數學家花了一千多年,才證明1不是同餘數,同餘數到底為何物?
數學中有各種數,比如奇數,偶數,素數,完美數等等。
其中有一類數,性質非常難掌握,叫做同餘數。
定義:若直角三角形的三條邊都是有理數,那麼這個三角形的面積,叫做同餘數。
其中,人們只對那些,是整數的同餘數感興趣,叫做同餘整數。
比如3、4、5組成的直角三角形,面積為1/2×3×4=6,那麼6就是同餘數。
最小的同餘整數是5,對應最小的直角三角形,邊長分別為:3/2,20/3,41/6。
最早提出同餘數概念的是阿拉伯人,一千多年前,他們提出這樣一個問題:一個正整數n,何時能存在一個有理數x,使得x-n,x和x+n都是有理平方數?
這就是同餘數問題,其中n就是同餘數。
阿拉伯人還給出了30個特殊的同餘數,其中包括:5,6,14,15,21,31……。
那麼問題來了,1是同餘數嗎?
會存在一個直角三角形,其三邊都是有理數,然後面積等1嗎?
阿拉伯人回答不了這個問題,還有2和3是否是同餘數?也不知道。
直到一千多年後的1659年,法國大數學家費馬(就是因為空白太小,寫不下費馬大定理美妙證明的那個費馬),他利用獨創的無限下降法證明了1,2和3都不是同餘數。
差不多100年後,大數學家歐拉證明了7是同餘數。
隨著數值的增大,判斷一個數是否是同餘數,變得非常困難,甚至強大的計算機利用地毯式搜索也是不易的。
比如157是同餘數,對應的直角三角形最小解就非常複雜:
同餘數問題,是數學界的三大千年難題之一,比費馬大定理和古希臘三大幾何問題難多了。
直到現在為止,同餘數問題也沒有得到徹底解決,同餘數問題和某些特殊整數方程相關聯,比如判斷1是否是同餘數,等價於費馬大定理中n=4的情況。
經過上千年的探索,數學家總結了無數經驗,最終提出同餘數中的一個重要猜想——BSD猜想(猜想涉及深奧的數學知識,所以此處不做描述),在2000年被列為七大千禧問題之一。
對BSD猜想的研究,至今學術界沒有任何公開的進展。
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※宇宙學最神秘的原理:人擇原理,倘若沒有人類,宇宙還有意義嗎?
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