為什麼要用離軸拋物面鏡聚焦

理想的光學聚焦元件應該像下圖所示的那樣，將一個平面波變換成球面波，並把波前上各部分的能量都同時聚集到球面波的球心，焦點的大小由衍射極限決定。常用的聚焦元件有單透鏡、菲涅爾透鏡、雙膠合透鏡、球面反射鏡、拋物面鏡和離軸拋物面鏡（OAP）等。聚焦超短超強激光，絕大部分情況下都使用OAP，這是由這些元件的幾何光學和非線性光學特性決定的。

一、球面透鏡

第一，透鏡有球差，靠近光軸的光線聚焦到比較遠的地方，遠離光軸的光線聚焦到比較近的地方。在橫向所有光線不能交於一點，而是形成一個模糊的圓。在某個位置，存在一個最小模糊圓。用三階象差理論可以計算這個最小模糊圓的直徑為[1]：

式中d是入射光束直徑，f是透鏡焦距，n是透鏡折射率，K是透鏡的形狀因子，K=R2/(R2-R1)，R1和R2分別為透鏡前後球面的半徑，球心在右為正，球心在左為負，平面曲率半徑為無窮。對於常用的K9或者石英平凸透鏡，n≈1.5，上式方括弧內的式子約等於0.073。

例如一個焦距為50cm的透鏡，聚焦一束直徑為5cm的800nm激光，衍射極限的直徑=2.44fλ/D=2.44*0.8*50/5μm =19.5μm，而最小模糊圓的直徑=53/502*0.073cm =0.00365cm=36.5μm，球差大於衍射極限。

第二，透鏡有色差，長波折射率小，短波折射率大，因而長波焦距長，短波焦距短。透鏡無法將所有波長的光聚焦到一點。

第三，透鏡材料有色散，激光通過透鏡時，邊緣光線穿過的材料較短，中心光線穿過的材料較長，使得脈衝波前和等相面不再重合，結果邊緣光線比中心光線先到達焦點，兩者的時間差為[2]：

rb是光束半徑，R1是前表面曲率半徑，R2是後表面曲率半徑，c是光速，λ是中心波長。仍以上面的例子計算，透鏡材料為石英玻璃。中心光線到達焦點的時間要比邊緣光線晚567fs。

此外材料的群速度色散(GVD)也引起脈衝寬度的展寬[3]：

τin、τout分別是輸入、輸出脈衝寬度，φ2是材料總的GVD。

還以上面的透鏡為例，設它的中心厚度是5mm，單位長度石英玻璃的GVD=36.16fs2/mm[4]，總的GVD=180.8fs2。假設原來的脈衝是不帶啁啾的高斯脈衝，半高寬為23fs，那麼，脈衝通過透鏡後，中心部分將展寬為31.7fs，和前面的群延遲比起來，這部分展寬是小量。

第四，在超強激光作用下，材料的折射率出現與激光強度相關的一項n2：n=n+n2I。激光在材料中穿行，強度較高的區域積累了較大的相位，強度較小的區域積累了較小的相位（B積分），因為強度較大的部分的相位逐漸落後於強度較小的部分，這樣就會產生局部或者整體的自聚焦，有可能破壞材料。另外，假設入射激光脈衝具有平坦的相位，即脈衝是傅里葉變換極限的，通過材料後，光束不同位置上的相位發生了變化，分布不再平坦，脈衝將會展寬。K9玻璃和石英玻璃的非線性折射率n2大約等於3X10-16cm2/W。以20TW激光為例，光束直徑5cm，光強I=1TW/cm^2（一般超短超強激光的輸出光強大致就在幾個TW/cm^2），通過上述中心厚度5mm的透鏡，B積分為12弧度。假設邊緣光強是中心光強的四分之一，則邊緣部分累積的相位為3弧度，中心光線落後於邊緣光線9弧度，約1.43個激光周期，相當於3.8fs。這個效應的影響不大。

二、菲涅爾透鏡

菲涅爾透鏡比較薄，2毫米左右，激光通過時B積分較小，但是和球面透鏡一樣，有球差和色差，所以焦點較大、距離光軸較遠的部分較早到達焦點。另外菲涅爾透鏡目前一般用塑料材料模壓而成，加工質量不好，不適於聚焦。

