媽媽自學數學啟蒙《如何喚醒數學腦》
——2018年第3篇自學日記
作者開篇引用了愛因斯坦的話，對我的口味。
——「教育就是當一個人把在學校所學全部忘光之後剩下的東西。通過這股力量培養出能夠獨立思考、行動的人，並解決社會面臨的各種問題。」
作者：永野裕之，日本有名的數學培訓學校的校長，職業音樂指揮家。相比上本書媽媽自學數學啟蒙《一個數學家的嘆息》(點擊閱讀)，這一本更接地氣。但其實細讀就會體會到，一個日本數學老師、一個美國數學老師，他們對數學精神的理解有很多共性。
快速解題不難，但不是真正的數學力
只要多接觸各種題型，懂得將問題分門別類，然後套用既定的解法，就能夠快速解答應用題。但是數學本來就不是一門講求「速度」的學問。
將已知的題型分門別類並加以解析，是計算機最擅長的工作之一 …… 我們人類所需具備的能力，是針對那些尚未建立演算法（處理方式）的未知問題提出解答方案，即使無法解答也要找到解答的方向。這才是真正的數學力。
明明小學時數學這麼受歡迎，為什麼到了高中就反而討人厭了呢？
用典型解法破解典型問題的小學數學，就像依照攻略的指示玩遊戲一樣。讀了電玩遊戲攻略上寫的「往右邊走有寶物」，按照指示就能獲得寶物，這種喜悅是理所當然的。……然而升上初中後，狀況可就不一樣了。即使像小學一樣，用同樣的原則背誦解法，但是真正上了考場，也不一定能拿到高分，因為初中數學有很多題目光靠死記硬背是無法解決的，而且這種現象會隨著年級的增加越來越明顯。
數學不好的人，並不是因為沒有數學天分，而是因為用了學習算術的方法來學習數學。……我所做的只是讓學生停止死記硬背，嘗試理解各單元的內容、公式和解法的意思，然後練習如何用稍微有別於以往的視角解讀數學而已。
學好數學最應該具備的態度就是思考「為什麼」，這也是學習數學的起點。
之前一位數學老師說我高中數學沒學好，是因為基礎沒打好。現在，這個所謂的「基礎」終於尋到了一個更根本的說法——數學視角。
昨天小樂玩數學遊戲遇到了乘法。1x1, 1x2, 1x3……小樂滿眼的問號看向我。姥爺的解釋是1乘幾就是幾，記住了。但我知道，數學啟蒙不是讓孩子最快的得到結果，而是給他一個最簡單直觀地理解方式和引導。所以，很自然我會告訴他乘法的意義。不過現在回想起來，更好的做法是找機會告訴孩子，我們為什麼要發明乘法。乘法不光帶給我們乘法口訣，它有更寬廣的思維意義。(下面會提到乘法的思維模式)
關於乘法來源的啟示，我之前在小樂數學遊戲擺小攤子（點擊閱讀）里曾經提到一本數學繪本《阿曼達的瘋狂大夢》，還有「我是數學迷」系列裡的《彼得智斗侏儒怪》都是很好的引入故事。
這也是我為什麼要去研究數學啟蒙，這些學習給了我在面對孩子求知時的關注方向和回應思路。
比如小樂在計算10+3=？時，姥爺關注的是他算沒算出來。我關注的是他用了什麼數學策略算出來的。他現在可以不用從1開始數到13，而是直接從10來數到13計算10+3了，這是在他原來水平上的進步。而我一直忍住，不去提示他可以這樣數，等待他自己發現的過程。
光是把「分數的除法要上下顛倒」當作一項知識，頂多只稱得上是算術的技巧而已，不過一旦將焦點放在「為什麼這樣可以得到答案」上，即使是分數的除法也能夠成為鍛煉邏輯力的材料。也就是說，這才是標準的數學。
如果按愛因斯坦說的，忘記所學內容後留下的是真正的力量，我希望小樂在10+3上留下的：是在他數了n多遍的經驗總結後，分析出從10數是一樣的結果；是他積累了邏輯經驗和獲得一個新視角，而不是只記住10+3理所當然等於13。
欣喜的是，我很快就看到了個小結果。昨天，他在飯桌上考我10+4等於幾，我說10。於是他很自信地搖頭說，不對。我驚訝地問為什麼？他說因為10+3，已經有10了。我連忙說，所以10+3一定大於10對嗎？他點頭。其實這就是他在從10開始數後的一種經驗感知的結果。
數學式思維具體帶來什麼?
