霍布斯的「圓化方」

哲學野史

30位思想大師的趣聞和傳說

馬丁·科恩 著

邱炳 譯

文末有往期鏈接

哲學家是一群善良好心的傢伙，他們願意幫助他人進入「理論」，但除了他們的「荒謬而又呆板的嚴肅性和重視理論的態度」，還有些關於他們的瘋狂事迹。他們同情那些過去的人們，認為他們活在一個沒有完善，並且不可能有公正的客觀性的理論體系里。但當你詢問他們關於新的體系時，他們總是用相同的借口搪塞你：「不，還沒完全準備好。新的體系就快完成了，或者至少是正在構建中，將在下個星期天前完成。」

——索倫?克爾凱郭爾

霍布斯的「圓化方」- 11

霍布斯設想著他對於求與圓相同面積的正方形的論證會莫定他在所有事物——而不僅僅是數學中的地位。通過解決這一柏拉圖、巴比倫人、印度人、阿拉伯人和古代中國人討論的問題，他希望借自己的政治著作使自己上升到一個無法企及的高度。

托馬斯?霍布斯（Thomas Hobbes）出生於英國的一個偏遠小鎮，是一個失業牧師的兒子（他的父親在和另一個牧師爭吵後，不久就再也沒有出現）。儘管他出身卑微，但他卻在後來躋身英國的上流社會，與公爵們一同開懷暢飲，並且他靠當時國王的私人資助生活。

後來，在他14歲離開學校的時候，他已經完成了將希臘悲劇詩人歐里庇得斯（Euripides）的《美狄亞》（Medea）從希臘語翻譯成拉丁語的工作，這一壯舉至今仍然影響著現代的哲學家（或許它的象徵意義比它本身還要多）。在他脫離他叔叔的照顧，成為牛津大學的一個學生時，他開始接近貴族的圈子。完成了牛津的學業之後，他受德文郡（Devonshire）伯爵的邀請，周遊了整個歐洲，甚至在1636年會見了義大利著名的天文學家伽利略。

伽利略向他描述了月球上的山脈、金星的相位和行星的運動，還有哈維（Harvey）的血液循環系統中的生物發現。這些對傳統觀點的巨大挑戰深深震撼了當時的霍布斯。實際上，霍布斯政治哲學中最顯著的特點，就是對各種權威表示出相當精細的義不容辭的尊敬，比如上帝、教皇、高貴的人物或者其他人，這在他的研究方法中顯得相當理性。他的觀點皆基於清楚地羅列出的依據，他的推理使用的是條理清晰的術語，沒有多餘的廢話或「煽動」，正如他嘲笑其他哲學家所做的工作那樣：

他們寫了大量的材料，不是瘋了就是想要其他人瘋掉……這種荒謬是眾多瘋狂行為的一種。那些用簡短清晰的想法描述他們自己世界裡的想法的人，儘管他們忍受爭議，但他們是清醒的。這就是大多數好與壞的學者的區別。

湯姆?索雷爾（Tom Sorell）在《勞特里奇哲學百科全書》中寫道，那時的霍布斯已經完成了歐洲的旅行，他「成功地為白己贏得了名聲，尤其是作為將幾何研究帶人道德與政治領域的人物形象」。但是，如同一個人想要將哲學帶人數學中一樣，他最後還是失敗了。

哲學故事

實際上，由於他對傳統哲學的輕視，霍布斯作品的影響力才這麼大。霍布斯認為人是由利益驅動的，人們常常產生衝突。如今的現代社會贊同他的這種觀點，將它們擺在首位。霍布斯還認為「人類機器」是由自私的力量主導的，並且他對人類會有無私的行為表示懷疑，甚至認為人的無私就是為了自私，是為了他們自己感到快樂。在人類中，主要的運動就是趨向權力。他首先寫道：「我提出一個普遍存在的人類傾向，即對權力永恆的和不斷的渴求，然後就是死亡。」正因為如此，才需要一個絕對的權力來控制他們。

