音樂的數學

音樂的數學 自古以來，音樂和數學就有著關聯．在中古時期，人們把音樂與算術、 幾何和天文同列為教育的課程．就連今天的電子計算機也始終跟音樂聯繫在 一起．

樂譜的書寫是數學在音樂上顯示其影響的最為明顯的地方．在樂曲的稿 中，我們可以找到拍號（4：4，3：4 或 1：4 等）、每個小節的拍子、全音 符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等．譜寫樂曲要使它適 合於每音節的拍子數，這相似於找公分母的過程——在一個固定的拍子里， 不同長度的音符必須使它湊成一個特定的節拍．然而作曲家創造樂曲時卻能 極其美妙而又毫不費力地把它們與樂譜的嚴格構造有機地融合在一起．對一 部完整的作品進行分析，我們會看到每一個音節都有規定的拍數，而且運用 了各種合適長度的音符．

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除了上述數學與樂譜的明顯聯繫外，音樂還與比例、指數、曲線、周期 函數以及計算機科學等相關聯．畢達哥拉斯的追隨者們（公元前 585—400） 最先用比例把音樂和數學結合起來．他們發現在樂聲的協調與所認識的整數 之間有著密切的關係，撥動一根弦發出的聲音依賴於弦的長度．他們還發現 協和音是由長度與原弦長的比為整數比的繃緊的弦給出．事實上被撥動弦的 每一種和諧的結合，都能表示為整數比．由增大成整數比的弦的長度，能夠 產生全部的音階．例如，從一根產生音C的弦開始，接著C的長度的給出 B，C的長度的給出A，C的給出G，C的給出F．C的給出E，C的給出D，C的給出低音 C．

你可能感到驚奇，為什麼平台鋼琴有它特有的形狀？實際上，許多樂器 的形狀和結構都跟不同的數學概念聯繫著．指數函數和它的曲線就是這樣概 念中的一種．一條指數曲線由形如的方程所描述，這裡 k＞0．例如 y＝，其圖象如下．

音樂的器械，無論是弦樂還是管樂，在它們的結構中都反映出指數曲線 的形狀．

對樂聲本質的研究，在 19 世紀法國數學家傅立葉的著作中達到了頂 峰．他證明了所有的樂聲——不管是器樂還是聲樂——都能用數學表達式來 描述，它們是一些簡單的正弦周期函數的和．每種聲音都有三種品質：音調、 音量和音色，並以此與其他的樂聲相區別．

傅立葉的發現，使人們可以將聲音的三種品質通過圖解加以描述並區 分．音調與曲線的頻率有關，音量與曲線的振幅有關，而音色則與周期函數 的形狀有關．

很少有人既通曉數學又通曉音樂，這使得把計算機用於合成音樂及樂器 設計等方面難於成功．數學的發現，即周期函數，是現代樂器設計和計算機 音響設計的精髓．許多樂器的製造都是把它們產生的聲音的圖象，與這些樂 器理想聲音的圖象相比較然後加以改進的．電子音樂的忠實再生也是跟周期圖象緊密聯繫著 的．音樂家和數學家們將在音樂的產生和再生方面，繼續擔任著同等重要的角色

來源：選自 《數學趣聞集錦》

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