令人費解的日本數學教育-惰者集：數感與數學
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小平邦彥（1915年3月16日－1997年7月26日）是日本數學家。以在代數幾何和緊復解析曲面理論方面的出色工作而著名。他也是代數幾何日本流派的奠基人，也是20世紀數學界的代表人物之一。他在1954年獲得菲爾茲獎，是獲此榮譽的首位日本人。他也是為數不多的同獲菲爾茲獎和沃爾夫獎的數學家之一。
Weyl將菲爾茲獎授予小平邦彥。（圖片來源：日本數學會）
1954年獲菲爾茲獎，1957年被日本政府授予文化勳章，1984年獲沃爾夫獎。著有《微積分入門》《複分析》《複流形理論》《幾何世界的邀請》等。
小平邦彥的主要貢獻在代數幾何和群論方面。他推廣了代數幾何的一條中心定理:黎曼一羅赫定理。還證明了狹義凱萊流形是代數流形和所謂小平邦彥消滅定理。1956年起他同斯潘塞一起，把黎曼的模數理論推廣到高維復結構的變形理論，形成一個系統的理論。
小平邦彥又把它推廣到由一類復可遞的連續偽群所定義的結構的變形理論上。50年代末，他又轉而研究緊復解析曲面的結構和分類，用一個不變數(小平維數)把曲面分為有理曲面、橢圓曲面、K 3曲面等，並且每類都建立一個極小模型，這對後來代數幾何學和復解析幾何學的發展起著重要推動作用。
晚年他致力於教育事業，對日本年輕一代數學家有重大影響，他的論文收集在1975年出版的三卷全集中。
下文節選自《惰者集：數感與數學》, 已獲圖靈許可, 由[遇見數學]編輯此整理，在此表示感謝!
令人費解的日本數學教育
我是一個除了數學之外什麼都不懂的數學家，特別是對經濟一無所知。據說，日本經濟正在從高速增長轉向低速增長。高速增長指的是國內生產總值年增長率超過 10％，低速增長指的是年增長率為 6％左右的經濟增長。也就是說，只有年增長率保持在 6％左右， 經濟才不會陷入不景氣的狀況。
排除第二次世界大戰結束不久的混亂期，假設經濟在 1949 年到1974 年的 25 年間每年的增長率都是 10％，那麼總計(1.1)^25 = 10.83,即經濟增長了 10 倍。包括山手線、東海道線等鐵路的客運量、機動車數量、石油使用量、報紙頁數等在內的所有現狀都是 1949 年的10 倍以上。
如果經濟一直保持 6％的增長率，等我的孫子長到我現在的年紀， 即 60 年後的經濟發展會有怎樣天翻地覆的變化呢？ (1.06)^60 = 32.99 ，經濟增長相當於現在的 30 倍以上。例如東京 - 大阪間架設新新幹線、新新新幹線，增開 30 趟新幹線，山手線沒辦法
繼續橫向擴充，只能開發地下空間，屆時地上、地下合計將超過 30層，每天送來的報紙頁數將超過 500 頁。顯然上述預想並不合理， 因此我們需要把數量上的增長轉化成質量上的增長，而這又只能取決於科學技術的進步。科學技術的基礎是數學，數學教育對日本產業的將來有著決定性作用。下面我來談談日本的數學教育現狀。
目前日本的小學、初中、高中教材都按照日本文部省的指導綱領編寫，其內容涉及的數學領域偏多，讓人感到驚訝。小學階段涉及集合、概率，初中階段除了基礎代數、幾何以外，還包括集合、概率、統計、拓撲學，高中階段在代數、幾何、微積分的基礎上增加了矢量、映射、集合、邏輯、矩陣、平面幾何的公理結構、概率和統計。如果在有限的時間裡接觸如此多的數學領域，每個領域的學習只能停留在入門程度，略懂皮毛而已。
例如在小孩子學習音樂，沒人會讓他先接觸一遍管弦樂隊的所有樂器，這樣的話不可能學會任何樂器，而且對音樂本身也是一知半解。
再例如小孩子學習外語，我們絕對不會讓他同時接觸英語、德語、法語、俄語、拉丁語、希伯來語、阿拉伯語等多門語言。
在初等教育階段的數學教學中涉及較多領域就像是學習所有樂器或者學習多門外語一樣愚蠢，不過為什麼對於數學卻沒有人在意這個問題？現在的數學教育中甚至會採用螺旋式教學，例如在小學六年級稍微學習數學某個領域的一部分內容，初二再學一部分，到了高一和高二繼續學一部分。這就好比在小學六年級學幾周拉丁語， 初二再學幾周，高一和高二繼續學幾周，這樣的教育方法最沒有效率。人學過幾周新知識，而且總學時不過幾小時的程度，一年後肯定忘得乾乾淨淨，按理說制定指導綱領的委員們應該懂得這個道理才對。
除了想要成為數學家的學生以外，對大部分學生而言，小學、初中、高中階段涉及的多個領域，例如集合、邏輯、拓撲學等知識並沒有必要。有人主張因為集合論是現代數學的基礎，所以數學教育也應該從集合開始教學，這個所謂的數學教育現代化導致學生必須小學階段開始學習集合知識。
實際上「集合論是現代數學的基礎」的意思是數學從兩千年前發展到現在，在目前這個階段多年研究集之大成，集合論是分析其結構，記錄其體系的基礎。然而小孩子學習數學是為了培養其數學能力，因此初等教育階段的數學教學應該遵循數學的歷史發展順序。對小孩子而言，歷史上較早出現的概念比邏輯上的基礎概念更簡單易懂。到高中結束為止，我們最多學到 17 世紀後半期至 18 世紀產生髮展起來的微積分入門知識。集合論於 19 世紀後半期由康托爾建立，目的是為了處理類似整個實數集合這樣的無限集合。
