當年的古希臘人是如何測量地球地表的？這對他們難度有多大？

知其不可測而測之

兩千多年以前，古希臘的哲學家兼科學家展開了一項令人望而生畏的計劃，其困難度有如今日探索太陽系的邊界，那就是測定整個地表的大小與形狀。

對古希臘人而言，地表簡直大得不可思議。不論是希臘人自己，或是他們接觸過的任何文明，活動範圍都只是大地的一小部分。想要根據能直接測量的微小範圍，揣度人類前所未至、甚至從未夢想過的浩瀚陸地，一定需要極高明、極巧妙的方法。除此之外，還需要系統地發展一門嶄新的學問，古希臘人稱之為「幾何學」，希臘文原意就是「測地」。

勾股定理

在幾何學的早期發展史中，最有名的人物之一是公元前6世紀的畢達哥拉斯(約公元前580年一公元前500年)。

然而，早在畢達哥拉斯之前，埃及人很早就發明了一種簡單的方法，來畫出諸如金字塔底邊的垂直線條。他們在繩索上打出等距離的結，將繩索分成3：4：5的三段長度；然後根據這j段長度，在地上釘三根樁釘，將繩索圍在周圍再拉緊，便形成一個邊長為3：4：5的三角形。他們發現邊長為3與4的兩邊形成一個直角，也就是90°。此外他們還發現，還有一些不同比例的邊長也能構成具有直角的j角形，只要三邊的長度符合一個特殊的條件。

想要得到一個直角三角形，關鍵在於最長邊的平方要等於另外兩邊平方的和，這就是我們熟知的「畢達哥拉斯定理」，簡稱「勾股定理」。

巴比倫人也同樣知曉這個關係。事實上，早在畢達哥拉斯之前一千多年，漢謨拉比在位之時，巴比倫人就已發展出超越埃及人許多的數學。

除幾何學外，他們還有更高明的數字表示法，以及一些基本代數的知識。他們不但知道「勾股定理」，甚至還列出一長串代表直角三角形的三邊比例，包括諸如「65：72：97」、「119：120：169」等一些令人難以置信的組合。

那麼，這個定理為何冠上後起之秀畢達哥拉斯的大名?

因為雖然埃及人與巴比倫人發現在先，但是他們似乎從未想到要證明這個事實的數學概念。畢達哥拉斯的大名會與這個定理連在一起，據說是因為他是最早提出如此證明的人，但是現在並沒有直接證據可以證明這件事，我們不知道畢達哥拉斯是否留下任何手稿，即使有的話，也沒有任何斷簡殘篇留存至今。最可能的情況是，「勾股定理」的第一個證明出自他的門徒，也就是「畢達哥拉斯學派」的學者，而這是下一個世紀的事。

歐氏定理

歐幾里得(約公元前330年～公元前260年)生於畢達哥拉斯之後二百多年，後來成為古希臘數學家中最有名的一位。在畢達哥拉斯與歐幾里得兩人的年代之間，幾何學沿著兩條並行線發展：其中一支專註於特殊圖形的研究，例如二角形、矩形以及由數個圓弧隔成的形狀：另外一支則致力於發展證明的方法與演繹推論的過程，導致產生出一些單靠直接觀察無法獲得的新發現。歐幾里得出場的時候，幾何學的知識已經累積到某種程度。

歐幾里得的生平隱藏在歷史的迷霧中，甚至比畢達哥拉斯更為模糊。我們現在能夠肯定的幾乎只有他生於公元前300年左右，曾在亞歷山大城居住與工作。然而，他與畢達哥拉斯最大的不同是，他的著作不但流傳至今，而且成了大多數現代科學的基礎，以及所有數學的典範。

使歐幾里得名垂千古的不朽著作，通稱為《原本》或《幾何原本》。

這是一套13冊的數學輯要，其中有5冊討論二維圖形的幾何學。3冊討論三維幾何學，其他各冊的內容則是別的數學問題。

歐幾里得的《原本》對西方世界造成深刻的衝擊。這套最初被視為數學及其他科學研究的工具與典範，後來漸漸演變成標準教育的基本環節——一個智識的工具，每位年輕學子都得與它奮戰一段時期，然後融會貫通、據為己有。

《原本》的魅力至少有以下四個不同的層面：

它給人一種確定感：在一個充滿非理性信仰與無常臆測的世界裡，《原本》中的敘述都是經過證明的真理，沒有一絲值得懷疑的地方、雖然歐幾里得所用的假設與推論，有一些曾被質疑了好多世紀，但令人驚訝的是，經過兩千多年，從未有人在《原本》中找到一個真正的「錯誤」。在此所謂的錯誤，指的是並非由給定的假設以邏輯推出的敘述。

它的方法具有強大的威力：從少數幾個明顯的假設出發，歐幾里得便導出一連串令人眼花繚亂的結果。

證明方法所展現的高妙才智：一本精彩的偵探小說之所以吸引人，仰仗的可說是同樣的才智。

幾何圖形的美感：《原本》前幾冊的推論對象是幾何圖形，它們本身就具有一種美的吸引力，這種美感與加諸其上的推論並沒有什麼關聯。

圓的魅力

在數學家研究的所有圖形當中，圓形具有一種獨特的魅力。如同歐氏幾何在科學上的地位，在後人描述世界與宇宙的各種關係中，圓形註定扮演著一個強而有力、功過參半的角色。

圓形的概念當初是如何進入人類思維的?在自然界中，人類見到真正圓形的機會少之又少。其中最為顯著的例子，無疑是每天出現的太陽——雖然陽光太強，令人無法逼視，只有在接近地平線或被薄雲輕霧遮掩時例外。就某些方面而言，滿月其實更令人敬畏。月球以28天為周期，從新月逐漸豐盈成一個完美的圓形。

另一個間接的例子則由觀星者所發現，那就是每晚星辰的軌跡，它們都循著圓弧跨越天空。這一點在北極星附近的星辰尤為明顯。

而在地球上，平靜水池中落下的最初幾滴雨，或是投入一塊鵝卵石，都會形成一組美麗的圓形漣漪。

一個人來到大海邊，或是航海時站在船尾眺望，則能見到地平線本身便是一個巨大的圓弧。

或許地平線呈現的圓弧，就是地表形狀的第一個線索。然而有關地表的形狀，第一個堅實的證據並非來自對地表本身的觀察，而是古人仰觀天象的兩個結果。雖然我們現在無法肯定，古代觀星者何時領悟到他們的觀察所蘊涵的意義，但公元前4世紀的亞里士多德(公元前384年～公元前322年)，在他的著作中已經提到兩者。

第一個觀察結果源自月食。月食的成因是：太陽、地球與月球在太空中排成一條直線，地球暫時將太陽射到月球的光線遮住。在月食的過程中，地球的陰影逐漸掠過月球表面，而這個陰影顯然是個圓形。

第二個證據較為迂迴曲折，不過更具說服力，它基於從許多緯度不同的地點觀測天空的結果。古人很早就知道，如果一直朝南走，熟悉的北方天空星座會漸漸下沉，而南方天空的星座則會上升。除此之外，還會有些在高緯度地區見不到的新星座逐漸出現在地平線附近。一個人向南走得愈遠，這些新的星座就升得愈高，而他見到的新星座也就愈多。

終於有一天，人們恍然大悟：如果地表是球形的，這種變化就是理所當然的事。所以說，早在兩千多年前，平坦地表的想法就和觀察事實不符合，因此不得不被揚棄。

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