拉普拉斯變換的物理意義是什麼？

這個問題要先從一個工程師說起……

英國有一位工程師，名叫Heaviside（此君自學成才，化簡了麥克斯韋方程組，提出了電離層假說），他使用了一種叫做「運算運算元法」的計算方法來解決電路計算中的一些問題。

電路問題基本上就是微分方程的問題，所以這種方法現在依然用在解常微分方程中，舉例來說：

定義運算元：

這樣一來一個微分方程比如，設r、e是關於t的函數：

這樣一來就相當於將微分和積分運算化為乘除，把微分方程化為代數方程，簡單了很多[注2]，現在常微分方程求解這也是一種常用而且比較簡便的方法。

在電路分析中使用這種方法建立系統的數學模型也十分簡便，而且電容電感可以寫成等效容抗感抗值，之後寫迴路方程，按照Cramer法則求解即可。

這種方法雖然實用，卻受到了數學家的質疑，因為缺少嚴謹的數學論證，後來人們在Laplace的著作中找見了可靠的依據，這種方法便被稱為拉普拉斯變換法。

這種方法在電路的理論分析中的地位相當重要，後來CAD出現計算機也可以進行電路的分析，拉氏變的應用便逐漸減少，但拉氏變換建立起來的系統函數、零極點分析這樣的概念卻依然很實用：它可以直觀的表現系統的輸入輸出特性。

與電路分析比較類似的還有連續線性是不變系統的分析。

數學和信號系統分析方面要先從Fourier變換說起……

此變換需滿足Dirichlet條件[注3]：

而實際中有很多信號不滿足狄利克雷條件，無法做出變換。

解決的方法是引入衰減因子

滿足狄利克雷條件，可以求出傅里葉變換。

這樣做的物理意義相當於給一個振蕩頻率為 w 且震蕩幅度不斷增長的信號的幅度做了一個速率

的衰減，如此一來便滿足絕對可積條件。

這樣處理擴展了傅里葉變換使用的範圍，並且將頻域擴展為復頻域，拉氏變換相當於在整個複平面上的變換，而傅氏變換僅僅是在這個複平面的虛軸上。

在系統分析中藉助於基於拉氏變換的系統函數，可以從極點分布入手分析原信號波形、判斷系統穩定性，也可以從零點分布入手分析時域函數的幅度和相位；也可以分析自由響應與強迫響應；更可以分析系統的頻響特性[注4]。

倒是有一個自認為很好但很非主流的一個解釋，複平面實際上不存在，對實際中能接觸到的部分來說：

將C大九和弦一起摁發出的音符分解成 1 3 5 7 2這幾個單音的過程實際上就是傅里葉變換，而樂譜則是音樂（時域）在頻域上的分布。

把它推廣到複平面，就需要拉氏變換了。

注1：

即趙博成提到的：「拉普拉斯變換首先是一個數學工具，在求解微分方程的時候起到巧妙的作用。」趙同學講的基本正確，但缺少拉氏變換在信號系統分析中的應用

注2：

實際上這種使用運算元的計算方法是有條件限制的，比如通常來說，消去律不成立。

注3：

周期信號與階躍信號雖不滿足這一條件，但因為衝擊函數的存在其傅里葉變換依然存在。

注4：

與拉氏變換方法和概念都很類似的z變換也廣泛應用在離散時間系統的分析中。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！