對高程基準統一方法的幾點評述

來源：《測繪科學》2012年9月/37卷第5期

作者：尹雪英

【摘要】高程基準是高程測定的依據，由於一些客觀原因的存在，目前定義的高程基準只具有局部性特徵，而不是全球統一的高程基準。本文針對目前高程基準不統一的現狀，分析了現有高程基準統一的幾種方法，對其原理進行系統闡述，同時進行了詳細評價，指出幾種方法的優劣以及適用範圍，以期為實際應用提供參考。

【關鍵詞】物理大地測量; 高程基準; 重力位差

1、 引言

高程基準是高程測定的依據，長期以來人們一直把平均海水面作為高程起算面。這個高程起算面的確定一般是由一個或多個長期驗潮站在一定時期內的觀測數據通過某種形式的平均得到的。但由於海面地形的客觀存在，並且各個國家的驗潮站位置不同，觀測時間不同以及數據處理方式不同等原因，這樣由一個或多個驗潮站確定的高程基準其實是一種局部高程基準，這使得許多國家或地區的高程基準面存在差異，就海面地形這一項的影響而言，這種差異在全球範圍內最大可達2m 之多[1]。因此如何建立全球統一高程基準，確定局部高程基準與全球高程基準之間、局部高程基準之間的系統差，是世界各國大地測量學界共同努力的目標。

目前，區域與全球高程基準統一的常用方法有: ①水準測量法[2]; ②利用海面地形方法[3]; ③基於大地邊值問題方法[4-6]; ④基於GPS、水準數據以及重力場模型的方法[7-9]。另外，我們利用GPS 數據和重力數據不受局部高程基準限制特點，研製了基於GPS /重力邊值問題的全球高程基準統一方法，該方法在文獻[10] 有詳細描述。在本文中，我們主要對以上四種方法進行較為詳細的描述和分析，指出各種方法優點和不足，給實際應用提供參考。

2、 高程基準統一方法

2. 1 水準測量法

水準測量是通過水準測量加重力測量直接聯測兩個高程基準之間的重力位差，同時可以求得兩個高程基準之間的垂直偏差。其原理為: 對於不同的高程基準點P、Q 重力位差可以表示為

式中，CPA、CQA分別表示高程基準點P、Q 與點A 之間的位差A 為地球上任意一點，g 為水準儀測站上的重力，δn 表示測站水準測量高差。以上即為通過水準測量加重力測量可以確定兩個不同高程基準之間位差的原理。

2. 2 基於海面地形模型方法

基於海面地形模型方法是利用海面地形模型來確定高程基準之間的位差或垂直偏差。如圖1 所示，我們知道利用衛星地面跟蹤站觀測數據可以確定衛星軌道及衛星位置，這樣就可以確定出衛星到參考橢球面的垂直距離h( 點A 到點O 的距離) ，同時，利用衛星測高數據可以確定出衛星到海平面的距離S( 點A 到點P 的距離) ，兩者相減則得到海平面到橢球面之間的距離( PO 之間的距離) 。如果再選擇一個已知的全球重力場模型作為海洋大地水準面，那麼海面地形ζs可表示為距離( h - S) 和海洋大地水準面之差，即

利用以上方法，可以求得海洋上的海面地形。取陸地上的海面地形為零，並將全球海面地形展開成球諧函數的形式，用一個數學模型來描述，就構成了海面地形模型，其球諧函數表達式為:

式中，n、m 分別表示階次，和分別表示規格化的球諧係數和締合球諧係數，其具體表達式見參考文獻[3]。利用式( 3) 建立的海面地形模型，我們可以直接確定不同驗潮站之間的重力位差或垂直偏差。

圖1 衛星測高原理示意圖

2. 3 基於大地邊值問題方法

利用大地邊值問題來確定高程基準之間的位差或垂直偏差。Nahavandchi 和Sjoberg 利用第三邊值問題和驗潮站的地心坐標和大地水準面高以及局部高程基準上的高程值，推導了統一相鄰高程基準的更嚴密的數學模型，其原理為如圖2 所示[4]，Pi表示某個局部高程基準，P 表示全球高程基準，Ci0表示局部高程基準和全球高程基準之間的位差，γ 為正常重力，ΔW為全球高程基準面上的重力位與參考橢球面上的重力位之差，可以簡單的表示為:

