalen》的編輯，37歲成為G?ttingen數學系主任，將G?ttingen帶入其黃金顛峰。

1968年，20歲的Klein遊學巴黎，認識挪威數學家Lie，他們兩人的合作為彼此一生之數學事業打下基礎，它們聯合開展了連續變換群（即後稱Lie群）的知識，Klein並巧妙地將它運用到幾何與微分方程上。1872年，Klein在Erlangen大學揭櫫之「Erlangen綱領」揭示了一個嶄新與統一的新觀點，將所謂幾何性質定義成對應於某變換群不變之空間性質。藉由這個綱領，幾何脫離了上千年的歐基里得觀點，並且清楚地涵蓋並刻劃當時幾何的紛爭焦點：歐氏幾何與非歐幾何。

藉助於群論的視角，Klein更深入研究的是繼承並發展黎曼的函數論，深入探討微分方程，群論，不變數理論與黎曼面的關係。他發展曲面的賦向（orientation）觀念，證明有向曲面的分類對應於虧格(genus)，並且深入討論不可賦向的射影面與Klein瓶。另外，他在橢圓模函數(elliptic modular function)與自守函數(automorphic function)的工作，是Klein自認為他一生研究的顛峰。

另外值得一提的是，Klein在22歲一篇討論非歐幾何的文章中，提出非歐幾何的Klein模型，一舉將非歐幾何的一致性問題劃歸到歐氏幾何的一致性問題。

可惜的是，也許是在他長期身處研究、教育、行政的三重壓力下（尤其是30歲後與Poincare在數學上的競爭），他在33歲後幾年精神崩潰，陷入嚴重沮喪，使他一生的重要研究工作就此中斷。

1886年，他接任G?ttingen數學系主任後，運用他過人的遠見與行政長才，他為整個廿世紀的數學環境與體制打下一些重要的基礎：

首先是他戮力於將G?ttingen發展為世界首屈一指的研究中心，今日許多數學研究中心的組織結構都以G?ttingen為濫觴藍本，例如每周研究討論會，閱覽室與研究圖書館，都是Klein與後來的Hilbert（被Klein 1895年請到G?ttingen）一手建立的。

其次，Klein為《Mathematische Annalen》引入一個現代數學雜誌編輯的流程，在他的手中，《MathematischeAnnalen》的重要性，超過以柏林大學為班底的《Crelle s雜誌》。

另外，Klein是一個非常有見識的數學教育家，早年他的學生Hurwitz、Bianchi、Ricci都是獨當一面的數學家。晚年他更投身於大學前的數學教育工作，留下非常多的數學教材著作，讀者可以參閱Klein著《高觀點下的初等數學》。

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