伯努利兄弟的紛爭：哪條滑梯滑的更快？

科技 09-30

誰都見過兒童樂園的滑梯。滑梯有各種各樣的形狀，孩子們從上面飛速滑下，不亦樂乎！但你是否想過：什麼形狀的滑梯，才能使得滑動者到達地面的時間最短呢？這實際上是一個著名的數學問題，微積分方法的出現促成了它的解決，並由此而開拓了一門與物理學緊密聯繫的新的數學分支：變分法和泛函分析。

別著急，且聽我們慢慢道來，先從微積分建立之後，歐洲兩位數學家：伯努利兄弟之爭說起。

瑞士的伯努利家族是世界頗負盛名的科學世家，出了好幾個有名的科學家，馳騁影響學界上百年。學物理的人都知道流體力學中有一個著名的伯努利定律，說的是有關不可壓縮流體沿著流線的移動行為，由丹尼爾?伯努利（DanielBernoulli，1700－1782）提出。丹尼爾的父親和伯父則都是他們那個時代著名的數學家。

有意思的是，伯努利家族這幾個科學家之間，相處得並不和諧。互相在科學成就上爭名奪利、糾紛不斷。尤為後人留下笑柄的是丹尼爾的父親約翰?伯努利。

約翰?伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）和他的哥哥雅各布?伯努利（JakobI. Bernoulli，1654-1705）都為微積分的發展作了傑出貢獻。約翰進入巴塞爾大學時，比他大13歲的雅各布已經是數學系教授，因此，約翰向大哥學習數學。兩人既是兄弟手足，又是導師和學生的關係。

約翰天資聰明，拜大哥為師的兩年之後，數學能力就達到了與哥哥能一比高低的水平。沒想到智力水平的高低並不等價於人品和修養的高低，約翰不服雅各布，雅各布卻仍然將弟弟看成一個學生，兩兄弟之間逐漸形成了一種不十分友好的競爭狀態。約翰十分妒忌雅各布在巴塞爾大學的崇高地位，於是，無論在私底下，還是在大庭廣眾中，兩人經常互相較勁。不過，世人可以不齒於他們互相嫉妒詆毀的人格，卻不能否認他們這種競爭較勁的狀態，還算有利於學術。從下面的幾個例子，便是對以上說法的佐證。

那個時代的歐洲數學家，有一股互相出難題來挑戰學術界的風氣。1691年，哥哥雅各布建議數學家們研究懸鏈線（Catenary）問題，也就是兩端固定的繩子（或鏈條）由於重力而自由下垂形成的曲線到底是個什麼形狀的問題。這個問題現在看起來簡單，但在微積分和牛頓力學尚未建立以及剛剛建立的年代，卻是不容易解決的。伽利略在1638年就曾經錯誤地猜測懸鏈線是拋物線，後來（1646年），17歲的少年惠更斯證明了懸鏈線不是拋物線。但不是拋物線，又是什麼線呢？它的方程是怎麼樣的？當時誰也不知道答案。懸而未決的懸鏈線問題在等待著微積分的到來！

圖1：懸鏈線和方程

雅各布收到了好幾個答案，其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟約翰?伯努利。他們成功地用微積分解決了這個問題，證明了懸鏈線是如圖1中所示的公式所描述的雙曲餘弦函數。因為這個問題的成功，驕傲自負的約翰得意非凡，認為這是他在兄弟之爭中的輝煌勝利，並更加瞧不起這個他認為「愚笨」的哥哥。約翰在多年後寫給朋友的一封信中，還津津有味地描述了當時掩飾不住的「贏了哥哥」的狂喜心態：

「我哥哥對此問題的努力一直都沒有成功，最後卻被我解決了。我不是想自誇，但我為什麼要隱瞞真相呢？在我找到答案後第二天早上，狂奔到我的兄弟那兒，看到他還在為此而苦苦掙扎。他總是像伽利略那樣傻想，認為懸鏈線可能是拋物線。我興奮激動地告訴他，錯了，錯了！拋物線是代數曲線，懸鏈線卻是一種超越曲線transcendentalcurve……」

