一杯咖啡背後的拓撲
長島冬季，時而寒風凜冽，滴水成冰，萬木蕭疏，天地蒼茫；時而斜陽暖照，溫潤和煦，碧水藍天，波瀾不興。最近在和朋友們一同探討拓撲和幾何的近現代理論，賞心悅目，踏雪尋梅。恰逢下周開講代數拓撲，便以一杯咖啡所引發的複雜物理現象為例，淺談一下隱藏在這些物理現象背後的拓撲定理。這些耳熟能詳的例子非常直觀，但是對於這些現象的精確解釋卻需要現代拓撲知識，最終的證明非常抽象而簡短，凝鍊如詩。
布勞威爾不動點
假如我們柔順舒緩地攪拌咖啡，避免產生氣泡，然後抽離咖啡勺，咖啡會自行旋轉，緩慢停止下來。在這一過程中，液體中的每一個分子的位置都會發生移動，移動的方式取決於咖啡杯的形狀，咖啡的流體力學性質，攪動的方式等諸多因素，精確分析相對困難。但是我們從拓撲上可以斷言：存在一個分子，攪拌過程中離開了初始位置，但是最終它又返回了初始位置。
為了方便討論問題，我們引入數學符號。令咖啡佔據的三維空間區域為，這一區域的邊界曲面記為，這裡符號代表取邊界。三維區域可以連續變形為實心球體，邊界曲面可以連續變形為標準單位球面。這裡，連續形變的意思是變換過程中沒有撕裂、沒有黏合。如果我們用拓撲語言來表述，就是說區域和實心球體拓撲同胚，或者拓撲等價；同樣，邊界曲面和單位球面拓撲等價。假設中的任意一點，攪拌靜止後的位置為，這樣我們得到一個自映射，。因為攪拌過程舒緩，沒有氣泡產生，因此自映射為連續映射。我們將證明至少存在一個點，使得，即為不動點（fixed point）。不動點有可能是邊界點，。我們用自然語言來描述布勞威爾不動點定理（Brower fixed point theorem），拓撲球體的連續自映射存在不動點。這一定理對於任意維空間都成立。
圖1. 布勞威爾不動點的證明。
證明的思想非常初等，主要是基於反證法：如圖（1）所示，假設不存在不動點，那麼對於一切點，都有。固定點，我們構造一條射線：從出發，經過點，和邊界曲面交於點。這樣，我們構造了映射，。如果點是邊界點，，由構造方法我們得到。這意味著映射在邊界上的限制是邊界到自身的恆同映射：
。
因為是連續映射，因此也是連續映射。映射將三維實心球體均勻地壓縮到邊界曲面上，如圖（1）右幀所示。這樣的映射必然會撕裂球體的中心區域，因此不可能是連續的。由此，連續映射不存在，假設錯誤，初始映射存在不動點。
這一證明的關鍵是壓縮映射撕裂內部，這來自物理直覺。如果一個循規蹈矩的小孩沒有玩過橡皮泥，沒有對玩具進行過「破壞性創新」，或者終日沉湎於電子遊戲，那麼他應該很難建立起這種直覺。從這個角度而言，父母對於小朋友的淘氣應該寬容，並且鼓勵他們更多地在真實物理世界中探索。
對於工程師而言，這一證明足夠嚴格。但是對於數學家而言，物理直覺依賴於人的感官經驗，無法達到數學上的嚴格性要求。問題的關鍵在於如何將物理直觀用數學理論來嚴格闡述並證明。經過前人艱苦卓絕的探索，人們終於用代數拓撲的方法嚴格化了這一物理直觀。
代數拓撲的基本手法是在拓撲空間上定義各種群，群結構反應了空間的拓撲性質。拓撲空間之間的映射誘導了相應群之間的映射（群同態），這些群的同態反應了拓撲映射的性質。換言之，我們將拓撲範疇映射到代數範疇，並且這個映射保持了結構和關係（即範疇間的映射是函子的）。我們考察拓撲空間中的封閉曲面，如果兩個曲面構成了空間中某個三維體的邊界，那麼我們說這兩個曲面彼此同調等價（homological）。中所有封閉曲面的同調等價類在加法下構成二維同調群，記為。實心球體中所有的封閉曲面都是某個三維體的邊界，因此所有的封閉曲面都同調等價於0，二維同調群只有一個0元素。為拓撲球面，裡面有個氣泡，本身為封閉曲面，並且不是任何三維體的邊界，所有封閉曲面都是的整數倍，因此二維同調群等於整數加群。由此，我們得到拓撲空間的映射序列：
