《費馬大定理》之畢達哥拉斯

[英] 西蒙?辛格 著

費馬大定理 -- 一個困惑了世間智者358年的謎

房間並不擁擠，但大得足以在盛大的慶祝活動時容下整個普林斯頓大學數學系，在那個特殊的下午，那裡並沒有非常多的人，不過也使我無法斷定哪一位是安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）。片刻之後，我看準了一位看上去有點靦腆的男士，他正在聽著周圍人談話，小口地抿著茶，沉浸在世界各地的數學家們大約每天下午4點都舉行的例行聚會中。

雖然懷爾斯的證明中涉及的是當今最艱難的數學，但是費馬大定理的美卻在於這樣的事實：這個問題的本身特別簡單易懂，它是一個用每個中學生都熟悉的話來表達的謎。捉弄人的是，費馬還給後人留下了一個註記，暗示他已有了一個解答，不過沒有寫出這個解答。這場延續了三個世紀的追逐就是這樣開始的。

這麼長的時間跨度為這個難題的重要性奠定了基礎。在任何學科中，很難想像有什麼問題表達起來如此簡單清晰卻能夠這麼長時間地在先進知識的進攻面前屹立不動。想一下自17世紀以來對物理學、化學、生物學、醫學和工程學的了解已經出現了多麼大的飛躍。我們在醫學上已經從「體液」進展到基因切片，我們已經識別出許多基本粒子，我們已經把人送上了月球，可是在數論中費馬大定理仍然未被證明。

對安德魯·懷爾斯來說，這是一個非常特殊的智力題，是他一生的抱負。30年前，當他還是個小孩，在圖書館的一本書上碰巧發現了費馬大定理時，他就被這個問題吸引住了。他童年時代和成年時期的夢想就是解決這個問題。在他於1993年的那個夏天第一次宣布他的證明時，他在這個問題上的長達7年的全身心投入，以及難以想像的高度集中的精力和堅強決心終於有了結果。

在寫這本書時，我選擇了主要按年代順序的結構方式，從敘述畢達哥拉斯兄弟會的大變革時代開始，以安德魯·懷爾斯的為尋求費馬難題的解答的個人奮鬥經歷結束。對於我來說，這是一次絕無僅有的機會親耳聆聽了一次最不平凡的20世紀知識之旅。

1993年6月23日，劍橋

這是本世紀最重要的一次數學講座。兩百名數學家驚呆了，他們之中只有四分之一的人懂得黑板上密密麻麻的代數式所表達的意思，其餘的人來這兒純粹是為了見證也許會成為一個真正具有歷史意義的時刻。

講演者是安德魯·懷爾斯，一個緘默寡言的英國人。他在20世紀80年代移民到美國，在普林斯頓大學任教授。在普林斯頓，他享有很好的聲譽，被認為是他這一代人中最天才的數學家之一。然而，近幾年來，他幾乎從每年舉行的各種數學會議和研討會中消失了，他將最近的7年光陰十分保密地花在研究工作中，試圖解決這獨一無二的最偉大的數學問題。

《大問題》

在1963年，當時10歲的安德魯·懷爾斯已經著迷於數學了。

一天，當他從學校漫步回家時，小懷爾斯決定到彌爾頓路上的圖書館去。這裡的圖書藏有大量智力測驗的書籍，正是這些書籍常常引起安德魯的注意。這些書中含有各種難解的科學難題和數學之謎，這一次安德魯被一本書吸引住了，這本書只有一個問題而沒有解答。

這本書就是埃里克·坦普爾·貝爾寫的《大問題》，它敘述了一個數學問題的歷史，偉大的法國數學家皮埃爾·德·費馬於無意之中使它成了此後歲月中的一個挑戰性問題。費馬遺留下來的這個難題使一個又一個大數學家望而生畏，長達300多年還沒有人能解決它。在與第一次讀貝爾的描寫相距30年之後的今天，懷爾斯告訴我他在被引向費馬大定理的那個時刻的感受：「它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數學家都未能解決它。這裡正擺著一個我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它。我必須解決它。」

這個問題看上去如此簡易，因為它立足於人人都能記住的一段數學術語——畢達哥拉斯定理：在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和。

儘管它確實能被10歲的孩子所理解，畢達哥拉斯的創造卻啟示了一個問題，這個問題曾經挫敗了歷來最偉大的數學智者們。

畢達哥拉斯

生活在公元前6世紀的畢達哥拉斯是數學史上最具影響但又是最神秘的人物之一。由於沒有關於他的生活和工作的第一手資料，他被籠罩在神秘和傳說之中，使得歷史學家們難以分清事實與虛構。似乎可以肯定的一件事是畢達哥拉斯發展了關於數字的邏輯的思想，並且對數學發展的第一個黃金時期功不可沒。

畢達哥拉斯的數學技能得益於他走遍了整個古代世界。某些傳說使我們相信他的足跡曾遠及印度和英國，但更為可靠的是他從埃及人和巴比倫人那裡學到了許多數學技能和工具。

經歷20年的周遊後，畢達哥拉斯已經吸收了他所知的那個世界中所有的數學法則。他揚帆起航回到他的家鄉愛琴海中的薩摩斯島，打算建立一所學校致力於哲學研究，特別是研究他新近獲得的一些數學法則。

畢達哥拉斯在義大利南部幸運地得到了米洛的贊助，米洛是克羅敦最富有的人，也是歷史上最強壯的人之一。米洛有著大力神赫丘利般的身材，曾經是奧林匹亞競技會和皮托競技會有12次記錄的冠軍。除了運動外，米洛還喜歡研究哲學和數學。他留出他家的一部分房子，供畢達哥拉斯來建立學校。於是，最有創造性的頭腦和最有力量的身軀結成了夥伴關係。

