小平邦彥：一位數學家的妄想

知識 02-04

本文節選自小平邦彥先生的《惰者集：數感與數學》。

我是一個綜合素養不足、十分單純的數學家，對於「數學是什麼」這個千古難題，我沒有什麼想法，也不具有討論它的資格，不過既然我是以研究數學為生，當然心裡還是有些感受的。我曾經在《數學的建議》（見本書《數學印象》一文）中記錄了相關感受。近來這種感受逐漸升級成了「妄想」，即「數學是森羅萬象的根本」。

數學對於自然科學的貢獻是超乎想像的，而且在很多情況下，數學家們在自然科學理論被發現之前，就早早地為其準備好了該理論所需的數學知識。其中，黎曼空間對於愛因斯坦廣義相對論的作用就是最好的例子。黎曼甚至曾經預言了廣義相對論，他說除非通過實際測量，否則無法得知我們居住的空間到底是歐幾里得空間，還是擁有曲率的黎曼空間。

相對論是基於愛因斯坦的幾何學世界觀的天才發現。人們一般認為狹義相對論是愛因斯坦根據邁克耳孫－莫雷的實驗結果而發現的，但實際上狹義相對論是獨立於實驗發現的。甚至廣義相對論也源於純粹的思考實驗，愛因斯坦對實驗檢驗完全不感興趣。令人驚訝的是，至今為止對廣義相對論的所有實驗檢驗，都沒有出現任何破綻。特別是根據最近的觀測結果顯示，在廣義相對論基本方程式數學解中出現的奇怪「黑洞」也確實存在。

為什麼數學會在自然科學中產生重大的作用？當然你只要解釋說「數學是記錄自然科學的語言」，這個問題就能得到解決。例如黎曼空間對於廣義相對論的作用也許也可以說是一種語言（雖然我不太贊同——因為我無法想像語言具有預測黑洞存在的能力）。但是在量子力學中，數學扮演著神秘魔法的角色，很難想像它只是一種語言。

打開量子力學的教材，首先是關於光干涉、電子散射等實驗的說明，接著是用波函數（即希爾伯特空間中的矢量）來描述光子、電子等粒子的狀態，最後推出態疊加原理。態疊加原理是量子力學中的基本原理，它表達了如果狀態A 是狀態B 與狀態C 的疊加，那麼A 的波函數是B 的波函數與C 的波函數的線性組合。

什麼是粒子的狀態？因為粒子加速器中的電子的狀態是由粒子加速器所決定的，所以粒子的狀態可以理解成粒子所在的環境。因此在量子力學中，環境是由波函數來表示。如何理解狀態A 是狀態B 與狀態C 的疊加？如果是在教材中出現的光干涉等情況下，那麼就比較容易理解。不過在一般情況下，環境A 是環境B 與環境C 的疊加，這就不容易理解了。不確定性原理，例如不可能同時測量一個粒子的位置和它的速度，是通過測量實驗對粒子的干擾來加以說明的，最終表明一個粒子無法同時存在於測量位置的裝置和測量速度的裝置中。換言之，粒子不可能同時存在於兩種環境中。瞬間將速度測量裝置替換成位置測量裝置本身就是不可能完成的任務，所以「一旦測量到按一定速度移動的粒子的位置，其波函數就會縮小到一點」這種不可思議的事情，不過是這種不切實際的設想產生的錯覺而已。

我認為兩種環境的疊加實在難以理解。另外，波函數的線性組合運算如同數學中的初級運算一樣簡單，而態疊加原理則主張通過這種簡單的數學運算來表示各種複雜奇怪狀態的疊加。也就是說，數學運算支配了作為量子力學對象的物理現象。這種數學運算與物理現象的關係，並非通過解析疊加的物理意義並將其用數學公式表現出來，而是在將「波函數的線性組合可以描述狀態的疊加」視為公理，然後依據數學運算來確定疊加的意義。正如費曼所言，除了數學之外，沒有其他方法能說明態疊加原理了。我們只能認為量子力學基於數學的無窮魔法，因此我認為物理現象的背後存在著固有的數學現象。