,
這裡第一個箭頭表示在中的包含映射（inclusion），第二個箭頭是三維球體到二維球面的壓縮映射。複合映射是邊界到自身的恆同映射。這個映射序列誘導了二維同調群之間的同態序列：
,
這等價於：
。
因為中間出現0群，因此複合映射必為0；另一方面，我們有為恆同映射，應該為1，矛盾。因此，連續的降維壓縮映射並不存在。布勞威爾不動點定理成立。
人類通過幼年玩耍建立了物理直覺，那麼今天的人工智慧演算法是否可以勝任呢？首先，我們這裡依賴的是降維壓縮映射的不存在性，我們無法提供標註訓練數據，用人工智慧演算法學習某種映射的不存在性。其次，代數拓撲層面的代數運算，用吳文俊先生髮明的方法原則上能夠用符號推理實現出來。但是，計算機只能停留在符號演繹的水平，無法理解群同態序列後面的物理實際。這裡至關重要的一步是將物理直覺提煉成概念，形式化成符號體系，總結出代數運演算法則。從物理實際抽象成符號體系，這一步人工智慧無法完成。這也是人類智能和動物智能的分水嶺，更是目前人類智能和人工智慧的本質差別之一。
咖啡拉花的不變模式
我們進一步觀察咖啡拉花的模式。咖啡表面被分割成白色的牛奶泡沫區域和褐色的咖啡脂泡沫區域，奶泡區域作為前景，咖啡泡區域作為背景，構成各種圖案。我們緩慢攪拌咖啡，拉花的模式將會變得愈發複雜，最後和背景充分融合。我們試圖理解拉花模式的變化規律，和融合速率的定量描述。
圖2. 攪拌咖啡誘發拉花模式的變化。（兩次旋轉算作一次迭代映射。）
圖（2）顯示了一個攪拌過程的理想實驗，白色區域代表牛奶泡沫，淡黃色區域代表咖啡脂泡沫。我們放置3個用於攪拌的咖啡勺，用紅綠藍三個圓洞代表。每一次攪拌固定一個咖啡勺，另外兩個咖啡勺旋轉互換，如圖中深綠色圓弧所示。白色區域將會被拉長摺疊，拉花模式趨於複雜。幾次迭代之後，白色區域的邊界曲線就很難徒手畫出來。
圖3. 太妃糖拉伸器。（Taffy Puller）
如果缺乏日常生活經驗的話，這裡的描述可能依然費解。在曼哈頓有幾家中餐館，大廚在臨街的玻璃櫥窗中做手工抻面或者各種面點，手工拉麵的過程和這個攪拌過程比較相像，麵條被多次拉伸和摺疊，愈來愈細。在很多美國糖果店都有一種太妃糖銷售，太妃糖和中國的麥芽糖相近，非常粘稠，延展性較強。糖果店中經常有一種太妃糖拉伸器（Taffy Puller），由多根不鏽鋼圓柱構成。太妃糖做成的圓環套在兩根圓柱上，這些圓柱在空中依照固定模式旋轉，太妃糖被拉伸摺疊，自我纏繞，變得愈來愈細，材質混合均勻。
圖4 攪拌的動態示意圖。
圖（4）顯示了最為簡單的太妃糖拉伸器的動態攪拌過程，非常像模式複雜的抻面過程。很多時候，小孩在糖果店目不轉睛地看著太妃糖拉伸器在運轉，旁邊的父母經常不耐煩地催促。實際上小朋友在努力地學習拓撲。可能當年的瑟斯頓（Thurston）就是這樣一個小孩。依隨攪拌次數的增加，太妃糖的曲線演化得愈發複雜，但是瑟斯頓天才地發現了某種不變的模式。
圖5. 拉花變換中的不變數：火車道（train track）。
圖6. 拉花變換中的不變數：第二次迭代映射後的火車道權重（train track weight）。
我們將咖啡表面視作圓盤上去掉三個點，每次攪拌看成一次自映射，封閉曲線在自映射的迭代下變成另外一條曲線。如圖（5）所示，我們在咖啡表面上將彼此平行的曲線段捏在一起，得到一個分支（branch），分支的權重等於多少股被捏成這條分支。分支在道岔（switch）處匯合，兩條駛入分支匯聚成一條駛出分支，駛入分支的權重之和等於駛出分支的權重。圖（6）左幀的每條豎線代表一條分支（branch），豎線和曲線的交點個數等於這一分支的權重。這樣我們得到了所謂的火車道（train track）模型。這個火車道實際上只有兩個獨立變數a和b，其他權重都可以由（a,b）推出。
