第305期 還原正方形

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 305

還原正方形

如圖，已知E，F，G，H四點為正方形ABCD各邊上任一點，怎樣由此四點把正方形ABCD還原出來？

右下角寫留言開始答題，鼓勵大家把思考的過程寫出來。

如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 304

智慧數

如果對於大於1的整數z，存在兩個正整數x,y，使得z=x2-y2,那麼稱這個數z叫做智慧數。把所有的智慧數按從小到大排列，那麼第2017個智慧數是多少？

分析與解答

答案：2692。

設正整數k，有(k＋1)2－k2＝2k＋1,即所有的奇數都是智慧數(1除外)。

還有(k＋1)2－(k－1)2＝4k，即所有能被4整除的數都是智慧數(4除外)。

另一方面，假如4k＋2是智慧數，那麼必有兩個正整數m和n，使得4k＋2＝m2－n2，即2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)，由於m＋n和m－n兩數奇偶相同，(m＋n)(m－n)要麼是奇數，要麼是4的倍數，與4k＋2矛盾，所以4k＋2不是智慧數。

綜上，3是最小的智慧數，接下來是5、7、8；9、11、12；13、15、16；...

即把從1開始的正整數依次每4個分成1組，除第一組只有1個智慧數(3)外，其餘各組都有3個智慧數(2奇數和1個4的倍數)，且每組中第二個數不是智慧數。所以，第2017個智慧數是在(2017－1)/3＋1＝673組的第4個數，即673×4＝2692。

拓展思維：

如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那麼稱這個正整數為「神秘數」。如12=42-22,所以12是神秘數。

（1） 神秘數都是4的倍數嗎？為什麼？

（2） 兩個連續奇數的差是神秘數嗎？為什麼？

（本期答案整理:水滴）

題友解答精選

題友@鄧晉榮的解答：

z=x2-y2=(x+y)(x-y)，x+y與x-y同奇偶 顯然所有大於1的奇數符合條件 所有大於4的4的倍數可以分解為2乘以一個大於2的倍數，符合條件 對於不是4的倍數的偶數，必然分解為一奇一偶相乘，不符合 因此，除了1,2,3,4外，每四個數就有三個智慧數，(2017-1)÷3=672，所以答案為(672+1)×4=2692

題友@黃河的解答：

關於證明「智慧數只能表示為2k+1或4k的形式，k為正整數」，可以更簡單點： 由於2k+1=(k+1)2-k2，所以所有大於1的奇數都是智慧數； 由於4k=(k+1)2-(k-1)2，所以所有大於4的4的倍數都是智慧數； 對所有正整數n，由於(n+1)2-n2=2n+1>2，所以所有n2+2都不是完全平方數，即兩個完全平方數之差(即智慧數)不可能是被4除餘2的偶數。

題友@Lin-匯豐的解答：

第2017個智慧數是2692。 由題意得：z=(x+y)(x-y)，令a=x+y，b=x-y，則有z=ab，其中a和b奇偶性相同，且a≠b。 首先考慮奇數，不妨取b=1，a=2k+1(k是任意正整數)，則所有大於等於3的奇數都滿足z； 接著考慮偶數，取b=2，a=2k(k是大於1的正整數)，則所有大於等於8的4的倍數都滿足z。 綜上，將正整數按4個數為一組劃分，第一組只有3一個智慧數，從第二組開始每組都有3個智慧數（4k-3,4k-1,4k），又(2017-1)÷3=672，故第2017個智慧數為第673組的最後一個數：4×673=2692。

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