作為過來人，聊聊學數學這件事：就像跨欄跑
數學是個好專業：有樂趣、有挑戰、有後路。北大數學系是個好地方
想起聊這個和政治無關的話題是因為有一件高興的事情。
我在北大時好友，現北大數學系教授安金鵬老師受別人編造的，以他為主人公的雞湯型謠言折磨長達二十年後，事情終於在互聯網高度發達的今天有了一點進展。網刊《知識分子》雜誌刊發的對安金鵬老師採訪、對往事來龍去脈的澄清這兩天在微信和微博廣為傳播，造成了不小影響。
這篇文章里除了闢謠，安金鵬老師也提出了很重要、做過數學的人又眾所周知的一點：做數學需要強大的興趣和（一定的）天分。不是靠頭懸樑錐刺股努力就行的。的確數學家們頭懸樑錐刺股的不少，但那是因為他們對數學太有興趣，拿起來就放不下來，和一般人熬夜打遊戲其實是一類事情。
當年在北大和安金鵬一起選過不少課，碩士階段又在同一導師門下，因此對他怎麼學習數學相當了解——的確就像他寫的那樣全靠興趣。安金鵬還不是一個興趣單一的人，正相反，他的興趣極其廣泛，遠遠超過數學範圍，我常常感覺他並沒有全力投入數學。另一方面，我對他的智力水平印象極為深刻，無論是數學還是其他方面的事情，只要他稍微投入精力研究，迅速就能遠遠超過甚至有過較長時間努力的一般人而達到相當高深的水準。
有一件十多年前的往事我至今印象深刻。當時他在加拿大做博士後研究，指導他的老教授多年來對一個線性代數中涉及矩陣對角化的經典問題感興趣。這個問題表述比較初等，但一直沒有獲得什麼進展，所有討論均局限於對各種情況的各自特點應用初等線性代數技巧，得到解決的情況卻不多，方法也不統一。這問題本不屬於安金鵬的研究領域，但他考察之後思考了不到一個禮拜就迅速有了想法，通過引入李群理論輕鬆而優美的將所有情況一舉解決。老教授驚得目瞪口呆。
當年我也很喜愛數學，也曾立志做數學家，但因為和安金鵬和另外幾位天才型選手有接觸（例如許晨陽，劉若川，倪憶等老同學），很明白自己在智力上有差距。故後來讀上了數學博士真的覺得越來越困難後，迅速知難而退，沒有繼續苦撐求教職，而是及時轉行下海找工作掙錢去了，少受了很多罪。
所以我在職業數學道路上曾經嘗試過，最終失敗了。但因為這一點，我感覺我的經驗和體會更值得和大家分享。因為如果真是天才選手，會覺得一切都很容易，很難理解普通人在學習數學方面為何會有這樣那樣的難處，也很難回答普通人的這些難處又該怎麼克服，什麼時候就該放棄，如果放棄了之前的努力是不是就是無用功這些問題。
而我因自己的人生經歷，對這類話題倒有比較深刻的體認。下面就和大家分享一下。
如果用體育運動來類比，數學的學習（指基礎數學或純數學）最接近的運動項目是跨欄。跨欄和一般的賽跑項目的區別是，你先要跨過一個欄，才能跑下一段，然後又遇上下一個欄，再跨過才能再跑。
這大概也是學數學和學很多別的學科最不一樣的地方。學習別的學科時，知識的積累大致和你投入的精力、時間成正比，就像普通的賽跑，跑完的距離和跑的速度與時間成正比。
但數學則一路有若干的欄，他們是接下來相關知識涉及的理論基礎。你必須把這個欄跨過去，或者說，你要對這一理論基礎理解非常深入，感覺非常自然，形成高度直覺。能不能跨的過去，肯定和付出的時間精力有關，但的確也和智力天分有聯繫。
如果能跨過一欄，之後一大片知識就比較容易掌握，與投入的努力和時間成正比，類似直道跑步。然後會再遇到下一個欄。最終，如果你跨過了所有的欄，順利到達相關領域人類知識的前沿，就可以開始職業數學研究，具體能取得什麼成果，是另一個問題。但大致可以想像的是，一般的數學家線性的推進現有知識，大數學家可以做到革命性的進行概念的創新——為後來的學習者指明新的需要跨越的欄。但我自己倒在中途，沒有真正進入職業數學研究，對這一點沒有發言權。
而和體育比賽中的跨欄不同的一點是，學習數學，向前沿挺進過程中遇到的欄一般越來越高，要跨過的難度不斷加大。每一個欄都會有一部分人（經常是大部分人）倒下，能通關前進的人數成指數減少。
欄跨不過去的感覺，就類似狠狠撞上了牆：這個東西你無論怎麼使勁兒，還是想不明白，覺得非常不自然。這麼看明白，換個說法就立馬不明白了。這個時候，後面的知識也不是完全不能學，但就會極為吃力，非常痛苦，毫無樂趣可言。到了這一步，就該承認自己的極限，知難而退。
這些欄分布於數學的各個分支和各個階段。處在主幹上的欄無論之後從事什麼方向都必須要跨。要說數學某個分支比其他分支更難學，一般指的不是該分支涉及知識過多，而是上面的欄高度更高，更難跨越。
我個人學的是概率論相關理論，這屬於理論數學的分析方向一個分支，算是很容易的。回顧我的學習過程，很明顯曾經跨過兩個欄，然後倒在了第三個欄下。
第一個欄所有上大學進入數學專業的同學都要面對，就是大一上學期的數學分析和高等代數。重點要建立序列極限、收斂、實數完備性、多維線性空間、線性變換這些近代數學基本概念。我對這些掌握的不錯，之所以如此，是因為投入很大精力做題。做的題不是人們常提到的《吉米多維奇》，而是已故的北大數學系教授方企勤老師編寫的《數學分析習題集》。這本書里約有習題一千四百餘道，其中難題一二百道，我翻來覆去的做了三四遍。現在我看到這個封面，心中就會湧起萬千感動和對各位恩師的懷念。