即使逆轉歷史發展順序教中小學生學習集合，孩子們也理解不了集合論的核心內容，只能接觸無趣的非核心部分，也就是集合論的皮毛。這樣一來，時間和精力都浪費在皮毛上，最終忽視了真正的數學。
如字面所示，數學是數字的學問，其最重要的基礎是數字計算。初等教育階段最重要的是掌握和訓練基本的學習能力，即小時候沒有掌握的話長大以後基本學不會的能力，這與長大以後也能輕鬆掌握的能力有著明顯的區別（包括數學在內的整個初等教育貌似遺忘了基本學習能力的重要性。據說有些小學還開設了家庭生活課， 要求男生也掌握煎蛋的方法。煎蛋這種事情任何人在長大以後都能學會，完全沒有必要在小學教學生如何煎蛋。綜上所述，把時間浪費在這些課程上，結果導致基礎學習能力水平下降，這個現象實在是令人費解）。
如果在小學階段沒有反覆練習數字計算、掌握數字計算方法的話，長大以後就很難能掌握這種能力了。不過集合論是數學家們必須要掌握的常識，一般進入大學後只需聽兩小時課程就能理解。如此可見，教中小學生學習集合本身就是一個錯誤。在小學的算術課上，最重要的環節是讓學生反覆理解和練習數字計算，以培養基本的數學學習能力。
推進數學現代化的，並不是正在小學講授集合論的老師，而是通過集合指導現代數學思考方式的人。不過數字計算是數學思考能力的基礎，如果有人認為存在另一種更高級的數學思考方式，那一定是對數學的本質存在誤解。
據說，大概有一成的日本初中生甚至都不會簡單的分數加法運算。既然連分數加法運算都不會，即便給他們講解集合的知識，不管怎麼教也都無濟於事。如果學習集合有助於培養數學思考方式的話，按理說分數的加法運算應該是小菜一碟。但事實上有一小部分
初中生卻無法掌握，那麼說明數學現代化的想法存在誤區。對不是數學家的那部分人來說，集合論沒有什麼用處，例如現在活躍在第一線的自然科學家、工程師等基本沒有學過集合論。
邏輯相當於是數學的語法，我們在多年閱讀、撰寫文章的過程中，自然而然地掌握了撰寫文章時使用的語法，並不是以前在初中語文課上學過的語法。因此，我們可以自由自在地靈活使用。就像不管我們如何努力地學習英語語法，也不一定能自由地撰寫英語文章。
數學中的邏輯也是如此，我們數學家在學習數學的過程中自然而然地會掌握邏輯，除非是數理邏輯學的專家，否則就不用重新學習邏輯知識。目前的指導綱領要求在高一講授邏輯，數學家都不一定要學的知識，為何偏偏要求高中生學習呢？這又是一個令人費解的問題。
初等教育階段的數學教學並不是為了片面地講授數學各個領域的知識，而是為了培養數學思考能力和數感。因此最好將教學範圍限定在最基礎的數學領域，然後開展充分的教學。小學階段學習數字計算，初中階段學習代數和幾何，高中階段學習代數、幾何和微積分入門，如果學生能熟練地掌握這些知識，那說明初等教育取得巨大的成功。
概率、統計等應用領域的內容，只要在用到時稍加學習就能掌握。到那時，在學習基礎領域過程中養成的強韌思考能力遠比一知半解的入門知識來得更加有用。給小學生講授概率的皮毛，簡直荒謬。推進數學教學現代化的人，在追隨現代數學日新月異的步伐， 努力改良數學教育，然而進步的是最前沿的數學研究，數學的基本知識並未發生變化。據我所知，目前從事數學研究的數學家們都反對數學教育的現代化。儘管如此，現代化依然在數學教育界大行其道，實在不可思議。
日本的數學教育從小學階段開始就混雜各種各樣的內容，包括小時候必須要學習的基礎領域，長大以後也能掌握的應用領域，以及對數學家來說有用的領域，這種現象十分怪異，令人費解。如此急切地講授如此多的內容到底是為了什麼、為了誰？對於日本，數學是未來科學技術的基礎。然而初等教育階段的數學教學一直保持這副德性的話，不管日本通產省如何努力，日本產業的將來也令人憂心不已。（《通產專刊》1976 年 4 月刊）
《惰者集：數感與數學》
作者者：小平邦彥
譯者者：尤斌斌
出版社：人民郵電出版社圖靈新知
出版年：2017年12月
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向上滑動閱覽簡介及目錄
理解數學需要具備一種純粹的感覺，即「數感」。本書為日本數學家、菲爾茲獎與沃爾夫獎得主小平邦彥先生的思想隨筆文集，書中收錄了小平邦彥先生對數學、數學教育的深思、感悟文章，記述了數學家對「數學」「數感」的獨到理解，文筆幽默，深入淺出。同時，書中還輯錄了小平邦彥先生在普林斯頓高等研究院時期，與赫爾曼?外爾等數學大家交流的趣聞軼事，對深入理解數學、數學教育具有深刻啟示。
第一章
數學筆記
數學印象
一位數學家的妄想
數學的奇妙
發明心理學與平面幾何
學術交流——圍繞數學世界
科學、技術與人類進步
第二章
長此以往，日本將陷入危險之境
忘卻原則的初等、中等教育——為什麼、為了誰如此著急 061
對「新數學」運動的批判
什麼扭曲了數學教育
令人費解的日本數學教育
第三章
憶往昔
回顧與……
愈發難懂的數學
回憶普林斯頓
約翰斯?霍普金斯大學
赫爾曼?外爾老師
關於沃爾夫獎
數學是什麼
第四章
來自普林斯頓的信件
寫給21世紀的主人
好玩的數學
微信號：mathfun
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