概率是什麼？大至宇宙誕生，小到人類社會，你每天都能看到他身影

概率，了解不確定性

「概率」這兩個字，除了出現在高中數學課本中外，最常出現的地方也許就是天氣預報中的「降水概率」了，

也就是未來幾天下雨的可能性有多大。在數學領域中，概率論是專門研究「可能性」的一個分支。它涉及的問題非常廣泛，涵蓋的內容遠遠超過了課本里那些刻板的習題。

一切隨機或者不確定的事件，都是概率論研究的範疇。上至氣象下至金融，甚至連「磁鐵的磁性是怎麼來的」這種物理問題，都可以用概率的方法進行研究。

不過，雖然概率論的應用範圍非常廣泛，但這門學科的誕生卻有些「不太光彩」。

來自賭博的問題

1654年的一天早上，法國數學家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）收到了他的朋友貢博的一封來信。

這位朋友自稱「來自梅雷的騎士」，也算是一位業餘數學家。他向帕斯卡提出了如下問題：兩位貴族A與B正在進行一場賭局，賭注是每人500法郎。遊戲規則很簡單，兩人輪流擲硬幣，得到正面則A得一分，反面則B得一分，每局兩人得分的機會相等，誰先得到6分誰就拿走這1000法郎。兩人激戰至2比4之際，B突然有事需要提前中止賭局。那麼問題來了，究竟應該如何分配賭資才最公平呢？

在數學中，這一類問題被稱為點數分配問題。早在16世紀就有人研究過，不過當時數學家給出的答案並不令人滿意，在某些極端情況下，甚至會給出非常不合理的分配方案。也許這位「梅雷騎士」正是見識過現實中因這類賭局和突髮狀況而引起的矛盾，因此才特意寫信給帕斯卡，希望他能夠完美地解決這個問題。

作為一代數學大家，帕斯卡對此也產生了濃厚的興趣。隨即，他便向另一位業餘數學家皮埃爾·德·費馬

（Pierre Fermat）發去了一封信，共同討論這個問題。「業餘數學家之王」費馬很快就給出了一個答案。他認為，不能單憑賭局停止時的比分或者各自獲勝所需要的分數來決定賭注的分配，而是應該考慮所有比賽可能出現的狀況，從而計算出雙方的獲勝比例。當然，列舉所有可能性的計算量非常大，於是帕斯卡提出了一個簡化演算法，並完美地解決了點數分配問題。

實際上，他們的解答就相當於在計算兩位玩家勝利概率的大小。在研究中，帕斯卡提出了「數學期望」的概念，以及著名的「帕斯卡三角形」（我國稱其為「楊輝三角形」，即二項式展開式的係數規律）。

某個結果為實數的隨機事件的數學期望，也就是所有結果按照發生概率加權之後的平均值。

數學期望這個概念，掀開了概率論研究的序幕。無疑，帕斯卡和費馬對早期概率論的發展起到了極大的影響。

什麼是概率

很多概率問題都有著特別的結構。以某個非常簡單的隨機事件來說，比如拋擲硬幣。

我們知道每種結果出現的可能性的大小，而這類事件就被稱為「基本事件」。我們可以多次重複這些基本事件，假定它們發生的可能性不會改變，而且這些重複沒有相互影響。如果我們將這些基本事件以合適的形式組合起來，就能得到一個更為複雜而有趣的系統。

事實上，許多概率問題就是對這些隨機系統的各種性質的研究。比如說，在點數分配問題中，基本事件就是硬幣的拋擲，而系統則是賭局的具體規則，最後我們希望得知的則是每一方獲勝的可能性大小。

在概率論的早期發展過程中，數學家研究的問題大多比較簡單，不僅基本事件只有有限的幾種結果，就連組合的方式也相對單一。這樣構成的隨機系統就被稱為古典概型。

隨著數學的發展，數學家開始考慮更加複雜的模型。18世紀，法國數學家布豐（Der Buffon）

提出了這樣一個問題：在數條間隔相等的平行線之間，隨機投下長度與間距相等的一根針，那麼它與這些平行線相交的概率是多少？在這個問題里，由於角度與距離都是連續的值，因此這樣的基本事件就有著無數種不同的結果。這樣的隨機系統就被稱為幾何概型。

其實早在19世紀，概率論就已經成為了一門枝繁葉茂的數學分支。但有趣的是，直到20世紀，「概率」這個概念才有了嚴格定義。雖然古典概型的結果數量有限，其定義相對簡單，並沒有什麼含糊之處，但幾何概型的情況顯然更為複雜。

我們不妨考慮這樣一個問題：圓中有一條隨機的弦，它的長度比圓內接正三角形的邊長更長的概率是多少？其實，這個問題又叫做貝特朗悖論，

它的奇特之處在於，選取「隨機的弦」的方法不同，得到的概率也不盡相同。

直到1933年，俄國數學家柯爾莫哥洛夫

（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）為概率論建立公理體系之後，這個問題的解答才變得昭然若揭。柯爾莫哥洛夫將概率模型建立在某一類所謂的「σ代數上的測度」上，這樣的測度可以有很多種，而不同的測度則對應著不同的「隨機」。在貝特朗悖論中，選取隨機弦的方法實際上對應著不同測度的選取，也就是不同的「隨機」概念，自然會得到不同的結果。

如今，概率模型的種類已經變得越來越多，也越來越複雜，系統可以包含無限個基本事件，而具體的組織方式也更加繁複、更為有趣——隨機圖、滲流模型、自迴避行走……這些概率模型早已不能用古典概型或幾何概型來概括了。不過，也正是因為有了這些複雜的模型，我們才能用概率論解決在現實世界中碰到的種種難題。

