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【昨天打卡問題】圖書上架

將編號為1~n的n本書放入編號為1~n的n個書架上，要求編號為k的書只能放在編號為k-1或k或k+1的書架上，例如：當n=10時編號為1的書只能放在編號為1或2的書架上，編號為4的書只能放在編號為3或4或5的書架上，編號為10的書只能放在編號為9或10的書架上。那麼，當n=4時一共有多少种放法？當n=10時又有多少种放法？

【解答】@子曰

用f(n)表示有n本書時的放法數，易知f(1)=1，f(2)=2。

下面考慮n>2的情況，因為編號為1的書本只能放在1號或2號書架上：

（1）若放在1號書架上，則剩下的n-1本書有f(n-1)种放法；

（2）若放在2號書架上，此時編號為2的書本只能放在1號或3號書架上，若放在3號書架上，則1號書架無書可放，所以編號為2的書要只能放在1號書架上，此時剩下的n-2本書有f(n-2)种放法。

故f(n)=f(n-1)+(n-2)(n>2)，事實上這是一個斐波那契數列。

有了這個遞推關係，就可以得到f(3)=f(1)+f(2)=3，f(4)=(2)+f(3)=5，依次類推可得到f(10)=89。

即當n=4時一共有5种放法，當n=10時，一共有89种放法。

* 答案僅供參考，如有疑問請留言！

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