圖7. 第一次迭代後的火車道權重。
每條封閉曲線都可以被一個火車道來代表。同時，每個火車道可以表示無窮多條閉曲線。對比圖（2）的左下幀和圖（5）的左幀，我們看到經過迭代後，曲線發生了巨大變化，但是它們對應的火車道卻是相同的。這意味著在這種攪拌方式下，迭代的拉花愈來愈複雜，但是它們對應的「火車道」卻是不變的。迭代過程中，火車道分支上的權重滿足線性映射：
進一步觀察，我們發現在迭代中火車道的權重滿足斐波那契數列，因此曲線的長度和迭代次數滿足指數關係，n次迭代後曲線長度的n次方根收斂到一個常數，被稱為是攪拌映射的拉伸係數。這個拉伸係數等於上述矩陣的特徵根，，拉伸係數的大小給出了奶泡和咖啡泡區域融合速率的定量描述。
瑟斯頓將這一觀察進行了深刻的推廣，建立了曲面映射分類的宏偉理論，其核心思想依然是布勞威爾不動點定理。給定一個拓撲曲面，假設其歐拉示性數為負。曲面上所有的簡單閉曲線都可以用火車道來表示。曲面也可以配備雙曲黎曼度量，即高斯曲率處處為-1的黎曼度量。依據Teichmuller理論，所有的雙曲度量構成一個高維空間的球體，球中的每一個點代表一個雙曲度量。但是這個球體是開的，其邊界沒有定義。瑟斯頓看出，邊界由曲面上所有的火車道（及其閉包）構成，每個邊界點都代表一個火車道。和邊界一同構成了一個閉球體，我們稱之為緊化的Teichmuller空間。曲面的任意一個連續自映射都把一個雙曲度量映成另外一個雙曲度量，一個火車道映成另外一個火車道，即誘導了一個緊化Teichmuller空間的連續自映射。由布勞威爾不動點定理，這個自映射存在不動點。如果這個不動點在緊化Teichmuller空間的內部，則這個不動點是某個雙曲度量，這個自映射的某次冪同倫於曲面的恆同映射，這個映射被稱為是周期的；如果有兩個不動點在緊化Teichmuller空間的邊界上，則它們都是火車道，火車道權重的改變係數是拉伸係數，這個映射被稱為是Pseudo-Anosov映射；還有一種情況，曲面上存在一族封閉曲線，這個映射將這些曲線進行排列，曲面被這些曲線分割成不同的聯通分支，在每個聯通分支上映射是Pseudo-Anosov的。
瑟斯頓的理論抽象而深刻，但是觀察咖啡拉花，我們可以體會其內在精髓。平易近人的布勞威爾定理給出了嚴格的證明，但是這裡緊化Teichmuller空間的理解需要較深的數學涵養和天馬行空的想像力。
小結
從應用層面上來講，所有的方程求解問題等價於求不動點問題，代數方程、微分方程和積分方程都可以統一到這個框架之下。所有的迭代演算法問題也可以歸結為求解不動點問題，動漫動畫的圖像渲染等價於求解一個積分方程的不動點，人工智慧中的對抗生成網路（GAN）等價於求解納什均衡點。這些方程解的存在性和演算法的收斂性都是基於布勞威爾不動點定理的某種形式的推廣。
品咖啡是很多人日常生活的一部分。從一杯咖啡的攪拌我們可以想像到布勞威爾不動點，從奶泡拉花我們可以觀察到曲面自映射的動力學，其背後隱藏的拓撲學原理抽象而凝鍊，卻又質樸而直觀，從中我們可以體會到拓撲學的簡潔優美和人類抽象思維的深邃精密。
*文章選載自微信公眾號老顧談幾何。
好玩的數學
微信號：mathfun
好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。
TAG:好玩的數學 |