如果有人溺水，救生員應該採取哪條路徑才能以最快速度實施營救？
請！聽！題：假如你是一名救生員，在海邊看到了一名疑似溺水者正奮力撲騰。作為一名負責任的救生員，你肯定想用最快的速度實施營救啊。你的技能屬性是，在水中游得相當快，但在沙灘上——你跑得更快啊。那麼問題來了，請問最快的營救路徑是什麼？
是不是覺得這個應用題太簡單？哼哼，說出來你可能不信，這個問題是由鼎鼎大名的理論物理學家費恩曼（Richard Feynman）設計的，作為光學行為的一個類比。解開這道題並不難，但光的傳播卻沒那麼簡單。
○ 圖片來源：Aatish Bhatia
讓我們借上圖來思考這個問題。首先我們考慮作為最短的直線路徑A是否可能最快。這確實是最短的，但並不是最快的。嗯，顯然不是，因為你在海灘上跑步的速度更快，因此如果沿著海灘跑得更遠，便能覆蓋更多的陸地距離，從而縮短抵達的時間。
那按這麼說，是路徑B最快？在所有的選擇中，這條路徑所需的游泳路程最短。但是——也不對！雖然你的行進速度很快，但是這條路線太長，會拖累總時長。
是的，我們應該選擇路徑C。用費恩曼的原話來說就是：「最小距離的路徑中有太多的水；最少水的路徑又有太多的地；最短時間的路徑是兩者之間的折中。」最快路徑C位於A和B間非常特殊的位置。
從數學上，這是微積分中最標準的求最優解問題。但當危機出現時，海灘上的救生員該怎麼做？總不能用心算導數再求解方程吧？當然正常救生員不會有這種書獃子氣的想法，業務能力優秀的救生員會運用從訓練中積累的經驗和他們的本能來做出最佳判斷，就如同籃球運動員不需要理解拋射運動的規律就能投中三分球一樣。也就是說在現實生活中，我們往往有能力在不用到任何數學的情況下，為棘手的數學問題提供大概的解決方案。真神奇，要知道在現實中這些問題應該更難解決，因為會受許多未知變數的影響，如這一題中海洋里的湍流。
那這個問題與光有什麼關係？1657年，一位名叫皮埃爾·德·費馬（Pierre De Fermat）的法國律師兼數學家（對，就是提出費馬大定理那個費馬）研究出，當光從一個地方傳到另一個地方時，它總會採取耗時最短的路徑。
○ 從空氣射入水中的激光的光路發生偏轉。| 圖片來源：Matt Kuchta
現在我們考慮一個與救生員情況相似的情境，將一個激光筆照向一碗水中，激光在空氣中傳播得比在水中快，因為在水中它需要不斷的與水分子發生碰撞。我們會觀測到光發生了彎曲。這個彎曲就像救生員到達水面時的路徑一樣。
我們從中學物理的課本上就學過折射定律（斯涅耳定律），它能正確預測光線彎曲的確切角度，這個角度取決於它穿過的材料以及入射的角度。雖然我們可以對摺射角進行計算，但是折射定律不能回答的問題是，光線為什麼會彎曲？
而費馬卻採用了一個不同的視角來看待這個問題。他問自己，當光要傳播到一個給定點時，是否會在所有不同的可能路徑，選擇最快的路徑呢？如果是的話，那將意味著什麼？當他完成這種猜想的計算時，躍然於紙的便是斯涅耳的折射定律。費馬的猜測完全符合所觀察到的光的行為，這是對光的奇異行為的一個絕佳解釋。
費馬的發現不僅只是關於光線會如何彎曲，他的最短時間原理也解釋了為什麼光會從鏡子上對稱地反彈回來，為什麼眼鏡的鏡片需被製成那樣的形狀、或者為什麼碟形天線有著拋物面的形狀。
在費馬的時代里，這一想法其實經歷了許多不解和挑戰。讓許多人困擾的問題是，光怎麼選擇路徑？它怎麼可能知道哪條路徑最快？它會找到其他路徑嗎？……那時的費馬並不知道這些問題的答案。費恩曼曾這樣說：
「最短時間原理是關於自然界運作方式的一種完全不同的哲學原理。它並不是一種由一個事件導致另一事件發生的因果性；而是說：我們已經設立好場景，由光來決定哪一條路徑耗時最短，再選擇那條路徑。至於光會做什麼？它如何發現？它是否會探尋附近的其他路徑並進行交叉對比？在某種角度來說，答案是肯定的。」
就像光在「量子擦除實驗」中表現的奇異的量子行為一樣，我們很難從直覺上去理解物理是如何運作的。但是，實驗以及我們一直在使用的眼鏡和蝶形天線可以向我們肯定的確認——光能夠高效地在所有路徑中選出最快路徑。
能擁有在瞬間做出如此判斷的技能的，是不是除了光之外就只剩下機器了？
然而，並不全是——動物似乎也能解開這類謎題。
小狗也懂微積分？