最後一個原因，人的最終目標（凌駕於他人之上的自由和權力）……就是考慮讓他們自己得以保存並得到更滿意的生活。就是說要讓他們自己脫離戰爭（也是必要的結局）的悲慘境地，回到人的自然激情，那麼就要有一個看得見的權力去約束他們，讓他們因害怕被處罰而履行契約……契約沒有武力，那就只是一紙空文。

然而，儘管偏向於某一絕對的權威，但霍布斯反對君權神授，並因為這一舉動（以及各種原因），與他同一時期的許多人認為，他如果不是一個無神論者，就是一個危險的異教徒。在1666年倫敦大瘟疫之中，6萬多倫敦居民死去，緊接著又發生了倫敦大火。在這之後，一個議會委員會成立了，專門用於調查他的作品是否帶來了這兩場大災難。調查的結果就是，從此禁止他寫關於「人類行為」的著作，並只能通過國外渠道出版。

霍布斯所有的著作，都是法學、宗教狂熱和對傳統政治觀念的攻擊的奇特混合體。其中的法學觀點是富有創造力和洞察力的，儘管有時其觀點在邏輯上顯得有些狡猾。比如從單一假定的「基本權利」開始，即人的自我保存上，對基本權利進行推論和衍生。在他最著名的關於社會的著作《利維坦》（The Leviathan）中，霍布斯確定了政治理論、社會倫理和國際法的方向。這是一個偉大的成就。但是或許他最偉大的成就並不為人所意識，那就是托馬斯?霍布斯曾設法畫出與特定的圓面積相等的正方形（圓化方）。

怎麼做

霍布斯把這個3000多年前的數學問題（得到與圓面積相等的正方形）深埋在他的著作《論物體》（De Corpore）中——這本書被普遍認為是三部曲從《人》（The Man）到《居民》（The Citizen）中的一部分。這個曾經困惑著柏拉圖的古老謎團，主要問題就在於是否存在這樣一個正方形，只用一條直尺和一隻圓規，構建出一個與特定的圓相同面積的正方形。這一問題可能最早是在丈量土地時出現的，但在17世紀，「與圓面積相等的正方形」成為了一般人之間比較有趣的一個問題——或許這是最早的數學難題。甚至當時還有對「所有共和國成員」開放的競賽，在一般禮節性的交談中也時常出現這個問題。在1686年3月4日的《學者雜誌》（Journal des Savants）上，記錄了一位年輕的女士拒絕了「一個完美的求婚者」，因為「他無法在給定的時間裡對畫出與圓面積相等的正方形這一問題提出新的觀點」。

在柏拉圖和霍布斯看來，在幾何學中只有兩種傳統的工具可以拿來使用。任何被拿來使用的其他工具都被認為是庸俗和犯禁忌的。求出與圓面積相等的正方形，你首先應該以一條直線為半徑畫一個圓。然後，仍然只用一條直尺和一隻圓規去丈量它，以有限的步驟，畫出與這個圓面積相同的正方形。經過2000多年的嘗試，沒有人能夠辦到這一點。

但是不管你如何看待這一點，這一問題與他的著作沒有絲毫關聯。霍布斯的解決方案，除了在他看來非常出色外，其實是與《論物體》的其他部分不適合的。更糟的是，霍布斯的朋友不久就指出了其中的錯誤。而他卻捨不得刪除那些「證明」，而是重新給了它們一個標題：「錯誤的假設，導致了錯誤的求積。」隨後他添加了第二條證明，可是同樣後來不得不進行改進，第二次的解釋相當貧乏，也就是「大概的求積」。第三次補充的「精確」說明在他將書出版後他發現還是錯誤的。但這時將錯誤的文字刪除已經太晚了，於是他在章節末尾補充道：「讀者應當認同的是在丈量圓的過程中的正確性，而不是錯誤性。」