安置好他的新家後，畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯兄弟會——一個有600名追隨者的幫會，這些人不僅有能力理解他的課程，而且還能補充某些新的想法和證明。一旦參加兄弟會後，每個成員就必須將他們塵世間的一切財產捐獻給公共基金。任何成員如果離開該會，那麼他們可收到相當於他們最初捐獻的兩倍的財產，並為他們豎立一塊墓碑以志紀念。

可以確認的是畢達哥拉斯締造了一種社會精神，它改變了數學的進程。兄弟會實際上是一個宗教性社團組織。他們崇拜的偶像之一是數，他們相信，通過了解數與數之間的關係，他們能夠揭示宇宙的神聖的秘密，使他們自己更接近神。

畢達哥拉斯首次發現了支配物理現象的數學法則，顯示了數學與其他科學之間有著根本的關聯。從這個發現以後，科學家們一直在探究那些似乎支配著各個物理過程的數學法則，並且發現數會意外地出現在各種各樣的自然現象中。例如，一個特殊的數似乎操縱著彎彎曲曲的河流的長度。劍橋大學的地球科學家漢斯-亨利克·斯多勒姆教授計算了從河源頭到河出口之間河流的實際長度與它們的直接距離之比。雖然這一比率因不同的河流而變化，但是它們的平均值只比3略微大一點，事實上，這個比近似等於3.14。

畢達哥拉斯意識到從音樂的和聲到行星的軌道，一切事物中皆藏有數。這導致他宣布「凡物皆數」。通過探究數學的內涵，畢達哥拉斯發展著使他和其他人能描述宇宙性質的這種語言。此後，數學上的每一次突破都會給科學家們帶來為了更好地解釋他們周圍的現象而需要的辭彙。事實上，數學的進展會喚起科學的革命。

在畢達哥拉斯兄弟會研究的數與自然之間的所有關係之中，最重要的是以他們的奠基者的名字命名的那個關係：在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和。

雖然中國人和巴比倫人實際上使用這個定理還要早1000年，然而，這些文明並不知道這個定理對一切直角三角形都是對的。對於他們測試的三角形而言，它肯定是對的，但是他們無法證明它對於他們尚未測試的所有直角三角形都是對的。這個定理歸屬於畢達哥拉斯的理由是他第一個證明了它的普遍正確。

畢達哥拉斯的這個證明是如此重要，以致人們用一百頭公牛作為祭品來表示對諸神的感恩。這個發現是數學史上的一個里程碑和文明史上最重要的突破之一。

畢達哥拉斯之死

畢達哥拉斯兄弟會採用證明的方法積極地尋求真理，使得數學活躍起來。他們成功的消息廣為流傳，但與他們的發現有關的詳情卻依然是一個嚴守的秘密。許多人請求進入這個神秘的知識聖殿，但是只有最傑出的智者才被接納。被拒絕的人中有一個名叫西隆的人。西隆對自己被丟臉地拒絕這事一直耿耿於懷，20年後他進行了報復。

公元前510年，在鄰近的錫巴里斯城發生了一次反叛。勝利的反叛領導者特里斯對前政權的支持者開展了野蠻的迫害，驅使許多人到了克羅敦城中的這個聖所。特里斯要求將這些叛逃者送回錫巴里斯，但是米洛和畢達哥拉斯說服克羅敦的居民起來抵抗僭主和保護難民。特里斯大發雷霆，立即聚集了一支30萬人的軍隊進軍克羅敦。在克羅敦，米洛領導10萬武裝的市民保衛城市。經過70天的戰爭，米洛卓越的指揮才能使他取得了勝利。

儘管戰爭結束了，然而由於人們對應該如何處理戰利品的爭論，克羅敦城內依然動蕩不安。出於對會把土地交給畢達哥拉斯的精英們的擔憂，克羅敦的民眾開始抱怨起來。因為保密的兄弟會繼續隱瞞他們的發現，民眾中已經有日益增長的不滿情緒，西隆抓住下層民眾畏懼、妄想和嫉妒的心理，誘使他們去毀滅這個當時世界上最輝煌的數學學派。米洛的家和毗鄰的學校被包圍起來，所有的門都被鎖上，然後燃燒開始。米洛從這個地獄中殺出一條血路逃了出去，但畢達哥拉斯和他的許多信徒被殺死了。

安德魯·懷爾斯

一個10歲的男孩坐在彌爾頓路圖書館中，凝視著這個數學中難得出奇的問題。通常，數學問題中一半的困難在於理解這問題本身，但是現在的情形是簡單的——證明x^n+y^n=z^n，當n＞2時沒有整數解。

30年後，安德魯·懷爾斯已經準備好了。站在牛頓研究所的演講廳里，他在黑板上飛快地寫著，然後，努力剋制住自己的喜悅，凝視著他的聽眾。演講正在達到它的高潮，而聽眾也明白這一點。他們之中有幾個人事先已將照相機帶進了演講廳，閃光燈頻頻亮起，記錄下了他最後的論述。

手中拿著粉筆，他最後一次轉向黑板。這最後的幾行邏輯演繹完成了證明。300多年來第一次，費馬的挑戰被征服了。更多的相機閃爍著拍下了這個歷史性的時刻。懷爾斯寫上了費馬大定理的結論，轉向聽眾，平和地說道：「我想我就在這裡結束。」

兩百多位數學家鼓起掌來，歡慶著。然而，正當牛頓研究所里洋溢著興奮自得之情時，災難卻在襲來。懷爾斯沉浸在喜悅之中，他和房間里的其他人都沒意識到可怕的事正在來臨......

（待續）

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