也許我們能夠看見、觸摸的物理現象和無法看見、觸摸的數學現象從根本上來說完全不同。但是，數學的對象遠比我們用巨型粒子加速器拍攝幾萬張照片後才發現的奇妙粒子更加真實。儘管照片呈現出了粒子的徑跡，不過判斷這些徑跡究竟是否是粒子的徑跡，則是基於粒子理論的公式計算推導出來的結果。如果從推論中刪除所有的數學內容，那麼也就無從判斷照片呈現的現象是否是粒子的徑跡。因為物理現象是基於數學存在的。

概率論更不可思議。眾所周知，概率論揭露出了驚人的事實，即隨機發生的現象也遵從數學法則。而且，我們通常根據現象是否遵循概率法則來判斷其是否具有隨機性。依據量子理論從微觀層面上觀察的話，所有的自然現象都具有隨機性。因此我認為宇宙萬物、森羅萬象的根本之處存在固有的數學現象。

物理學家研究的是物理現象，同理可得，數學家則是研究數學現象。那麼，理解數學相當於「觀察」數學現象。這裡所說的「觀察」不是指「用眼觀看」，而是通過一定感覺所形成的感知。我曾將這種感覺命名為「數感」，雖然很難用言語去描述，不過這是一種明顯不同於邏輯推理能力的純粹的感覺。數感的敏銳性類似於聽覺的敏銳性，也就是說基本上與是否聰明無關。人們通常認為數學是一門由縝密邏輯構成的邏輯性學科，不過在我看來，數學是一門需要敏銳感覺的學問。數學的理解需要憑藉數感，從感覺上把握數學現象。

給不擅長數學的孩子當家教時，就能明白這種感覺，數感不好的人無法理解數學。對你來說已經顯而易見的問題，在不擅長數學的孩子看來怎麼也無法理解，因此你會苦於不知如何解釋。而且，那個孩子在討論社會問題時則口若懸河，瞬間讓人目瞪口呆。這是因為一般邏輯任何人都能理解，如果將數學歸為邏輯，那麼任何人都能理解數學，然而眾所周知，無法理解數學的初中生或高中生大有人在，語言能力優異、數學能力差勁的學生十分常見。田邊·元先生最初就讀於數學系，雖然課堂內容聽起來有趣易懂，但是進入專題討論階段他卻感覺雲里霧裡、不知所云，因此他只好放棄學習數學，轉而專攻哲學。

田邊·元（1885—1962），日本哲學家，「京都學派」代表人物，研究西方哲學後創立「田邊哲學」，1950 年獲日本文化勳章。——編者注

田邊哲學的邏輯問題中包含了許多超乎我們數學家理解的難題，田邊先生能夠解決費解的邏輯問題卻放棄了數學研究，由此可知，數學在本質上與邏輯不同。我認為，邏輯就像是用於記錄數學的語法，數學在本質上與邏輯不同，是一門需要感覺的學科。數學家並沒有察覺自己在證明定理時主要是數感發揮了作用，因此會誤以為是憑藉邏輯完成了證明。如果證明過程確實邏輯縝密的話，按理說完全可以將其替換成不含任何一個文字的邏輯符號，然而這樣最終只會得到一串冗長的邏輯符號，因此絕對不可能是依靠邏輯證明了定理。

人類自古以來具有視覺、聽覺、嗅覺、味覺、觸覺五種基本感覺，即五感。如果我說除五感以外還有數感，也許你會覺得很奇怪。不過當我們靜心思考，會發現人類還具有其他各種各樣的感覺。對於方向的感覺就是其中一項。正如「路痴」一詞所指，我們對於方向感的敏感度確實因人而異。

數學家對於數感並不自知，數感應該是人類進化過程尚未被開發的感覺。約兩千年前，人類歷史上就已經出現了諸多聰明絕頂的頭腦，諸如先哲柏拉圖、耶穌、釋迦牟尼等人，由此可見，人類的大腦構造其實從一萬年前開始基本沒有出現太大變化。對於一萬年前居住在洞穴、使用石器和棍棒與野獸搏鬥的人類來說，能夠理解現代數學的數感幾乎是無用之物。按照生物自然淘汰的進化論來看，這種無用的感覺按理說不可能會得到發展。因此，人類的數感不發達也是理所當然，若人類進化過程中的，大多數人的數感能與現代數學家的敏銳程度相媲美，這反而會令人感到不可思議。因此，不擅長數學的人特別多，擁有數學家那樣敏銳數感的人特別稀少，這都是情理之中的事。