霍布斯設想著他對於求與圓相同面積的正方形的論證會奠定他在所有事物中的地位。

霍布斯設想著他對於求與圓相同面積的正方形的論證會奠定他在所有事物——而不僅僅是數學中的地位。通過解決這一柏拉圖、巴比倫人、印度人、阿拉伯人和古代中國人討論的問題，他希望借自己的政治著作使自己上升到一個無法企及的高度。他厭倦了被認為是「馬姆斯伯里（Malmeshury）的魔鬼」、「國家裡的怪物」、「無神論的信徒」、「物質神的無聊崇拜者」和「人獸性交的皮條客」。但是他忽略了在牛津大學的塞維利安（Savilian）教授，作為霍布斯的讀者，他是當時最重要的數學家之一，並最早發明了「無窮大」和「大於」、「小於」的符號，並且在微積分領域中佔有重要的地位。還有反對國王的「圓顱黨」（Roundhead）成員，一個嚴謹的長老會（Presbyterian）長老約翰?沃利斯（John Wallis），他在內戰期間截獲了奧利弗?克倫威爾（011-ve：Cromwell）軍隊的軍事信息。兩個人都猛烈地抨擊過霍布斯和他的學說，而沃利斯所主張的是將霍布斯的所有數學錯誤從他的《論物體》中揭示出來。

在1659年1月1日寫給荷蘭物理學和天文學家克里斯蒂安?惠更斯（Christiaan Huygens）的信中，沃利斯提出了他的計劃：

我們的《利維坦》正在嚴重毀壞著我們的大學……尤其是牧師和神職人員和所有的宗教……好像人如果不理解哲學就無法理解宗教，如果不理解數學，就無法理解哲學。因此，看起來有必要告訴一些數學家，他的那些扭曲的推理過程體現了他對數學的理解是多麼的貧乏。就算他的傲慢會將有毒的物質吐向我們，我們也不應該停下腳步。

率先明確想要給予霍布斯打擊的，來自一本名為《駁斥霍布斯幾何》（Elenchus Geometriae Hobbianae）的小冊子（「elenchus」是一種最初在所有柏拉圖的對話中蘇格拉底使用的方法，有時也稱之為「蘇格拉底式方法」）。在這種方式的對話中，沃利斯結合了簡單的數學技能和嘲諷的字眼，系統地、一步步地通過霍布斯的定義以及方法，依次將他所有的理論推翻。他甚至還拿霍布斯的名字開玩笑，稱他是個妖怪（Hohgoblin）。

「妖怪」確實有點兒過分，但是在數學上的侮辱顯得更加嚴重。霍布斯試圖將哲學簡化為數學。事實上，他聲稱，推理就是「名稱的加減法，除此外什麼都不是」,「真理的命題」並「不是與事物的本質有關，而是與事物的名字有關」。更糟的是，他把幾何知識置於理解的中心。

瞧瞧這一正確的事實，一個追求真理的人必須記住那些他所用來表示的所使用的詞語都代表什麼並把它們按條目理清，否則他將發現自己會陷入自己的言語中：好像一隻站在帶有粘鳥膠的樹枝上的鳥，它越掙扎就粘得越緊。因而，在幾何學（這是迄今為止上帝贈與人類唯一的科學）上，人們開始嚴謹對待他們的言語，他們會將那些嚴謹對待的言語稱之為定義，並將其放在他們計算的開始部分。

事實上，霍布斯在其他地方曾提到，幾何學「有點像酒」。對於他來講當然如此。手上沒有紙張時，他時常在大腿和床單上繪製幾何圖形。

歷史學家認為霍布斯對幾何的熱愛開始於他和德文郡伯爵的「歐洲之旅」。他在一個外國紳士的圖書館裡，偶然看到了歐幾里得的《幾何學原理》。歐幾里得一直都是他的靈感來源，即使是在風格上面也是如此。隨後他毫不猶豫地重寫了歐幾里得定義，例如，把點定義為更像是運動中的粒子。霍布斯是在伽利略、羅伯特?波義耳（Rohert Boyle）和當時其他人之後，聲稱機械運動是了解宇宙途徑的人。

