每日打卡做題403神馬數
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02-02
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【昨天打卡問題】圖書上架
將編號為1~n的n本書放入編號為1~n的n個書架上,要求編號為k的書只能放在編號為k-1或k或k+1的書架上,例如:當n=10時編號為1的書只能放在編號為1或2的書架上,編號為4的書只能放在編號為3或4或5的書架上,編號為10的書只能放在編號為9或10的書架上。那麼,當n=4時一共有多少种放法?當n=10時又有多少种放法?
【解答】@子曰
用f(n)表示有n本書時的放法數,易知f(1)=1,f(2)=2。
下面考慮n>2的情況,因為編號為1的書本只能放在1號或2號書架上:
(1)若放在1號書架上,則剩下的n-1本書有f(n-1)种放法;
(2)若放在2號書架上,此時編號為2的書本只能放在1號或3號書架上,若放在3號書架上,則1號書架無書可放,所以編號為2的書要只能放在1號書架上,此時剩下的n-2本書有f(n-2)种放法。
故f(n)=f(n-1)+(n-2)(n>2),事實上這是一個斐波那契數列。
有了這個遞推關係,就可以得到f(3)=f(1)+f(2)=3,f(4)=(2)+f(3)=5,依次類推可得到f(10)=89。
即當n=4時一共有5种放法,當n=10時,一共有89种放法。
* 答案僅供參考,如有疑問請留言!
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