e，一個常數的傳奇！
前面我們講分享過虛數i和無理數π，今天我們對另一個數進行分析．雖然它的知名度沒有前面兩個高，但在數學和物理學
的應用是同樣的廣泛．
e的發現：複利問題
在18世紀初，數學大師萊昂哈德．歐拉（Leonard Euler）發現了這個自然常數e（又稱歐拉數）。
歐拉：一直這麼帥！
當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個世紀前提出的問題。
伯努利的問題與複利有關。假設你在銀行里存了一筆錢，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年後，
現在假設銀行每六個月結算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年後的收益為（1+50%）^2=2.25倍。
而假設銀行每月提供8.3%（100%的1/12）複利息，或每周1.9%（100%的1/52）複利息。在這種情況下，一年後你會賺取投資的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。
根據這個規律，可以得到一條通式。如果假設n為利息複利的次數，那麼利率就是其倒數1/n。一年後的收益公式為（1+1/n）^n。例如，如果利息每年複利5次，那收益則為初始投資的（1+1/5）^5 = 2.49倍。
那麼，如果n變得很大，會怎樣？如果n變得無限大，那（1+1/n）^n是否也會變得無限大？這就是伯努利試圖回答的問題，但直到50年後才由歐拉最終獲得結果。
原來，當n趨於無窮大時，（1+1/n）^n並非也變得無窮大，而是等於2.718281828459……這是一個類似於圓周率的無限不循環小數（即無理數），用字母e表示，被稱為自然常數。
微積分中重要的公式
自然常的發明者：約翰．納皮爾
納皮爾是天文學家、數學家,在計算軌道數據時,也被浩瀚的計算量所折磨。
看起來在數學實踐中,最麻煩的莫過於大數字的乘法、除法、開平方和開立方,計算起來特別費事又傷腦筋,於是我開始構思
有什麼巧妙好用的方法可以解決這些問題。但納皮爾不是般人,不想像民工一樣苦逼的重複勞動,於是用了20年的時間,進
行了數百萬次的計算,發明了對數和對數表,堪稱學霸中的戰鬥機。拉普拉斯認為「對數的發現，以其節省勞力而延長了天文
學家的壽命」伽利略說過「給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。」
它為什麼叫自然常數，而不是其它常數？
這個問題我想也是大家思考的問題，e＝2.718281828459……是自然律一種量的表達．自然律的表達是＂螺線＂，
螺線一般有五種形式：１對數螺線２阿基米德螺線３連鎖螺線４雙曲螺線５迴旋螺線
阿基米德螺線
迴旋螺線
雙曲螺線
等角螺線或對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系(r, θ)中，這個曲線可以寫為
看不懂忽略
對角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布．伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去．
鸚鵡螺的貝殼像對數螺線
菊的種子排列成對數螺線
鷹以對數螺線的方式接近它們的獵物
昆蟲以對數螺線的方式接近光源
蜘蛛網的構造與對數螺線相似
旋渦星系的旋臂差不多是對數螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。
低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像對數螺線
英國蓍名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到:旋渦形或螺線開形逐漸縮小到它們的中心,都是美的形狀。事實上,我們
也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麼我們的感覺、我們的"精神的」眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣
—種螺線的形式中得到滿足呢?這難道不意味著我們的精神,我們的「內在」世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構
對應關係嗎?
我們知道,作為生命現象的基礎物質蛋白質,在生命物體內參與著生命過程的整個工作,它的功能所以這樣複雜
高效和奧秘無窮,是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的,決定遺傳的物質—核酸結構也是
螺旋狀的。古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器,當它的琴弦在風中振動時,能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的「渦
流尾跡效應」。讓人深思的是,人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的
風鳴琴嗎?還有我們的指紋、發旋等等,這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應,也就是「內在」與「外在」和諧的自然
基礎．我想這就是為什麼稱之為自然常數的原因．
數學和物理學中的應用
又用上了這圖
自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有
個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。
此外自然常數還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積儘可能大。把這個題意分析一下，就是求兩
個數a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（說明，a可以為任意有理數，b必須為整數。）此時，便要用到自然常
數。這需要使a盡量接近e。則b應為100/e≈36.788份，但由於份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為
環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達
99.9999999(7個9)% 。
e對於自然數的特殊意義
所有大於2的2n形式的偶數存在以
為中心的共軛奇數組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數
可以說
是素數的中心軸，
只是奇數的中心軸。
改變世界的二十個公式之一：歐拉公式
最偉大的公式
這個公式將我們最常見的常數０、1、i、e、π集合在一起，可以說是最完美的公式，最偉大的公式！
偉大理由：
1、自然數的「e」含於其中。 自然對數的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，誰能夠離開它？
2、最重要的常數 π 含於其中。 世界上最完美的平面對稱圖形是圓。「最偉大的公式」能夠離開圓周率嗎？ (還有π和e是兩個最重要的無理數！)
3、最重要的運算符號 + 含於其中。 之所以說加號是最重要的符號，是因為其餘符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算，乘法是累計的加法……
4、最重要的關係符號 = 含於其中。 從你一開始學算術，最先遇見它，相信你也會同意這句話。
5、最重要的兩個元在裡面。零元0 ，單位1 ，是構造群，環，域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書，你就會體會到它的重要性。
6、最重要的虛單位 i 也在其中。 虛單位 i 使數軸上的問題擴展到了平面，而在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。 之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多餘的字元，卻聯繫著幾乎所有的數學知識。 有了加號，可以得到其餘運算符號； 有了0，1，就可以得到其他的數字； 有了 π 就有了圓函數，也就是三角函數； 有了 i 就有了虛數，平面向量與其對應，也就有了哈密爾的 4 元數，現實的空間與其對應； 有了 e 就有了微積分，就有了和工業革命時期相適宜的數學。
下期我們分享這個公式如何理解，應用及腦洞，分析它的偉大之處，歡迎訂閱＂學霸數學＂！
歡迎關注、分享並給我一個贊！
TAG:學霸數學 |