如果人類和電子計算機在算數領域進行較量，人類絕對無優勢可言。但在模式識別領域，人類又遠優於電子計算機。這也是因為對於一萬年前的人類來說，模式識別極其重要，而三位數以上的算數完全無用。據說有一種候鳥只要眺望星空，就能判斷飛行的方向。人類一旦沒有精密計時器、六分儀和星座簡圖，就無法判斷方位。然而，候鳥憑藉著自身對時間、空間的敏銳感覺就能瞬間完成人類不可能完成的任務。只要種族延續需要，鳥類的小腦袋也能完成如此驚人的進化，所以人類大腦進化的可能性是不可估量的。假設一百萬年前外星人佔領地球，人類淪為奴隸，為了實現複雜的計算，他們從人類中挑選一批心算高手讓其重複繁殖，也許在算數領域，人類的腦力就能夠凌駕於電子計算機之上了。考慮到構成人類大腦的神經細胞和神經纖維數量，電子計算機的簡單迴路只能相當於人類大腦的一小部分。

除了數學家以外，再也沒有人能了解現代數學的成果了。而且研究領域不同，了解的程度也不盡相同。即使領域相同，數學家也需要花費大量的時間和精力去理解他人的成果。這也是人類的數感未得到發展而導致的結果。我們可以設想以下狀況來幫助理解。假設幾乎所有人都是色盲，只有極少數人具有未發展的色覺（據說貓是色盲，如果人類在進化過程中稍稍走偏一點，也許也會出現相同的結果）。然後假設這些極少數的人組成一個自稱「彩色畫家」的集團，專門創作彩色畫。當然絕大部分的人看不懂這些畫，而且這些彩色畫家們所具有的色覺也只能勉強分辨顏色，所以需要付出巨大的努力，比如說這裡看起來像是紅色，那按邏輯來說旁邊可能是藍色。

我想，我們數學家的現狀與上述例子相似。等到將來人類進化，數感變發達時，現在我們費盡心思想要證明的定理也會隨之變得一目了然。

不過話說回來，人類在進化的過程中，數感到底能不能變發達？當然目前我們也無從得知人類是會不斷進化，還是逐漸走向滅亡，不過縱觀蕭伯納《千歲人》中所描繪的公元31920 年的世界，人類的數感已經非常發達了。在未來的世界裡，嬰兒從蛋殼中出生（好像進化過快了），出生時的體型和智力已經達到現在人類十八歲的程度。四周歲前即成年的四年間，主要的娛樂活動包括舞蹈、音樂、繪畫、生命科學實驗等。雖說是生命科學，其實主要是合成活人偶（相當於現在我們這樣的人類）來玩，不過已經相當厲害了。然後四周歲以後男女都徹底禿頭，外表沒有明顯的區別。除非遭受雷擊等意外事故，之後的幾百年人生主要都是在思考數學。書中雖然沒有明確指出「數學」，但是有這樣一個場景：一個快滿四周歲的女孩兒對自己的玩伴、一個兩歲的男孩兒說：「數字的特性非常奇妙。我對它特別感興趣。我想逃離沒完沒了的舞蹈和音樂，一個人坐著靜靜地思考數字。」（ The properties of numbers are fascinating，just fascinating. I want to get away from our eternal dancing and music, and just sit down by myself and think about numbers.）男孩兒聽後一臉失望。由此猜測，想必數學應該就是他們思考的對象。後文中，碰巧路過的老人對孩子們說道：「小朋友們，我們生活的一個美好瞬間足以要了我們自己性命。」（ Infant: one moment of the ecstasy of life as we live it would strike you dead.）雖說他們是思考數學，卻並非是絞盡腦汁的思考，而是憑藉數感享受數學的樂趣，這就如同我們通過聽覺欣賞音樂一樣。最後，請原諒我的胡言亂語。