有這樣一個故事。美國達文波特大學的數學教授 Tim Pennings 有一隻柯基狗，他經常帶著小狗到密歇根湖畔玩耍。比如將將網球仍到湖中讓小狗去撿。在這個遊戲中，教授注意到站在岸邊的小狗很少會直接從所站的位置直接跳下湖，而是會沿著湖岸奔跑一陣，等到達某一位置時才突然躍入湖中，再游向網球。
○ 圖片來源：Aatish Bhatia
於是教授的腦海中浮現了這樣一個問題——如果小狗走的是最快路徑呢？他建立了一個簡單的模型，來測試小狗是否會採用最快路徑來進行這項遊戲。
他帶著小狗在密歇根湖邊遊戲了一天，每仍一次球，就對球的距離進行測量，當小狗去追湖中的網球時，他又記錄下小狗沿湖岸奔跑的距離。那天他收集到了35個這樣的數據，並將這些數據用xy圖進行繪製。於此同時，他也繪製了由模型提供的最快軌跡。
○ Pennings教授的小狗對路徑選擇的分析圖（散點）以及最優線路（直線）。| 圖片來源：Tim Pennings
從結果來看，小狗在尋找最佳路徑方面做得還是相當不錯的，它的選擇大多都是最快路徑、而非最短路徑！值得一提的是，數學模型必須包含許多簡化過的假設，例如不會考慮水中的水流；假設小狗以勻速進行奔跑和游泳，不會因為疲憊而受影響；湖岸是一條完美的直線等等。因此甚至可能存在小狗的解決方案比模型的預期還快的情況。
Pennings 將這個有趣的實驗寫成了一篇題為《小狗懂得微積分嗎？》的文章。在文中他說道：「小狗肯定不懂微積分，它甚至連簡單的多項式都不懂。然而，雖然它不懂計算，但它的行為就是自然界常常能以不可思議的方式找到最優解的一個例子。」Pennings 的小狗並不是唯一會求最優解的犬。法國也曾有兩位數學家表示，他們的拉布拉多也會採取最快路徑去撿落入湖裡的球。
天賦異稟的螞蟻
另一種具有這種神奇能力的生物是世界上最具侵入性的物種之一——小火蟻。螞蟻在行進途中會留下信息素的痕迹為彼此導航，久而久之，這些在食物源和蟻巢間的痕迹會集中到一條直線上。這些小火蟻是天生的解優器，它們甚至能在複雜的迷宮中找到最短的路徑。
○ 螞蟻行進路徑的預測模型。| 圖片來源：Jan Oettler et al./PLOS One
但之前還沒有人研究過螞蟻在面臨救生員問題時會怎麼做。當它從一個光滑的表面（快）移動到一個更粘的表面（慢）時，它們會選擇走直線還是最短時間的路徑？
○ 當這些螞蟻從平滑的玻璃行進到粗糙的毛氈時，它們會像光從空氣進入水面一樣，通過彎曲路勁而行進得更快。| 圖片來源：Jan Oettler et al./PLOS One
2013年，來自德國雷根斯堡大學的一組研究員開始著手測試螞蟻的路徑選擇。他們選擇用光滑的玻璃和粗糙的綠色毛氈來進行試驗，結果發現螞蟻明顯的偏向於選擇最快路徑而非最直接的路徑。就像光和救生員一樣，似乎螞蟻想要最大限度壓縮的也是時間而非距離。
但是它們怎麼做到呢？當然不是靠數學。研究人員認為或許是巧合，比如一部分螞蟻選擇了最快路徑從而能更高效地完成事物搬運工作，因此這條線路便得到了加強，直到成為了主線路。但是如果是這樣，我們仍不知道這一部分螞蟻又是如何解開救生員問題的。
進化當然是自然界最大的一個優化器，通過增強在基因庫中的存在對效率進行嘉獎。聰明而有效的策略能獲得最大的回報。這樣看來，也許我們並不應該為這麼多不同的生物能通過不同的方式獲取相似的技能一事而感到驚訝。所以下次如果你也堵在路上又想迅速回家，就把自己想像成一束光吧，要不一隻螞蟻也行啊。
編譯：小綿泡
參考鏈接：
[1] http://nautil.us/blog/-to-save-drowning-people-ask-yourself-what-would-light-do
[2] http://www.indiana.edu/~jkkteach/Q550/Pennings2003.pdf
[3] https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/cmj37-1-016-018.pdf
[4] http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0059739
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