其實，雅各布的數學成就並不遜色於弟弟，他活得沒有弟弟長，50歲就去世了。約翰活到了80歲。雅各布短短的學術生涯中，對微積分及概率論作出很多貢獻，其中最為眾人所知的是「大數定律」。此外，數學中有許多以伯努利命名的術語，其中十幾個都是雅各布的功勞。

1696年，約翰也對歐洲數學家提出了一個挑戰難題，那就是著名的最速降落軌道（Brachistochrone curve）問題，也就是我們在本節開頭所問的「哪條滑梯最快？」的問題。

假設A和B是地面上高低不同（A不低於B）左右有別的兩個點，如圖2左圖所示。一個沒有初始速度的小球，在無摩擦力只有重力的作用下從A點滑到B點。從A到B的軌道可以有很多很多，各自有不同的形狀和長短，見圖2中間一圖。問題是：這其中的哪一條軌道，將使得小球從A到B的時間最短？

如果問的是距離最短，大家在直觀上都知道答案是直線，但現在是要你求出所花時間最短的曲線，直觀就不太頂用了。有人估計約翰自己當時已經得出了這個問題的答案，而提出這個問題的目的之一是挑戰牛頓，其二則是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是約翰的嫉妒心所致，為啥又要挑戰牛頓呢？原因是在牛頓與萊布尼茨對微積分發明權的爭奪戰上，約翰是始終堅定地站在自己的老師萊布尼茨一邊的。

約翰原來規定答案必須在1697年1月1日之前寄出，後來在萊布尼茨的建議下，將期限延長至復活節。期限延長後，為了確保牛頓得知此事，約翰親自將問題單獨寄了一份給他。牛頓畢竟是大師，當時已經年過半百，正在繁忙於他的改鑄新幣的工作，自己也承認腦瓜子已經大不如年輕時機敏。但無論如何，據說牛頓在下午4點鐘收到郵件後，僅僅用了一個晚上便解決了這個問題，並且立即匿名寄給了約翰。這使約翰大為失望，因為他自己解決這個問題花費了兩個星期的時間。雖然牛頓未署真名，約翰仍然猜出了是他，並且也不得不佩服地說：「我從利爪認出了雄獅！」（Irecognize the lion by his paw）。復活節時，約翰共收到五份答案：除了約翰自己和牛頓的之外，還有萊布尼茲、法國的洛必達侯爵、以及他的哥哥雅各布。

圖2：最速落徑問題

最速落徑問題被視為數學史上第一個被仔細研究的變分問題，它導致了變分法的誕生，之後更開闢出泛函分析這一嶄新廣闊的數學領域。

變分法是什麼？它和原始的微積分思想有何異同點？

有了微積分之後，人們學會了處理函數的極大值極小值問題。比如，當我們研究上拋物體所形成的拋物線軌道時，物體能到達的最高點便對應於拋物線的極大值。用微積分的語言來描述，極大極小值，和鞍點，都是曲線上函數y（拋出物體的高度）對自變數x（拋出物體的水平位移）的一階導數為的點。變分法處理的也是極值問題，不同的是，變分法的自變數不是一個變數x，而是一個變動的函數y（x）。比如說在上述的最速落徑問題中問的是，從A到B的各種軌道（即圖2中間圖中的各種曲線），即各種函數y（x）中，哪一條軌道能使得下滑的時間最短？在這兒，需要求極值的函數是「下滑的時間」，自變數呢，則是在端點A和B固定了的所有「函數」。也就是說，變分法要解決的是「函數的函數」的極值問題。數學家們將這種「函數的函數」稱為「泛函」，而變分之於泛函，便相當於微分之於函數。

回到當初約翰提出最速落徑問題後收到的五份答案。儘管牛頓的才能使約翰沮喪，他仍然得意地認為自己的方法是所有答案中最簡潔漂亮的，而認為他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛頓等其餘三人用的是微積分方法，在此不表。伯努利弟兄方法的差別何在呢？