三、雙膠合透鏡

雙膠合透鏡校正了球差，所以光束邊緣和中心的部分可以同時到達焦點。脈衝展寬來源於兩部分透鏡材料產生的GVD，大約為[2]：

d1和d2分別是凸透鏡和月牙鏡的中心厚度，兩種透鏡材料的參數約為：dn1/dλ≈-0.02/μm，dn2/dλ≈-0.05/μm，d1≈7mm，d2≈2mm，因此GVD造成脈衝展寬約為640fs。

四、球面反射鏡

球面反射鏡沒有色差和色散（在此不考慮鍍膜的色散），也不存在介質的非線性效應。像球面透鏡一樣，球面鏡有球差，遠軸光線聚焦近，近軸光線聚焦遠。

遠軸光線早於近軸光線到達它的焦點，位於半徑r處的光線到達其焦點的時間比近軸光線到達其焦點的時間早[2]：

焦點相距：

式中R是球面半徑，r是遠軸光線離軸距離，c是光速。設用一個焦距200mm的球面鏡聚焦，R=400mm，光斑半徑r=25mm，則邊緣光線早到15fs。兩個焦點相距x=3μm。

五、拋物面鏡

拋物面鏡是繞拋物線的對稱軸旋轉而成的。上圖所示為拋物線方程y=x2/4p，y軸是對稱軸，F是焦點，AB是準線，根據拋物線方程的定義，拋物線上任意一點P到準線的距離PB與到焦點F的距離PF相等。QP是平行於y軸的入射光線，SE是通過P點的切線，它的斜率m1=y』=x/2p，連接FB，FB的斜率m2=-2p/x，因為m1m2=-1，所以SE⊥FB，因為PF=PB，所以PE平分∠FPB，∠QPS=∠BPE，所以∠FPE=∠QPS，因此PF是QP的反射線。由此證明平行於拋物線軸線的光線被拋物線反射後都聚焦到焦點F。

再考慮一束平行於拋物線對稱軸y軸的光線入射到拋物線上，C和Q是波前上的任意兩個點，CQ∥AB。根據拋物線定義GD=GF，PB=PF，所以CG+GF=CG+GD=CD，QP+PF=QP+PB=QB，而CD=QB，所以，平行於拋物線對稱軸入射的光線經拋物線反射後，相同相位的部分同時到達焦點F。

由此可見一個平行平面波沿拋物線的光軸入射，被拋物線反射後同時到達拋物線的焦點。

六、離軸拋物面鏡

如果靶放在拋物面的焦點處，會阻擋一部分入射光線，所以僅使用拋物面鏡的一部分，讓光束離軸入射，這就是離軸拋物面鏡(OAP, Off-Axis Parabola)。使用離軸拋物面鏡，入射光就不會被靶所阻擋。

OAP的有效焦距EFL (Efficient Focal Length)不同於母拋物面鏡的焦距PFL(Parent Focal Length)，計算衍射極限時要以EFL為焦距。

很多OAP是用金剛石刀用銅或者鋁為基底切削而成的（https://www.youtube.com/watch?v=6iRohI_jaYg），表面鍍金，再加一層SiO2保護層。這樣做的原因是加工容易，特別是短焦距OAP。金膜的反射率在我們使用的波長範圍內（700nm-900nm）幾乎不隨入射光的角度和偏振變化而變化（下圖，45度入射和12度入射的反射率。數據來源：Thorlabs公司網站）。而鍍介質膜的反射鏡的反射率隨入射角變化比較大。

OAP的表面不像拋光的玻璃那樣光滑，Thorlabs提供的表面粗糙度小於10nm，據此可估計散射損失為(4πσ/λ)2

這種OAP另外一個明顯的特徵是用肉眼也可以觀察到的刀痕，空間頻率大約在250/mm，類似於光柵[5]，會在中心焦斑附近產生焦線。

參考文獻：

[1]CVI產品目錄 Lens Selection Guide

[2]Jean-Claudediels, Wolfgang Rudolph, UltrashortLaser Pulse Phenomena - Fundamentals, Techniques, and Applications on a Femtosecond Time Scale, Second Edition

[3]張志剛 《飛秒激光技術》

[4]https://refractiveindex.info/?shelf=main&book=SiO2&page=Malitson

[5]John Filhaber, LARGE OPTICS: Mid-spatial-frequency errors: the hidden culprit of poor optical performance, LFW, 08/13/2013

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