無法理解高等數學怎麼辦？看看認真的人是怎樣學的

高中數學很好

高等數學卻理解不了

有多少人高中的時候，不用怎麼學，數學成就都很好，然而，到了大學之後，遇到高數之後，卻感覺腦袋瓦特了。。。

今天，超模君就來看看知乎用戶@王沖的分享，跟大家來探討一下怎麼學習高數。

先不談方法。大家總是在談方法，我自己也總是喜歡談方法。但是其實最殘酷的回答就是：功夫沒下夠。

大學數學比中學數學難，所以需要更多時間。如果生活中沒有什麼驅動，很容易就功夫沒下夠，從而感到難以理解。

但是那些有足夠需求驅動的朋友，很自然的不斷的下功夫，不斷的學、不斷的想、不斷的用，直到像呼吸一樣簡單，肯定就會覺得概念很自然了。

「得一善，則拳拳服膺而弗失之矣。」

方法總是能不斷改進，但是手頭有什麼條件就用什麼條件，不能說方法不完美就不往前走了，這才是正派武學的練法。一定要吃苦的。

然後說方法。所謂學習的方法，就是幾個選擇的權衡：

1. 到底學到什麼程度算學會了。

前幾天在知乎看到一個答案，說學數學有兩個誤區。一個是已經學會了，然後不繼續往後學，總在現在的思想上，拚命翻新技巧。另一個是學得不紮實，意味著想要往後學。前者常見於中學教育，後者常見於大學之上的教育。

2. 理解還是背誦。

定理到底要一路追根究底到可以稱為公理的東西，還是記住就好。如果我討厭死記硬背，到底要不要記憶呢？

3. 看書重要還是做題重要。

那麼到底怎麼選呢？一個基本原則是走極端一定是錯的。像我第一次的回答，就過於強調理解和看書，忽略了做題和背誦，說的不客氣就是嘩眾取寵。所以我越想越不舒服。後來補上的答案，強調另一端，看似平衡了。但沒有把背後的道理說透。

什麼是背後的道理？只有兩條。1、別走極端。2、小馬過河，實事求是。不斷的做，從現實中得到反饋，再改。

如果目標是通過考試，那麼，學到能通過就算學會了。如果不會做題，自己想想是忘了基本的定理，還是不會靈活運用。如果是忘了基礎，按照自己的性格，想理解就理解，想硬記就硬記。理解不管用就硬記，硬記不管用就理解。如果是不會靈活運用，那就說明題目做的少或者做了題沒有總結。

如此而已。結合自己的性格、優勢和最終的目標，怎麼能哄著自己把功夫下夠了，才是正理。

我下面寫的所有東西，都是說，在學習的過程中，除了抓住細節之外，要多想多看，建立大圖景，把要學的東西和自己的知識體系掛上鉤。這樣才能知道為什麼要學，學習的過程也會有趣一點。

但是請不要覺得能看到大圖景，就可以不用在乎細節了。不要覺得會吹牛，就不用做題了。這是因為我們的目標是學以致用，不是吹牛。同時，真正做夠了題，你才能確保你看到的大圖景是對的，而不是腦補。我說重一點，不做題，那就是民科！

什麼叫做掌握？對於大學生來說，學習一門課，如果不能嚴格遵循公式和定理，寫滿一張A4紙的推導過程，就不算掌握。

怎麼做到這種程度？認真的做題、認真的摳細節，必要的時候死記硬背，投入大量時間。這些該做的苦工，一樣都少不了。

----------原回答分隔線----------

我不是數學專業的，只是一個像matrix67那樣的數學愛好者。意見僅供參考。

理解的意義

很多同學談到不用理解，我這裡想介紹一種相反的方法，打樁法（徹底理解法）。

我的記憶力很差，記不住任何不能理解的東西。所以，我一直堅持徹底理解。成果大概是：大學裡面的一門數學課，在我腦子裡差不多就是半頁紙的概念。沒有刻意去背，但是怎麼也忘不掉。帶著這半頁紙，基本上可以把書重新寫出來。同時，對於這些概念，我不是記住，而是有感情。

真的有感情，因為數學從來不無聊。以線性代數為例。我看到了一個蔚為壯觀的模式。

首先，從物理的角度，這個世界上充滿了線性變換、線性關係。微分是線性變換，這就是為什麼線性代數可以用來解微分方程組。幾何操作經常是線性變換，這就是為什麼3d圖形學經常用線性代數。物理中經常有線性關係，如牛頓定理、胡克定理、電阻上電壓與電流的關係。

為什麼到處都是線性關係？因為物理中大量的概念都是可以疊加的，如電流、電壓、重量、壓力，兩股電流輸入，一股電流輸出，則輸出為輸入之和。而為什麼物理概念可以疊加？其本質是守恆性。

為什麼經常有比例關係？這個我沒有好的答案，我只是虔誠的信仰這個世界是簡單的，因為簡單，所以美。

其次，從使用的角度，只要你發現筆下的公式中包含了向量的線性組合、線性方程組、坐標變換、線性變換，不管它們是怎麼來的，有沒有物理意義你都可以迅速鏈接到線性代數這個強大的工具箱，大量使用矩陣、行列式、秩、特徵向量等概念。

