物理學中最難的方程之一
Mike
物理學是一門包含許多方程式的學科，這些方程描述了從微觀世界的粒子的行為到宏觀宇宙的演化。在所有的物理方程中，有一組在數學上被認為極具挑戰性，還被克萊數學研究所列為七個「千禧年大獎問題」之一，它們就是用來描述流體如何流動的納維葉-斯托克斯方程（簡稱NS方程）。
○ 圖片來源：Quanta Magazine
在《對一個「世紀難題」的重新思考》一文中，我們提到了關於NS方程的一些重要研究進展。如果說我們能從新的研究中得到什麼啟示的話，那就是這一問題比預想中的還要困難。水流通過軟管，是我們熟悉的不能再熟悉的現象，然而為什麼描述這類現象的方程在數學上比理解愛因斯坦場方程還要困難？
這其中的原因，便是湍流。湍流是指一個有序流動的流體（液體或氣體）變化成看似不可預知的漩渦，例如香煙頭升起的一縷青煙在空氣中擴散開來，河流繞著石頭，以及牛奶和咖啡的混合，生活中有許多熟悉的現象都與湍流有關。然而，熟悉並沒能孕育出知識，毫不誇張的說：湍流是物理世界中最難以理解的部分之一。
對量子力學做出巨大貢獻的物理學家維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）曾經說過：「當我見到上帝時，我想問他兩個問題：為什麼會有相對論？為什麼會有湍流？我相信他一定會有第一個問題的答案。」 這個故事雖然很可能是杜撰的，卻描述了大多數科學家對湍流的感覺。
一個非湍流的例子是一條平穩的河流，這條河流的每一部分都以相同的速率向相同的方向運動。湍流就是這條河的斷裂，它讓不同部分的河流以不同的速度向不同方向運動。物理學家首先將湍流的形成描述為是平穩流動的渦流，然後是在該渦流中形成的小渦流，再是小渦流中形成的更細微的渦流，一直分化，從而使得流體分裂成許多離散的部分，相互作用、各自移動。
○ 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
科研人員想要了解的是一個平穩的流動是如何分解成湍流的，以及如何模擬已產生湍流的流體在之後的形狀演變。但千禧年大獎要求數學家解決的是更為謹慎且基礎的問題：證明方程的解永遠存在。換句話說，就是要探尋方程是否能從任何起始條件開始，對任意流體進行無限的描述。
普林斯頓大學的數學家 Charlie Fefferman 說：「第一步就是要試圖證明這些方程可以產生一些解。 雖然這並不能讓我們真正理解流體的行為，但如果沒有這一步，我們就什麼都不知道。」
那麼你如何證明解的存在？我們可以反過來，從思考什麼能使方程解不存在開始。 正如在上文中所說，NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度這些量的變化。數學家擔心這種情況的出現：我們正在運行這些方程，在一段時間過後，方程出現一個正以無限快的速度移動的粒子。這就導致問題來了，因為我們無法計算出一個無限值的變化（換言之，我們無法對無窮大的值進行求導）。數學家把這種情況稱為「爆炸」（blowup），在爆炸的情況下，方程失效，解也不復存在。
證明爆炸沒有發生（且解決方案總是存在）等同於證明流體內的任意粒子的最大速度，需維持在有限的數量以下。其中在流體中最重要的量是動能。
當我們使用NS方程對流體進行建模時，流體會具有一定的初始能量。但是在一個湍流的流動中，這些能量可以發生集中——即動能不是均勻分布在河流上，而是可以在任意小的渦流中聚集，而理論上，那些在渦流中的粒子可以加速到無限快的速度。
上篇文章中提到的數學家 Vlad Vicol 表示：「隨著我們的研究進入越來越小的尺度時，動能對解的控制作用會越來越小。我的解可以做任何想做的事情，但我也不知該如何去控制它。」
數學家們根據能在無限小的尺度上失效的程度來對像NS這樣的偏微分方程進行分類，NS方程就處於所有類型的極端。這個方程的數學難度在某種意義上是它們應該描述的湍流複雜性的一個精確反映。
Vicol 說：「當對某一點進行放大時，從數學的角度來看，就會失去與解相關的信息。 但湍流所描述的正是如此——動能從大的尺度向越來越小的尺度轉移，所以它需要的就去放大。」
○ 由手機APP「Wind Tunnel」製作的湍流圖。 | 圖片來源：Quanta Magazine
每當我們從數學角度談論物理方程時，很自然的就會想要知道：這些會改變我們對物理世界的看法嗎？經過近200年的實驗，我們可以清楚地看出這些方程是有效的：由NS方程預測的流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一個實驗物理學家，或許這樣的一致性就已經足夠了。但數學家想要知道的不僅僅是這些——他們想要知道我們是否可以一直遵循這些方程，準確地看到對有著任意初始配置的流體是如何發生瞬時變化的，甚至能精確定位湍流的開始。
Fefferman 說：「流體的行為帶來許多驚喜，理論上說這些驚喜是通過那些描述流體如何運動的基本方程來解釋的，但從能告訴我們流體如何移動的方程到對流體實際移動的任意描述，仍然非常神秘。」
? 擴展閱讀：《對一個「世紀數學難題」的重新思考》
編譯：萌大統領
原文鏈接：
https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/
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