圖2 高程基準之間關係示意圖

從圖2 可以得到，只要知道Ci0和ΔW就可以求得局部高程基準的重力位。如果任意引入一個參考橢球作為橢球正常重力位值U，那麼全球高程基準點的正常重力位值可以表示為:

在此，N 表示大地水準面高. 從公式( 5) ，可得到以下公式:

式中，yk為垂直校正量，Jki和Jkj分別表示以不同基準觀測站為中心的i 區域和j 區域的Stokes 積分。有關該方法更為詳細的公式證明可參看文獻[5]。

2. 4 基於GPS/水準數據以及重力場模型的方法

利用GPS 水準數據和地球重力場模型確定高程基準垂直偏差的方法是Bursa 等人提出的[7-9]，根據正常高系統的定義，如果我們知道地球表面任意點M 的正常高，則M 的位可以通過計算得到。假設M 和N 分別為地球表面和似地球表面上的點，並且處在同一投影線上。那麼N 點的正常位UN應該等於地面點M 的實際重力位WM，而M 點與N點之間的距離被稱為高程異常。在此設W為全球高程基準位值，W0i為局部高程基準的位值，那麼我們可以分別將高程H 表示為:

式中，H表示相對於全球高程基準的正常高，而H0i表示相對於局部高程基準的正常高。事實上，式( 7) 和式( 8) 中的正常重力並不相等，但相差很小，在毫米計精度下可以認為近似相等。那麼有

一般來說，利用參考橢球面的位值來代替全球高程基準的位值具有很大的誤差，但是我們可將等式δW0i=W0i-W用以下式子來代替:

式中，UN為可以通過橢球參數以及高程計算，(WM)EGM可以通過精確的GPS 三維坐標以及重力場模型計算，例如EGM96 重力場模型，將UN和(WM)EGM分別減去W，式( 10) 則變為:

如果GPS /水準點覆蓋範圍足夠的大，那麼可以認為

如果我們知道兩個局部高程基準( 分別為i 和j) 與全球高程基準之間的差異，那麼可以利用公式計算兩個局部高程基準的差異，即:

而相應的垂直偏差可表示為:

從上面的公式可以看出，如果僅是求解兩個高程基準之間的差異，我們並不需要知道真實的W。

3 、幾種方法的適用性分析

3. 1 水準測量法

我們知道，利用水準測量方法測量兩個區域高程基準的位差或垂直偏差有兩種方式: 一是直接進行水準和重力聯測; 二是兩個區域的高程基準都聯測到同一個點，通過公用點計算得到高程基準差，其原理為

其中，WP、WQ分別表示高程基準點P、Q 的重力位。如果我們可以分別得到CPA、CQA的值，那麼高程基準P、Q的位差ΔWPQ可表示為:

上式就是確定不同高程基準之間位差的位理論基礎。而在實際中，我們通過水準測量加重力測量能得出這個物理量。

總體上，這種方法比較簡單，是目前公認測量精度最高的方法，並且水準測量法也成為大部分國家和地區建立高程式控制制網的主要手段。但該方法的不足之處在於，由於海洋和水域的大面積存在，以及在高山等水準測量不易到達區域，在許多地方不能進行水準聯測，同時水準測量隨水準路線長度增加的誤差積累會加大，從而使得該方法具有很大的局限性。

3. 2 基於海面地形模型的方法

基於海面地形方法是根據衛星測高數據測得海面高( 即指海平面到選定的參考橢球面的垂直距離) ，然後利用已知的大地水準面( 一般由重力場模型計算得到) 求得海面地形模型。只要我們知道高程基準點的位置，就可以利用海面地形模型計算出此點的海面地形，從而得到該高程基準點相對於全球大地水準面( 由重力場模型定義) 的系統差。