最後，你使用線性代數的理論刷刷刷的往後推，得到一個結果。然後你往往可以享受最美妙的部分：理解結果的幾何意義。這是因為線性代數鏈接上了幾何。

什麼是理解

所謂理解一個概念，就是把這個概念和已有概念建立聯繫。你對已有概念越熟悉，這個聯繫越強，你就會覺得自己越理解。

樓主談到中學的每個概念在腦子裡都能畫出來。這是一種最直觀的理解，即把概念和生活體驗建立關係。能在中學時代做到這點的同學，基本上都是好學生了。

高等數學的麻煩在於：已有概念不是生活體驗，而是另外一些數學概念。概念間的聯繫不是視覺聯繫，而是邏輯聯繫。所以，如果不能正確理解基礎數學概念，後續概念也就沒法理解了。同時，如果不牢牢地把握住邏輯，企圖用直觀來把握，就會覺得，書上說什麼就是什麼，我就記住把。反正我不理解。

（我不是說直覺不重要，你可以從直覺出發，把這個直覺落實到嚴格證明，或者先看懂了嚴格證明，再反向去感覺直覺是什麼。隨著數學學習的深入，更多的直覺是來自於這後一條路。無論如何，如果忽略證明，只關心直覺，腦子就會亂成一鍋粥）。

我們現在以歐拉公式為例。

首先，我們通過對實數域函數的分析，得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒級數形式。

然後，我們通過對複數域的分析，得出了i^2 = -1。

然後，我們假設泰勒級數公式在複數域也成立。

e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)

由於cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....

所以e^(iy) = (cosy+isiny)

這個證明是不嚴格的，真正嚴格的證明方法需要重新定義複數域上的cosz和sinz函數。但是這個證明充分說明了什麼叫數學意義上的理解，那就是一點直覺+一點證明。

在複數域上最初我們只定義了加法和乘法。我們從直覺上甚至沒法想像e^(iy)是什麼，但是，既然大家都是數，我們直覺上認為（或者從美學的角度認為），如果實數域上的泰勒公式在複數域上也成立，那是很漂亮的。基於這個直覺，加上一點點證明，我們就知道怎麼定義e^(iy)了。

數學家們也是這樣定義出高維空間中的超平面的，他們覺得超平面這樣定義是美的，且與現有的平面性質吻合。不使用邏輯推導，我們根本看不到超平面。

打樁法

在介紹歐拉公式的證明的時候，我們其實已經初窺打樁法的門徑了。也就是，想要理解未知概念（歐拉公式），首先找到自己認同的已知概念（實數域中的泰勒級數），然後建立兩者間的聯繫。

現在我系統的介紹一下怎麼用打樁法來學習。

一本書來了，找到你最有感覺的概念，學習之，即打下一棵樁。不一定非要按順序讀書。採取幾個行動：看目錄，找有感覺的樁。或者隨機的翻開一頁，讀完，然後問自己這一大段到底想講什麼。既然作者不是笨蛋，他一定想講些東西。打下幾根樁後，你還可以問自己，我現在讀的東西和現有的幾根樁有什麼關係？

打樁沒有任何約束。一本書上看什麼都行，有圖畫就看看圖畫，有題目就看看題目。這都行。但凡能幫助你打樁產生感情的內容都可以讀。

但是樁打到一定程度，腦子裡攢了一堆亂七八糟的直覺後，基本上整本書到處都是樁，到處都是你的卧底。這時候你就可以追逐嚴密性了。看清楚概念。然後看定理，其實概念的樁打牢了，大部分定理都能夠自己證明出來。慢慢的就把這本書給啃了。

為什麼非要自己搞懂定理的證明？因為有的時候你以為你看懂了定理，但是你根本沒看懂。逼著自己證明，你才會知道這個定理到底在講什麼。

還有一個原因是：定理講的是概念之間的聯繫，可以幫你複習概念的定義。同時如果你看不懂一個定理的證明，很可能是你對概念的內涵沒有理清楚。很多時候概念的定義就那麼幾個字，但真是意味深遠，一字不可更易。定理得證明不用背，你真的看懂了，就會發現好幾個定理的證明其實是同一個技巧，而你自己會不知不覺地把技巧上升為一個概念。你根本就忘不掉這個概念。如果一個技巧只在一處用到，那說明它根本就不重要，乾脆忘掉好了。

一定要反覆理清概念、定理之間的聯繫。讀書的時候，很多概念、定理第一眼看過去覺得這不是顯而易見的嗎，然後就跳過去了。下一次又看到的時候，因為對於整本書的理解加深了，再看一遍，真有「於無聲處聽驚雷」的感覺，往往不起眼的一句話，串起好幾個零散的概念。

