數學家花了一千多年，才證明1不是同餘數，同餘數到底為何物？

數學中有各種數，比如奇數，偶數，素數，完美數等等。

其中有一類數，性質非常難掌握，叫做同餘數。

定義：若直角三角形的三條邊都是有理數，那麼這個三角形的面積，叫做同餘數。

其中，人們只對那些，是整數的同餘數感興趣，叫做同餘整數。

比如3、4、5組成的直角三角形，面積為1/2×3×4=6，那麼6就是同餘數。

最小的同餘整數是5，對應最小的直角三角形，邊長分別為：3/2，20/3，41/6。

最早提出同餘數概念的是阿拉伯人，一千多年前，他們提出這樣一個問題：一個正整數n，何時能存在一個有理數x，使得x-n，x和x+n都是有理平方數？

這就是同餘數問題，其中n就是同餘數。

阿拉伯人還給出了30個特殊的同餘數，其中包括：5，6，14，15，21，31……。

那麼問題來了，1是同餘數嗎？

會存在一個直角三角形，其三邊都是有理數，然後面積等1嗎？

阿拉伯人回答不了這個問題，還有2和3是否是同餘數？也不知道。

直到一千多年後的1659年，法國大數學家費馬（就是因為空白太小，寫不下費馬大定理美妙證明的那個費馬），他利用獨創的無限下降法證明了1，2和3都不是同餘數。

差不多100年後，大數學家歐拉證明了7是同餘數。

隨著數值的增大，判斷一個數是否是同餘數，變得非常困難，甚至強大的計算機利用地毯式搜索也是不易的。

比如157是同餘數，對應的直角三角形最小解就非常複雜：

同餘數問題，是數學界的三大千年難題之一，比費馬大定理和古希臘三大幾何問題難多了。

直到現在為止，同餘數問題也沒有得到徹底解決，同餘數問題和某些特殊整數方程相關聯，比如判斷1是否是同餘數，等價於費馬大定理中n=4的情況。

經過上千年的探索，數學家總結了無數經驗，最終提出同餘數中的一個重要猜想——BSD猜想（猜想涉及深奧的數學知識，所以此處不做描述），在2000年被列為七大千禧問題之一。

對BSD猜想的研究，至今學術界沒有任何公開的進展。

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