北大數學係數學分析課考試有個傳統，總體上不難為學生，知識點掌握的差不多就能做出題。但一百分卷最後總是一道難度較高的五分題。只有對有關知識理解深入並會技巧性運用才能做出來。所以一份卷子考100分還是95分是有區別的。
兩年前北大bbs上有同學把幾年的李偉固教授大一上學期期中期末數學分析卷五分題搜集起來放在網上，筆者作為老同志試著做了做感覺差不多還都行（當然是不限時間），說明20年前練就的「童子功」還真能管一輩子。
因為這第一道欄跨的不錯，打下了基礎，本科階段後來的若干門專業數學課，如實變函數，拓撲，泛函分析，抽象代數，感覺還都算輕鬆。
然後跨過的第二道欄，是近代概率中（基於西格馬代數）的條件期望。這件事就糾結很多，和我那時候已經讀起碩士心思很多，遠遠不如剛進大學時努力也有關係。幸運的是，最終最終還是大致學明白了，算勉強過關。當時教我概率的是陳大岳教授（聽說現在是我碩士階段同門師姐章復熙老師），大岳老師出期末考題極難，共十道題，每題十分，原始得分經常全班最高也只有七八十分，但最後計分總是按正態分布轉化為「標準分」。
所以大岳老師的考場上氣氛總是非常慘烈，人人滿臉雪白的做題。一交卷，大夥各個嚇得說不出話來，沒人敢肯定自己及格了，更有同學絕望的嘆息好像一道題也沒做出來。但幾天後一出分，紛紛鬆了口氣，還都不算糟，比之前想像的好太多。
當時用的教材是康奈爾大學Durrett教授編寫的概率論。當然，大家都是從北大圖書館借了之後全本複印盜版。
這一關過了之後，再往後學隨機過程，隨機分析，鞅等等理論就比較順。這些知識在金融數量分析中很有用，今天我還為此受益。
不過再往後運氣就沒那麼好了。我出國讀博士時從概率方向轉到了運算元代數方向，從走職業數學之路的角度看，這是一步重大的失誤，臭棋，very bad move。因為不僅隔行如隔山，在數學裡隔方向如隔山，方向轉了一點點，上了別的分支，跨欄就得重新跨起。
而這一次就沒跨過去，因為這個欄比之前的兩個欄高了許多。運算元代數其實是無窮維空間上的線性代數。而正因維數無窮，他們有在有限維空間完全不具備的各種非常奇怪，難以想像的性質。你必須對這些性質掌握的一清二楚。
這次感覺是不折不扣的撞上了牆，對無窮維空間無從把握，只好拿之前線性代數中學過的有限維空間性質去比擬，結果想出來的全是錯的。心力交瘁，度日如年，不堪回首。
至於教材，好像長成這樣。看到這個封面，對我都非常之traumatizing。
萬幸的是，經過一年多的無效努力後，我終於面對現實，確認自己達到了智力極限。利用之前概率論的老本乖乖的轉學了統計。
這下子輕鬆多了，一切都很容易，還經常在學校給一起上課的同學們（一般比我年輕一些，因我上學期間曾各種折騰）講數學題顯擺。後來隨大流來到紐約華爾街給銀行當數量分析師（或曰礦工），沒掙到大錢，但工作輕鬆，收入滿意，很感激當年及時止損撤退，沒有自己和自己作對下去。
當然，我跨的這幾個欄和做更艱深數學方向的同學沒法比了。比如做算術代數幾何的同學要熟悉天書一般的SGA／EGA——不說裡面的實質內容，光是學會使用那種表述方式（「語言」）就得投入兩年時間。當時和我同宿舍的另兩位同學現在已是傑出數學家，當年我清楚記得他們時不時吐出「XX上同調」等辭彙時我頭皮發麻的感覺。現在時有從媒體上看到當年的老友們在數學前沿取得各種成就的消息，也會無恥的覺得與有榮焉。
回頭看看，我的數學之路雖然沒走通，但這一路上的經歷讓我受益無窮。
首先，當年積累的數學知識和解題技巧讓我還算輕鬆的找到自己滿意的工作，但這遠遠不是主要的——畢竟如果我一開始就學習了更熱門一些的專業如計算機並早點進入市場，今天從經濟收入上看也可能更高。
更重要的是數學對我思維方式的訓練。數學推理是高度邏輯的，不得有任何疏漏。要能把握數學理論，又必須從各種表象抓住內里的本質。這兩件事情塑造了我的思維，影響到後來我對一切事務的思考和分析，包括如今對美國社會問題的觀察。
不過，並不是說凡是學過數學的人都會用這種一種特別的思維方式看待其他領域的問題。這需要主動的，有意識的將數學思維引入其他領域，並做出必要的調整和整合。
基於我的這些經驗，如果有（還沒有）年輕的朋友問我是否該嘗試專業數學，我的建議是：只要有興趣就可以嘗試，看看自己能跨過幾個欄。
唯一需要注意的只是，一旦發現某個欄跨不過去了，及時撤退轉向就好——憑你積攢起來的技能和訓練出來的思維方式，下公司工作掙錢機會是很多的，不必有任何後顧之憂。
哦對了，還有最重要的一點要說。北大是個好學校，北大數學系更是個好地方。真對數學有興趣的年輕朋友該去那裡。
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