毫不誇張地說，這十個數學公式改變了世界面貌！物理人必收藏

1971年尼加拉瓜發行了十張一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，由一些著名數學家選出十個以世界發展極有影響的公式來表彰。其實不難發現選出的「數學公式」很多都是物理學中的公式；

當然正是因為有強大的數學，你才能看到物理規律有如此簡明優美的表達，那就讓我們懷著一份對自然的讚美之情來欣賞這十個公式吧。

1

手指計數基本法則

小孩子對數量的認識，幾乎都是從用手指頭數數開始。人類的祖先，從數指頭開始，逐漸累積經驗，堆石子、數貝殼、樹支、竹片，而後有刻痕計數、結繩計數等，後來創造文字、數字及計數用具如算盤、籌算、計算器等，一切都從手指頭開始。嗯！可能是因為人有十隻手指，計算時以手指輔助，自然就形成了十進位的觀念吧！

人類發明了文字以後，相對就有了數字與數碼，數字是指數的詞，如一、二、三、四、五、…、十、百、千、萬；數碼是指數的符號，如1、2、3、4、5、6、7、8、9、0（以上為阿拉伯數碼），而明清兩代盛行用數碼來表示，就寫成：

中國算籌計數：為十進位制，以下為1~9之表示法，有縱、橫兩式，交叉運用：

瑪雅數字：由中美洲的瑪雅所創造出來的一種象形文字，20以下采5進位的累進數制，20以上用位值制：

埃及的僧侶文：出現在世界上最古老的數學書賴固德紙草書上，這是象形文字的簡化，以下為各種不同數字的表示：

2

勾股定理（畢達哥拉斯定理）

這個定理中國和巴比倫人早在畢氏之前一千年就在使用，但仍被稱為「畢氏定理」，主要是因為畢氏證明了定理的普遍性。據說在證明成功的當天，畢氏叫學生們宰殺了一百頭牛，舉行盛大的宴會來慶賀。所以，畢氏定理又有「百牛大祭」的美稱。

若正方形的邊長為1，對角線的長度不能用分數來表示。整數構成的分數是有理數，不能寫作整數與整數比的數稱為無理數。無理數的存在是畢氏學派首先發現，也是數學史上重要的里程碑。

你知道嗎？歷史上關於畢氏定理的證明，超過四百種方法喔！

三國時代的數學家趙爽注釋「周髀算經」時給的證明：「弦實」：以弦為邊的大正方形面積「朱實」：四個直角三角形的面積和「黃實」：中間圍起來的小方塊面積「弦實」－「朱實」－「黃實」

數學家劉徽的證明，叫做「出入相補法」：簡單的說，就是剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。－「黃實」

3

阿基米德槓桿原理

阿基米德說：『給我一個支點，我就可以移動地球！』，希臘國王要求他證明，他便借了一艘大船，他運用槓桿原理以及滑輪巧妙地組合機械，船載滿乘客及貨物後，阿基米德讓國王用手輕輕的拉一條繩子，大船就直線前進了。國王很是驚訝與佩服並立即宣佈：「從現在起，阿基米德說的話我們都要相信。」

阿基米德的成就，除槓桿原理外，還有著名的浮力原理─「物體在液體中的浮力等於它所排開的液體重量」。他也是傑出的數學家，著有《圓的量度》《拋物線的求積》《論螺線》《論球和圓柱》《論劈錐曲面體和球體》《數沙術》《論平板的平衡》等書。阿基米德最得意的傑作是導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的2/3倍，這個圖形就刻在他的墓碑上。

4

納皮爾指數與對數關係公式

納皮爾原是一位蘇格蘭的修道士，業餘研究數學，他為尋求球面三角計算的簡便方法，經20年的努力，創造出對數的關念，出版了《奇妙的對數表的描述》一書。天文學家刻卜勒利用他的對數表簡化了行星軌道的複雜計算。「對數」被譽為「用縮短計算時間而使天文學家延長壽命」，也對整個科學的發展起了重要作用。

納皮爾運用對數設計了所謂的「納皮爾的骨頭」的計算器，用數字木棒的排列來計算。十年後，威廉奧特運用對數設計了稱為「計算尺」的器具，成為往後350年工程師都會用到的工具。

你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎？請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情，所有的計算，只能利用紙筆一項一項慢慢地算，此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表，簡直是匪夷所思吧！

試著想像一下二十年之間，每天都在重複做同類型的繁瑣計算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的，但納皮爾熬過來了，而他的辛苦也得到了報償對數受到了熱切的歡迎。

5

牛頓萬有引力定律

任何兩件物體會因質量而互相吸引，吸力大小與質量成正比，與距離的平方成反比。

牛頓小時候並不聰明，功課也不好，身體差、性格沉默又愛做白日夢，他的超人才智竟然是被一個野蠻的同學踢了一腳而喚醒的！牛頓決心發奮，誓言在功課上超越他，結果他不單在學校中名列前茅，18歲時便考進劍橋大學。

牛頓24歲時，倫敦發生流行病，他便返回故鄉，在一年半的時間裡有了三個非凡的創見，發明「微積分」，發現「萬有引力」，發現「光分七色」。1681年出版《自然哲學的數學原理》，總結出萬有引力定律，並提出三大運動定律，建立了古典力學的基本體系，被譽為最偉大的科學著作。牛頓十分謙虛，他說：「如果我看得比較遠，是因為我站在巨人的肩上。」