現在在他眼前，他心愛的幾何證明被粉碎了！但是假如霍布斯的父親不是那個教堂的牧師，他的青年時期將會充滿嚴厲。他用一些小冊子作出了回應，首先是《荒謬幾何的備註》（Marks of The Ahsurd Grome-try）、《農村語言》（Rural Language）、《蘇格蘭教會政治》（Scottish Church Politics）和《野蠻人約翰?沃利斯》（Barharisms of John Wal-lis）。這些是在他的6篇相當不吸引人的「對話」之後發表的，這些對話發表於1660年春天，題為《數學研究的檢驗與修正》（Examinatio et Emendatio Mathemati CaeHodiernae,1660）。

回到《論物體》本身，他在此書的英文版巾添加了一條附錄：「給數學教授的六堂課，給幾何學教授的一堂課，剩下的幾堂課給天文學教授。」這偷取了沃利斯幾本書的成果，一本是《邏輯反駁》（Elenchus）,一本是《論圓錐曲線》（De Sectionibus Conicis），另一本是《無窮算數》（Arithematica Infinitorum），其中，《無窮算數》在微積分的發展中極大地影響了牛頓（可能還有萊布尼茨）。事實上，這也探索了「求與圓相同面積的正方形」，因為它設置了一個新的用來測定圓的面積的方法，即用代數符號二。他的公式的值被記錄下來，並以他的名字命名——沃利斯公式，直到今天。

然而，用霍布斯形容沃利斯《無窮算數》的話來說：「我的確相信，從世界的起源至今，還沒有如此荒謬的幾何著作。」

但他最狡猾的是公布了對另一個古老問題的新的解決辦法，「加倍立方體」（duplication of the cube）問題，他從法國一位匿名人上那裡得到了這個問題，霍布斯相當確信他這一次的解答是正確的，但是，沃利斯回應了他。當塞維利安教授指出霍布斯的錯誤時，霍布斯以自己的名字公布了一個新證明，但是同時採用了沃利斯的觀點，好像這些觀點就是霍布斯自己的一樣。但很快，沃利斯便公開地駁倒了這個解答。霍布斯隨後重新出版了這一系列論文（稍加修改）並加上替自己辯護的文章！

於是，在整個17世紀60年代，就算在他成千上萬的同胞都死於大瘟疫的情況下，霍布斯還是只關注於在爭辯中勝過「幾何學教授」。他摒棄沃利斯的代數解法，稱之為「純粹的無知和廢話」，他的書是「壞血病」並「因此充斥著符號的傷疤」，看起來「好像一隻母雞被扔到那兒」。在1666年倫敦大火期間，他出版了《幾何原理》（Principles of Geometry）一書，三年後又分別出版了《與圓面積相等的正方形》（Squaring the Circle）、《球體的體積》（Cuhing the Sphere）、《加倍立方體》（Duplication of the Cube）。唉，這些書很快就被沃利斯駁倒了，兩個人進人了一個出版駁倒另外一個人的著作的惡性循環，似乎沒有盡頭。

典型的是沃利斯寫的《糾正霍布斯先生》（Due Corrections for Mr.Hobbes）的小冊子，或是《學派紀律》（School Discipline），裡面集中了霍布斯濫用的技術用語，尤其是在「點」這個詞上。惱怒的霍布斯隨後就發表了一系列之前提到的《荒謬幾何的備註》、《農村語言》、《蘇格蘭教會政治》和《野蠻人約翰?沃利斯》等進行反駁。隨著時間的推移，沃利斯看起來似乎厭倦了這場「戰爭」，而霍布斯直到死前還在捍衛他的數學著作。甚至在91歲臨死前不久，他還在另一本書巾處理「與圓面積相等的正方形」的問題。書的序言里說道：

在我針對這個問題的不同方法給出了足夠的關注後，那些幾何學教授卻並沒有理解。於是，我補充了最新的一點。

華而不實的注釋

德國數學家費迪南德?林德曼（Ferdinand Lindemann）在1882年提出了一個令人信服的證據來證明得到「與圓面積相同的正方形」是不可能的，原因是正方形的邊長必須是一些數字乘以二，而二被稱為超越數，即帶有無窮的小數的數。

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