約翰的答案簡潔漂亮，是因為他借用了光學中費馬的光程（或時間）最短原理。法國數學家費馬（Fermat，Pierrede，1601-1665）是個很奇怪的學者，他是法院的法律顧問，算是個業餘數學家。他的特點是不怎麼發表著作，經常是只在書的邊緣處寫下一些草率的註記，或者是偶然地將他的發現寫信告訴他的朋友。現在看來，即使是這種草率註記中的三言兩語，已經使世人震撼忙碌不已，要是費馬正兒八經地專門研究數學，那還了得？例如，1637年，費馬在閱讀《算術》一書時，曾寫下註記：「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下……」。就是這一段短短的註記，後來被稱之為「費馬大定理」的猜想，就困惑了數學家們整整358年！

言歸正傳，費馬研究光學時發現，光線總是按照時間最小的路線傳播。這個原理，是幾何光學的基礎，可以從後來的惠更斯原理推導出來。事實上，費馬原理現代版的更準確表述應該是：光線總是按照時間最小、或最大、或平穩點的路線傳播。換言之，光線傳播的經典路徑是變分為的路徑。所以事實上，有關光線傳播的費馬原理應該算是變分法的最早例子，但在當時，人們尚未認識到這點，也沒有進行詳細的理論研究。

約翰·伯努利畢竟腦瓜子靈活，將費馬原理信手拈來，把小球在重力場中的運動類比於光線在介質中的傳播，導出了最速落徑問題中那條費時最短的路徑所滿足的微分方程。這個微分方程的解，實際上就是同時代的惠更斯曾經研究過的「擺線」（沿直線滾動的圓的邊界上一點的軌跡）。或者說，最速落徑就是倒過來看的擺線，見圖2中的右圖。

約翰很得意地將最速落徑問題中的物體類比於光線，貌似輕而易舉地解決了問題，也得到了正確的答案（圖3a）。用現代物理學對光的理解來審查約翰的解法，光和物體的確可以類比。但在當時，約翰的方法恐怕只能算是一種投機取巧，因為他完全沒有證據來說明這種做法的正確性。

雅各布·伯努利的方法雖然被約翰看不上，認為太繁複，但卻在繁複的推導中閃爍出新的變分思想的光輝。雅各布沒有使用像現成的費馬原理這類的東西，而是從重力運動下小球遵循的物理和幾何規律來仔細推敲這個問題。他首先假設小球是沿著一條時間最短的路線下滑的，然後考慮：如果在某個時刻，小球的路線稍微偏離了這條時間最短的路線，走了別的什麼路徑的話，會發生什麼情況呢（圖3b）？大家可以注意到，上述雅各布的做法已經是一種變分的思想，因為他是在考慮所有微小偏離路徑中使得時間最小的那個偏離。然後，雅各布用二階導數的方法證明了，在這種情形下，為了使小球繼續走時間最短的路，它的路線的微分偏離量，dx和dy，應該滿足的方程，就正好是擺線所滿足的微分方程。

圖3：（a）約翰使用折射定律（b）雅各布用二階導數的分析方法

從圖3中可粗略看出，約翰簡單地使用費馬折射定律，雅各布用考慮二階導數的「繁瑣」方法，最後都導致了同樣的公式，即圖3a和圖3b中間的方程，解決了最速落徑問題。

簡單之美的確誘人，但從上面的故事也悟出一個道理：外表簡潔漂亮的未必見得正確，繁複冗長的功夫也可能並沒有白費。

伯努利兄弟的你爭我斗推動了變分法和泛函分析的發展。沒過幾年，哥哥雅各布就去世了。看來，約翰是過不了沒有競爭對手的日子，他繼而又把對雅各布的嫉妒心轉移到了自己的天才兒子丹尼爾?伯努利的身上，據說他為了與兒子爭奪一個獎項把丹尼爾趕出了家門，後來還竊取丹尼爾的成果據為己有。約翰與另一位數學家洛必達之間也有一段紛爭，因為眾所周知的「洛必達法則」，實際上是約翰·伯努利發現的。約翰曾經被洛必達以一紙合約聘請為私人數學老師，洛必達並非有意剽竊伯努利的成果，但伯努利為此久久不能釋懷。更多的故事不在這兒講，只付諸一笑。

來源：張天蓉的科學網博客

轉自：數學中國

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