當然，有些內容如果一直到最後都孤零零的，和別的概念沒什麼關係，那很可能是這本書的重點不在這裡，所以在這邊的討論很薄弱。乾脆放棄也沒關係。

以我自己學習線性代數的過程為例，解釋一下打樁法的心理變化：

一、第一遍學的時候，我問自己「線性代數到底在鬼扯什麼」？我回答不了。但是聽說線性代數和解析幾何有關係。我就去學了一本解析幾何。有一半內容是中學已經學過的，所以還學得下去。學完了之後，發現書上好幾處用到行列式，我就把行列式學了。

二、解析幾何講坐標變換的時候，會講過渡矩陣和矩陣乘法，所以我把線性代數的這兩部分也學了。順便理解了方陣可逆等價於對應的行列式不等於0。因為基於「行列式」和「矩陣」這兩個概念，我能夠理解「可逆」這個概念。矩陣的初等變換、秩什麼的我不理解，所以算了。

三、研究線性方程組。高斯消元法和中學學過的解方程很想，所以學了。然後我突然意識到高斯消元法就是矩陣的初等變換，也還是行列式的初等變換，所以基於「高斯消元法」和「行列式的初等變換」這兩個我有感情的概念，把矩陣初等變換給學了。

四、高斯消元法得出係數矩陣A的秩等於n的時候，線性方程組只有非零解。我對於線性方程組的求解還是有興趣的，因為經常用到。既然有這麼個定理，逼上梁山，把秩給學了吧。真學起來，才發現秩的性質是基於行列式這個我有感情的概念定義的，我自己認為秩其實就是行列式=0這個概念的一個推廣。所以學起來輕鬆愉快。

五、接下來是用向量空間的概念定義線性方程組的解結構。這個我以前覺得是吃飽了撐的，既然已經有了高斯消元法，問題都解決了，你還多此一舉幹什麼。可是我學了解析幾何啊，我現在知道向量空間就是空間、平面、支線這些概念了。所以我就覺得向量空間這個概念很酷阿。

六、說句老實話，我覺得向量空間和向量組沒有什麼區別阿，光看定義根本不覺得封閉性是個多麼了不起的概念。可是讀完了線性方程組的解結構才知道，如果線性方程組的解結構不是一個向量空間，而是一個到處漏風的向量組，那麼解結構就不能表達成向量的線性組合，一點都不漂亮。這就是為什麼讀定理真的可以加深對概念的理解，概念裡面就是「封閉性」這三個字，到定理裡面用起來才知道它其實是屠龍刀。

七、我原來一直覺得「線性空間」和「向量空間」這兩項內容簡直是同義反覆。我就問自己，為什麼作者非要寫兩遍。後來結合解析幾何，才意識到幾何空間就是一個線性空間，幾何空間坐標化了之後才是向量空間。而且學完線性代數後，重新去看解析幾何的定理，簡直煥然一新。當年辛辛苦苦證明的定理，現在就是一句話「我們一般理解的幾何空間就是一個三維線性空間。」感覺爽透了。

八、在學線性空間之前，我一直喜歡做標量運算，喜歡把矩陣拆成元素來玩。因為我對於矩陣的理解還是停留在線性方程組裡面的一個個係數。但是線性運算等於矩陣這個定理一出來，我徹底的被震撼了。矩陣不是一個一個的元素，它就是它自己：線性運算。矩陣的意義，就是我們有了超能力，過去我們只能看一個個標量，現在我們可以把這一堆標量構成的矩陣看成一個整體，作為一個獨立的單元來操作。然後就有了矩陣的相似對角化、正交對角化、SVD分解之類的東西。好吧，這幾個東西就是我書上的最後兩章，我一口氣讀完了。

上面說的是一個極簡版的歷程，真實的心理歷程，是幾百個「為什麼」、「胡扯」、「跳過去」、「這幾個東西有什麼關係」這樣的問題串起來的，可是這樣讀完這本書後，所有的概念都活了，我看世界的眼光徹底變了。

打樁法的其他用途

其實打樁法不只可以用於數學，也可以用於任何書籍，包括文科類書籍和小說。讀文科的書籍，經常讀完了，只有一些印象深刻的地方留了下來。什麼地方深刻？聳人聽聞的地方深刻，符合自己原有觀念的地方深刻。這樣讀還不如不讀。因為你只是不斷的在強化自己，或者記住一些聳人聽聞（往往不對）的八卦。你的思想高度還是停留在原地。

如果用打樁法追求徹底理解，讀完之後，你就會知道：這本書的脈絡是什麼。可以怎麼應用於生活中。哪些地方與我的生活體驗一致，哪些地方相違背。哪裡有邏輯，哪裡沒有邏輯。

讀完一本書，你的思想就直接被提升到接近作者的高度，這才是讀書。

此外，打樁法其實也是一個解題方法。我們解數學題的時候，這裡試一下，不行，就換一種方法再試。最後的方法，往往是之前幾個不成功的方法（樁）的組合。人生也是如此。理解人生沒有捷徑。做自己熱愛的事情，認真地去做，有一天，你會發現Dots will be connected。那時候你才恍然大悟：哦，原來這就是我的人生。我的人生不是第一個點，也不是第二個點，而是所有這些連接起來的點。

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