無處不在的分布

如果讓數學家評選概率論中最重要的定理，桂冠可能中心極限定理（Central Limit Theorem）莫屬。它不僅是概率論中許多重要結果的基石，就是在其他學科，尤其是計算機科學領域，它也有相當重要的應用。而在現實生活中，它還是整整一個行業賴以生存的理論基礎。

其實，中心極限定理不止一個，它的本質是一連串定理的總稱，我們可以把它視為「大數定理」的細化與推廣。

假設我們有一枚硬幣，它擲出正反面的概率相等，那麼，如果我們連續拋擲這枚硬幣一萬次，常識告訴我們，其中為正面的結果大概是五千次。這就是大數定理：如果對某個基本事件獨立地重複多次，那麼某個可能性發生的次數佔總數的比例就會趨近於這個可能性發生的概率。

與大數定理不同的是，中心極限定理處理的則是那些結果是實數的隨機基本事件。它告訴我們，如果將許多相同而又獨立的基本事件的結果取平均值的話，那麼這個平均值會趨向某個概率分布。如果根據大數定理，這個分布的數學期望就是基本事件的數學期望。而中心極限定理則告訴了我們額外的一點——這個概率分布必定是一個所謂的「正態分布」（Normal distribution），而它的方差，

也就是概率分布的「分散」程度，是基本事件的方差除以事件數目的平方根。也就是說，基本事件越多，平均值的不確定性就越小。

如果我們將這個正態分布畫成曲線的話，那麼它就像是一口大鐘，中間高，兩端則呈指數衰減，這也為它贏得了「鐘形曲線」這麼一個形象的名字。其實，中心極限定理可以推廣到取值範圍是高維空間中任意一點的情況，而「相同的基本事件」這個要求也可以被不那麼嚴苛的條件代替——這些基本事件只要滿足某些要求即可，不需要完全相同。

正態分布在自然界中隨處可見，比如說人的身高和智力就服從正態分布。這是因為自然界中的很多現象，都是由各種因素相互交織而成的，其中並沒有什麼特別突出的因素。我們以人的身高為例，除了由許多不同的基因調控外，後天的營養、環境、健康，甚至是偶然的意外，都對身高有著各自的影響。在這種情況下，如果我們將每個因素都看成一個基本事件，並且假定這些因素各自的影響能力都差不多，那麼將其綜合考慮，根據中心極限定理，我們就會得到一個非常接近於正態分布的結果。

也許你很難想像，中心極限定理也是保險這一整個行業的基礎。我們每個人都會遇到各種各樣的風險，比如事故、疾病等等。雖然這些風險發生的概率都很低，可一旦發生，其後果將非常嚴重，並非每個人都能承受。而保險業實際上正是基於這一點，通過保費與保險賠付的方式，將上千萬人連結了起來——每個人都只付出相對小的代價，但在不幸襲來時，就能獲得一定的保障。根據中心極限定理，我們可以得知，由數量龐大的個案相加而成的保險業務，

因偶然因素導致大額賠付的概率非常小，而且參與的人數越多，風險就越小。為了確定保費與賠付額，儘可能地獲得盈利，保險公司實際上要做的就是根據大量的統計數據，精準地確定意外發生的概率，隨後根據意外概率與收益，確定保費與賠付的金額。這也正是現代保險公司越來越重視概率與統計的原因。

理解複雜世界

除了與不確定性相關的問題之外，概率論與物理也有著千絲萬縷的聯繫。法國物理學家皮埃爾·居里（居里夫人的老公）

（Pierre Curie）在攻讀博士學位時，就發現了一個關於磁鐵的有趣性質：無論磁力多強的鐵制磁鐵，在將其加熱到770℃時，都會突然失去磁性。這個溫度後來就被稱為鐵的居里點。那麼，為什麼磁鐵會突然失去磁性？通過概率論與統計物理分析，我們現在明白，這種現象與冰雪消融、開水沸騰類似，都屬於相變的範疇。

我們可以將磁鐵里的鐵原子想像成一個又一個的小磁針，在磁鐵還有磁性時，這些小磁針都會齊刷刷地指向同一個方向。但因為分子熱運動的關係，每個小磁針都會時不時地動一下，但很快就會被附近的小磁針重新同化。

物理學家將這個場景抽象成所謂的伊辛模型。通過對伊辛模型的研究，概率學家發現，當溫度達到某個臨界值時，整個體系就會由於熱運動而不能保持統一的指向，這也意味著磁鐵失去了磁性。這個臨界值就是我們之前提到的居里點，而對伊辛模型的研究也部分揭示了磁鐵一些微觀結構的成因。

相變不僅僅局限於物理現象。流言的傳播、傳染病的爆發，還有微博的轉發，都是一種相變過程，都存在著某種臨界值。例如在「三人成虎」這個成語中，「三」就是所謂的臨界值。又比如說傳染病，在適當的模型下，如果每個病人傳染人數的平均值低於某個臨界值時，那麼疾病就能被控制；如果高於臨界值，就很可能導致疫病的全面爆發。雖然對於疾病傳播的研究，屬於流行病學研究的範疇，但在概率論被引入流行病學研究之後，我們對如何防止與控制疫病爆發有了更深入的了解，這是能夠挽救成千上萬人性命的知識。

當然，概率論的應用遠遠不止這些。大至失事飛機搜救，小至垃圾郵件過濾，我們都能在其中找到概率論的身影。這個複雜的世界充滿了不確定性，有些無傷大雅，有些卻能致命。若要駕馭這些不確定性，就要先從了解它們開始，這就是概率論的意義。

概率論不能為我們帶來一個沒有風險的世界，但它卻能教會我們如何與風險和平共處，雖然它帶來的僅僅是一種關於不確定性的知識。但知識，往往就是力量。

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