數學思維>>>理解力+開拓新思路解決問題的能力+說服力
數學思維方式可以理解為這樣的過程：
1、2就是抽絲剝繭的過程，就是提升理解力；3-5是將事物極簡化，開拓新思路；整個過程清晰了就是有了說服力。
數學思維怎麼落地？
數學式思維的7個方面：
這七個方面不是並列平行的，而是不同視角去看問題。它們之間也會有交叉。
我覺得對數學啟蒙的啟示，是理解這些視角，應用在生活中，直接傳遞思維模式。書中枚舉了很多例子來解釋這七個方面，我只說說給我啟發最大的一些元素。
分類
通過不同的分類標準，找出隱藏信息。
比如在書中，作者把葡萄酒按年份分類的話，提供的信息只能是哪些年份沒有，哪些有了。如果有一瓶年代久遠的似乎更體面一點。僅此而已。但是如果按照產地來分，就可以出製作工藝，葡萄品種等更多和葡萄酒的本質——味道，相關性最大的隱藏信息。
在數學啟蒙材料中，有很多涉及分類的主題。一般也就是請小朋友按顏色分類，按數量分類，按形狀分類這幾種。我腦中就一直有一個隱隱的問號，這就完了？就好像一句話只問了一半的感覺，讓人半吊在那，不知去向。現在終於明白，分類不是問題本身，是為了一個問題而使用的信息搜索方式。那麼在生活中，在我們和寶貝傳遞這種數學式思維的時候，它應該有一個真正的問題作為背景才更合適，才是完整的數學思維的過程。
用這個思路去看相關主題的數學繪本，比如：「數學啟蒙」系列的《小小消防員》、「你好！數學」系列的《去郊遊》，我們就知道給孩子講的時候，出發點是找出隱藏信息，解決問題。這是主線，而不是直接關注在有幾種分類上。
乘法
加法是相同性質東西的計算。乘法是不同性質東西的計算。
乘法是通過把不同的東西結合，創造一個新的事物。而且橫軸上的一個元素，會同時作用於縱軸的所有元素。
1+1是兩個獨立的1；而1x1可以代表1行1列的組合；1x1x1，則代表一個立方體。
加法增加的是個數，乘法增加的是維度和次元。
次元的增加，意味著一個遠超過想像的新世界即將在眼前展開。
函數盒子
函數的函就是「把信投進郵箱里」的「函」，也就是「盒子」的意思。換句話說，「函數」就是「盒子里的數字」的意思。……這裡所謂的「盒子」有兩個口，一個是「輸入口」，另一個是「輸出口」
安野光雅的「魔法機器」和永野裕之的「函數盒子」有異曲同工之妙。放進一個自變數x，變出一個因變數y。中間就是秘密的加工過程。
用這樣的方式，來表達抽象的概念和過程，真是啟蒙最好的方式。啟蒙的過程，其實是從形象思維到抽象能力的過程。用這樣的引入方式，就可以從每天生活當中找出活生生的事物來遊戲數學思維了。
具體+抽象+具體
我越來越意識到，找到一個巧妙簡單的切入點，會讓數學啟矇事半功倍。而啟蒙的核心不是定義、公式，而是數學思維在生活中的直接傳遞。
作為一名數學老師，我經常苦苦思索如何才能把數學講解得簡單易懂，其實關鍵就在於能否結合聽者已知的知識或經驗，儘可能擴大聽者的想像。
這個具體 》抽象 》具體的前半步「具體到抽象」，就是在孩子已有的知識經驗上，先具化，然後抽象出共性。
通常最簡單的方式是來一本數學繪本或者結合生活，引出概念，做個總結。但往往也就到這裡了，我們總以為升華就是最好的結局。比如我們看完了《小小消防員》，OK這就是分類啦！頂多結尾再做幾個練習鞏固常見分類。但其實這並不是一個閉合的環，確切地說，這是中斷了螺旋曲線進入下一個周期。後面一定要找機會像波瀾一樣推出去，衝破思維的限制，哪怕波瀾再小，哪怕面對無數的不確定性。繼續向前，發散出無數的可能，才是數學的意義。
後半步「抽象到具體」怎麼做？
我們在參加親子活動時，很多都會以一個手工作品作為結尾。就好像一個講交通為主題的故事會，結尾來一個警車塗色手工。說實話，這是最容易的活動流程，不用冥思苦想，又好像順理成章，有個東西給家長看到。我之前做過很多用手工來呈現的故事會，但是我知道那不是手工的全部，手工可以更好地服務於內容，它是一種解決方案，是幫助你在更多層面上再現抽象。所以，後面的具化，應該是一種抽象為起點的再創造過程。
感性和理性的相互成全
即便是「邏輯思維」這麼理性的詞語，也不能否認感性對它的作用。
無法用一顆感性的心傾聽其中訊息的數學家或物理學家，絕對不可能成為一流的研究者。
我認為數學和音樂存在著兩項共同點，一是兩者皆為美麗的邏輯，二是接觸這兩種學問的人都必須具備豐沛的感性。
我認為最重要的是要培養一顆能夠體察邏輯之美的心。如果只是被迫接受維持邏輯思維的觀念，那麼當我們面臨越重要的關頭時，就越容易流於情緒性而非邏輯性的思維模式。
其實不僅是音樂，舉凡文學、電影、繪畫或雕刻等，所有藝術背後的邏輯都與數學息息相關。
在這裡，我理解的「感性」代表美的感受，「理性」代表合理。一首打動你的曲子，既包含了精密計算的邏輯，也需要作曲家、演奏家和指揮家用一顆熱誠的心，向人傳達想傳達的感覺。
「對稱、簡單、統一」 這些詞即用在數學裡，也用在美學裡。合理性讓事物更具趨近於美，美感也成為了邏輯的動力，目標和蛻變的瞬間。在數學啟蒙里，我正嘗試去尋找他們碰撞的邊界。
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