從基於海面地形模型方法確定兩個高程基準之間的位差或垂直偏差基本原理可以得到:

①該方法只適用於兩個臨海高程基準之間的傳遞，陸地部分則需要其他方法進行;

②該方法嚴重依賴海面高模型和大地水準面模型，因此兩個模型的精度直接影響到結果精度。同時，海面地形模型在寬闊的海域有較高的精度，目前最好精度優於5cm，而在海岸帶區域，由於衛星測高精度無法保證，然而需要傳遞的高程基準一般是通過海岸帶建立驗潮站觀測來確定區域高程基準，因此利用基於海面地形模型方法確定兩個高程基準差精度較低。

3. 3 基於大地邊值問題方法

早在1980 年Colombo 就提出了利用大地邊值問題來解決全球高程基準統一的想法，後來經Rummel、Teunissen 和Heck 等人進一步發展成為利用改化的Stokes 積分公式計算不同基準之間的位差理論[4-6]。本文所評述的方法在理論上是嚴密性，它以驗潮站為中心通過Stokes 積分計算垂直校正量，實現兩個相鄰區域的高程基準統一。該方法已經瑞典高程系統與芬蘭高程系統的系統差計算，並經過與水準聯測結果結果進行了比對，兩者計算結果基本相符[11]。

該方法的不足之處在於:

①在利用Stokes 公式進行積分時，需要用到重力異常這個物理量，帶入了局部高程基準的概念，對於兩個高程基準差較大的區域可能引入較大誤差;

②該方法只在相鄰兩個不同高程基準的區域進行了驗證，而對於相鄰較遠的區域可能存在誤差較大，因此還需要進一步驗證其精度。

3. 4 基於GPS/水準數據以及重力場模型的方法

從該方法的原理可以看出，利用地球重力場模型作為一個全球參考場，這種替代本身就存在巨大的誤差，因此將地球重力場模型代替全球基準具有一定的不合理性，但隨著重力衛星的發射和衛星重力場模型的推出，反倒是這種代替顯得越來越合理。同時該方法的一個重要假設是在足夠的大的區域範圍內重力場模型平均偏差為零，因此在計算中需要分布合理且範圍很大的GPS /水準數據才有可能得到較好的效果。事實上，在重力場模型計算中，由於數據收集於全球不同區域，數據本身存在基準不一致問題，同時模型本身的精度和解析度受到限制，使得最終結果具有不確定性。

4 、結束語

本文對4 種確定區域和全球高程基準差的方法進行了原理性的描述，同時進行了優劣分析，得出了以下幾點結論:

1) 水準測量法是通過水準測量加重力測量直接聯測兩個高程基準之間的重力位差。該方法原理簡單，在傳遞路線不長的情況下具有很高的精度。但是水準測量對通視的要求及在一些特殊區域( 跨山、跨水以及觀測條件惡劣的地區) 卻制約了其使用範圍。

2) 海面地形方法主要是通過利用衛星測高數據構建的海面地形模型來計算不同高程基準之間的重力位差。由於在海岸線附近利用衛星測高數據確定的海面地形模型精度較低，在驗潮站附近的海面地形模型誤差較大，因而無法滿足目前精度要求。

3) 基於大地邊值問題方法理論上較為嚴密。已有的結果證明，利用該方法計算相鄰區域的高程基準差與水準測量結果符合性較好[4]。但在計算相隔距離較遠的高程基準之間位差時，Stokes 積分只能利用一定區域範圍內的重力異常數據( 同一高程基準的數據) ，不能很好地顧及遠區影響，因此結果精度無法保證。

4) 基於GPS /水準數據以及重力場模型的方法要求參考重力場模型具有較高的精度，尤其是在計算的大區域範圍內不能存在系統偏差，否則將產生錯誤。需要特別指出，該方法不適合小區域範圍內的高程基準系統差計算[11]。

參考文獻

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[11] Nahavandchi H，Sjoberg L E. Unification of vertical datums by GPS and gravimetric geoid models using modified Stokes formula [J]. Marine Geodesy， 1998， 21.

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