有人說，沒有哈雷，就沒有《自然哲學的數學原理》這本改變歷史的書，這話一點也不假。哈雷想盡辦法、好說歹說才讓牛頓同意寫書，皇家學會也同意出版，卻因瀕臨破產無法印刷，哈雷於是自掏腰包，所有出版庶務都一手包辦，和印刷商周旋、校訂、驗算數據和審圖。靠哈雷的鼓勵與努力《自然哲學的數學原理》一書才有機會呈現在世人眼前。

6

麥克斯韋電磁方程組

馬克斯威爾用數學式子概括一切電磁現象，並預言：1.電場及磁場的波以光速在空間傳遞，2.光為電磁波的一種。這是無線廣播的理論基礎，因此被稱為「無線電之父」。23年後，赫茲證實馬克斯威爾的預測創造出無線電波，開啟了無線電時代。這發現，也是愛因斯坦狹義相對論的重要背景。

1865年馬克斯威爾預測電磁波輻射傳播的存在，將庫倫、安培、法拉第的研究結果整理成四個電磁場理論的數學式，這個理論提供了連續性的電的流動。1887年德國科學家赫茲（Hertz）實驗證明出電磁波。馬克斯威爾的理論將電學與磁學統合成一體。

愛因斯坦：「馬克斯威爾的工作是自牛頓以來，物理學上影響最深遠與豐碩的工作。」

電磁波包含有長波、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X光線、射線等。

7

愛因斯坦質能關係式

愛因斯坦小時候發育比較慢，三歲才開始講話，被人認為是反應遲鈍的孩子，他五歲的時候，父親給他一個羅盤，他被羅盤針永遠指同一方向的神奇性質吸引住了。他後來回憶當時的感覺是：「在真正事物的背後，必定隱含若干真理。」

1905年是愛因斯坦「神奇的一年」，26歲的他發表了四篇最富創造性的偉大論文，使他獲得博士學位、1921年諾貝爾獎、並創立狹義相對論。相對論推論的結果真是匪夷所思，令人不敢置信，可是後來都證實了。現在我們經常聽到的黑洞、時光旅行、空間彎曲等等好像是科幻名詞，可都是相對論所推導來的哦！

令愛因斯坦最感後悔的是，在1939年他寫了一封信給美國總統羅斯福，促成原子彈的研究，因此與羅素合作，極力向世人呼籲禁止核子武器的開發和使用。

8

德布羅意公式

德布羅意本來是學歷史的，受數學家龐加萊的影響而改學科學。1924年他在博士論文中提出「物質波」的概念，轟動全世界，他認為任何實物、粒子都同時具有波與粒子二種性質，還運用愛因斯坦的相對論，導出物質波波長的公式。他的看法後來被戴維森的實驗證實。而物質波的概念也為波動力學的發展提供了重要的理論基礎。

當德布羅意的論文發表後，愛因斯坦驚嘆不已稱道：「瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢！他揭開了一幅大幕的一角」。也驚動了老一輩物理學家：「這些青年人認為，拋棄物理學中老的概念簡直易如反掌！」

量子力學不僅是理論物理學，也是科學哲學研究的範疇，甚至影響了我們日常生活中的一些基本假定。量子力學有三個革命性的概念。第一個就是德布羅意的波、粒二重性─在微觀世界裡，很多東西具有波動和粒子雙重的特性。第二個是說所有的物理事實都只具有或然性，而沒有必然性。

與古典物理學認為事件有確實性和可決定性相反。第三個是海森堡的測不準原理─測量粒子時，我們不能同時確切地知道粒子的位置和速度。若我們測量到粒子的位置越準確，則所知的速度越不準確，反之亦然。它們推翻了人們對物理學上一些假定的認知。

9

玻爾茲曼公式

用牛頓力學來解釋物體內每一個分子的運動，實際上是不可能的，波茲曼用統計的觀念，只考量分子運動排列的機率，來對應到相關物理量的研究，是很難懂，但卻是很聰明的辦法，對近代物理髮展非常非常重要。

854年德國的科學家克勞宙斯(Clausius)首先引進了「熵（Entropy）」的概念。熵是表示雜亂程度的一個量。這個量在可逆過程不會變化，在不可逆過程會變大。像懶蟲的房間，若沒有人替他收拾打掃，房間只會雜亂下去，決不會自然變得整齊。

熵的變化，具體來說，等於用絕對溫度除熱量變化的商。熵是希臘語「變化」的意思。生物也離不開「熵增大的法則」，生物需要從體外吸收負的熵來抵消熵的增大。

10

齊奧爾科夫斯基公式

希歐考夫斯基是自學成功的，他本來是中學教師，有一次在教室里向學生大談天象奧秘，引起一位參觀的物理學家的注意，從此天才被發掘，引導俄國科學界放眼太空。後來，他對一群科學家說，只要大家努力，俄人將第一個走出地球，他的話成為事實，他也被稱為俄國火箭之父。

1895年他在科幻著作《地球與天空的夢想》中提出了用多節、液態火箭來脫離地球的想法。1903年在論文中說明將火箭用於星際交通的可能性，並提出太空航行火箭的設計原理。1957年他的夢想成真。

1957年蘇聯發射第一顆人造衛星，揭開太空時代的序幕，1961年送出第一位太空人─蓋加林，贏了太空競賽的第一役，美國在1969年送阿姆斯壯踏上月球，扳回一城。

他著重鑽研中國古代火箭技術，請人翻譯明末及清初的軍事著作參考，尤其對《武備志》最感興趣。當時中國已擁有近三十種軍用火箭，「神機火龍箭」或「火龍出水」之類的武器令他著迷，他產生了更多的夢想和靈感，不久寫成《地球與天空的夢想》一書。

本文來源於來源|善科文庫。版權歸原作者所有，若侵刪。責編：吳買樂

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