和圓一樣的三角形

知識 09-30

數學之所以重要，不僅因為它是科學理論的基石，還因為數學在日常生活、工業製造甚至是藝術品審美上都用著非常廣泛的應用和體現。如果不知道一些基本的數學道理，就是被科學武裝到牙齒的 NASA 工程師也會犯一些低級錯誤。比如今天的故事主角——勒洛三角形。這個和圓是一家的多邊形，不僅性質奇特，還是製造業的寵兒。它是如何滲透到廣大勞動人民身邊的？

不識勒洛三角形，NASA都要犯錯誤

歷史上，一枚美國火箭的發射流程是這樣的：先在工廠完成推進器的組裝，然後用駁船運至佛羅里達的肯尼迪航天中心進行整體吊裝，最後在發射台上點火發射。然而，一些 NASA 的工程師發現一個問題：在運抵總裝車間之前，推進器需要橫躺著跋涉數千公里（例如在加利福尼亞組裝的土星 -5 的第二級推進器甚至需要繞道巴拿馬運河），但在這一過程中，由於其本身的巨大重量，推進器有可能會發生變形。對於液體燃料火箭來說，輕微的變形也可能導致燃料泄漏造成發射事故。為了檢驗火箭截面是否是正圓， NASA 的技術人員們提出了一個標準，每隔 60° 測量一次火箭的直徑（該方向上界面內兩點距離的最大值），如果 3 次測得的直徑都相等，那火箭的截面即使不是標準的圓形也差不多了。

然而這個方案真的靠譜么？很不幸，一種叫做定寬曲線的曲線族粉碎了他們的幻想。定寬曲線是這樣的一種幾何圖形，它們在任何方向上的直徑（或稱寬度）都是定值。當然，圓也是一種定寬曲線，但是定寬曲線可遠遠不止這麼一種，其中最具有代表性的當屬勒洛三角形。

勒洛三角形

像上圖這樣把 3 個等半徑的圓重合起來，兩兩互相經過圓心， 3 個圓相交的部分就是勒洛三角形，或者其發現者所稱的「曲邊三角形」。如果不幸碰到這樣的一條曲線， NASA 的工作人員無論怎麼測直徑，得到的結果都會是一樣的。

勒洛三角形和它的一干定寬曲線兄弟們都具有許多有趣的特性，其中最重要的當然就是它們的定寬性。使用截面是定寬曲線的滾木來搬運東西，不會發生上下抖動。實際上這樣的裝置在許多科技館都能看到，下圖就是柏林一家博物館內的定寬曲線滾木。另外定寬曲線還有一個有趣的性質，就是寬度相等的定寬曲線有相同的周長，所以下圖中的圓形滾木轉過一周的時候，旁邊的勒洛三角形滾木也恰好轉過一周。

製造工藝上的廣泛應用

應用上面滾木的原理，可以製造出許多有趣的小玩意。例如我國勞動人民就充分發揮聰明才智製造了一輛利用等寬曲線輪的角輪自行車，據說已經成功申請專利了。

有人會說「角輪自行車」只是觀賞性大於實用性的玩具，確實如此。那不妨讓我們再來看看等寬曲線在汽車工業上的應用。當然，汽車製造商們不會用等寬曲線製造輪子，他們把等寬曲線藏在了汽車更核心的部分——發動機里。下圖就是馬自達公司的轉子發動機截面圖。其實轉子發動機並不是什麼新鮮發明，早在 20 世紀 50 年代德國工程師汪克爾就製造出了第一台轉子發動機的樣機，因此這種發動機又叫做汪克爾發動機。

熟悉汽車的同學可能已經注意到了這種發動機與其他發動機的不同之處，它沒有常見的活塞和曲桿。沒錯，因為對於轉子發動機來說，這些麻煩的東西已經完全不需要了，取而代之的是一個轉子。轉子的截面是面積最小的等寬曲線勒洛三角形，無論轉子轉到什麼角度，都嚴格將汽缸分成三部分，同時進行進氣、壓縮、點火與排氣的周期，這樣當轉子轉過一周時可以做功三次，效率遠高於旋轉兩周才做工一次的傳統四衝程活塞發動機。與傳統四衝程發動機相比，轉子發動機具有體積更小、振動與噪音更低、結構簡單、故障率低等優點。但轉子發動機對材料和工藝的要求也更高，同時提升功率較為困難，所以目前市場上，採用轉子發動機的汽車公司還並不多。

由於等寬性，等寬曲線還可以在一個正方形內貼著邊沿滾動。 1914 年，一位注意到這一特性的美國工程師據此發明了方孔鑽頭。方孔鑽頭的截面是一個勒洛三角形，為使鑽頭更鋒利，它被削去了一部分的。在工作時鑽頭的中心隨著鑽頭的轉動同時繞軸做圓周運動（事實上並不是嚴格的圓周運動），就可以鑽出四角略圓的正方形。

方孔鑽頭分解圖，中間的齒輪組是使鑽頭軸轉動的機構

在上面的段落里，勒洛三角形大出風頭，但是等寬曲線家族可不是只有這麼一位成員。在其他地方我們也能看見等寬曲線的身影，許多國家的硬幣就喜歡採用等寬曲線作為外形輪廓，例如英國的 20 便士與 50 便士銀幣採用的就是由 7 條弧組成的定寬曲線。除此之外，在不少藝術品中也常常能看到各種等寬曲線的身影，這主要是為了提高觀賞價值了。

參考資料

[1] 理查德?費曼，《你幹嘛在乎別人怎麼想》

[2] 馬丁?加德納，《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》

[3] 汽車之家，氣缸排列形式詞條

[4] Scott Smith，Drilling Square Holes

*本文選載自微信公眾平台」數學中國「

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