華羅庚談學習和研究數學的一些體會

人貴有自知之明。我知道，我對科學研究的了解是不全面的。也知道，搞科學極重要的是獨立思考，各人應依照各人自己的特點找出最適合的道路。聽了別人的學習、研究方法，就以為我也會學習研究了，這個就無異於吃顆金丹就會成仙，而無需經過勤修苦煉了。

今天把我五十年來的經驗教訓，所見所聞、所體會的向你們介紹，目的在於儘可能把我的經驗作為你們的借鑒，具體問題具體分析、具體的個人應當想出最適合自己的有效方法來。

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我第一點準備和同志們談的問題是速度、是效率

速度是實現社會主義現代化的保證。例如說象我這樣又老又拐的人，我在前頭走你們趕我不費勁，一趕就趕上，而我要趕你們，除非你們躺下來睡大覺，否則我無論如何是趕不上的。現在世界上科學發展很快，我們如果沒有超過美國的速度和效率就不可能趕上美國。我們沒有超過日本的速度和效率，我們就不可能趕上日本。如果我們的速度僅僅和美、日等國一樣，那麼也只能是等時差的趕，超就是一句空話。所以說，我們應當首先在速度和效率上超過他們。

但要我們的速度和效率超過他們有沒有可能呢？這似乎是一個大問題，其實不然，我在美國呆過，在英國呆過，也在蘇聯呆過。我看到他們的速度不是神話般地快不可及。我們是趕得上超得過的！我們許多美籍華人，如果他們的速度不能超過一般的美國人的話，也就不會成為現代著名的科學家了。所以事實證明，只要我們努力下功夫，趕超是完全可以的。就以我自己來說，我是1936年到英國的，在那裡呆了兩年，回國後在昆明鄉下住了兩年，1940年就完成了堆壘素數論的工作。1950年回國後，在1958年之前，我們的數論、代數、多複變函數論等等都達到了世界上的良好的水平。所以經驗告訴我們，純數學的一門學科有四五年就能在世界上見頭角了。你們現在時代更好了，中央粉碎了「四人幫」，帶來了科學的春天。在這樣的條件下邊，我敢斷言，只要肯下功夫，努力鑽研，只要不浪費一分一秒的時間，我們是能夠趕上世界先進水平的。特別是我們數學，前有熊慶來、陳建功、蘇步青等老前輩的榜樣，現在又有許多後起之秀，更多的後起之秀也一定會接踵而來。

2

消化

搶速度不是越級亂跳，不是一本書沒有消化好就又看一本，一個專業沒有爬到高處就又另爬一個山峰。我們學習必須先從踏踏實實地讀書講起。古時候總說這個人「博聞強記」、「學富五車」。實際上古人的這許多話到現在已是不足為訓了，五車的書，從前是那種大字的書，我想一個指甲大小的集成電路就可以裝它五本十本，學富五車，也不過十幾塊幾十塊集成電路而已。現在也有相似的看法，說某人念了多少多少書，某人對世界上的文獻記得多熟多熟，當然這不是不必要的，而這隻能說走了開始的第一步，如果不經過消化，實際抵不上一個圖書館，抵不上一個電子計算機的記憶系統。人之所以可貴就在於會創造，在於善於吸收過去的文獻的精華，能夠經過消化創造出前人所沒有的東西。不然人云亦云世界就沒有發展了，懶漢思想是科學的敵人，當然也是社會發展的敵人。

什麼叫消化？檢驗消化的最好的方法就是「用」。會用不會用，不是說空話，而是在實際中考驗。碰到這個問題束手無策，碰到那個問題又是一籌莫展，即使他能寫幾篇模仿性的文章，寫幾本抄抄譯譯著作，這同社會的發展又有什麼關係呢？當然我不排斥初學的人寫幾篇模仿性的文章，但決不能局限於此，鬚髮皆白還是如此。

消化，只有消化後，我們才會靈活運用。如果社會主義建設需要我們，我們就會為社會主義建設服務，解決問題，貢獻力量。客觀的問題上面不會貼上標籤的，告訴你這需要用數論，那個是要用泛函，而社會主義建設所提出來的問題是各種各樣無窮無盡的，想用一個方法套上所有的實際問題，那就是形而上學的做法。只有經過獨立思考和認真消化的學者，才能因時因地根據不同的問題，運用不同的方法真正解決問題。

當然，剛才說消化不消化只有在實際中進行檢驗。但是同學們不一定就有那麼多的實踐機會，在校學習的時候有沒有檢查我們消化了沒有的方法呢？我以前講過，學習有一個由薄到厚，再由厚到薄的過程。你初學一本書，加上許多註解，又看了許多參考書，於是書就由薄變厚了。自己以為這就是懂了，那是自欺欺人，實際上這還不能算懂。而真正懂，還有一個由厚到薄的過程。也就是全書經過分析，揚棄枝節，抓住要點，甚至於來龍去脈都一目了然了，這樣才能說是開始懂了。想一想在沒有這條定理前，人家是怎樣想出來的，這也是一個檢驗自己是否消化了的方法。當然，這個方法不如前面那種更踏實。總的一句話，檢驗我們消化沒有，弄通沒有的最後的標準是實踐。是能否靈活運用解決問題。也許有人會說這樣念書太慢了。我的體會不是慢了，而是快了。因為我們消化了我們以前念過的書。再看另一本書時，我們腦子裡的記憶系統就會排除那些過去弄懂了的東西。而只注意新書中自己還沒有碰到過的新東西。所以說，這樣腳踏實地地上去，不是慢了而是快了。不然的話囫圇吞棗地學了一陣，忘掉一陣，再學再忘，白費時光是小，使自己「於國於家無望」事大。更可怕的是好高騖遠。例如中學數學沒學懂，他已讀到大學三、四年級的課程，遇到困難，但又不屑於回去複習，再去弄通中學的東西，這樣前進，就愈進愈糊塗，陷入泥坑，難於自拔。有時候閱讀同一水平的書，如果我們以往的書弄懂了，消化了，那麼在同一水平書里找找以往書上沒有的東西就可以過去了。找不到很快送上書架，找到一點兩點就只要把這一兩點弄通就得了，這樣讀書就快了，不是慢了。

讀書得法了，然後看文獻，實際上看文獻和看書沒有什麼不同，也是要消化。不過書上是比較成熟的東西，去粗取精，則精多粗少。而文獻是剛出來的，往往精少而粗多。當然也不排除有些文章，一出來就變成經典著作的情況，但這畢竟是少數的少數。不過多數文章通過不多時間就被人們遺忘了。有了吸取文獻的基礎，就可以搞研究工作。

這裡我還要強調一下獨立思考。獨立思考是搞科學研究的根本，在歷史上，重大的發明沒有一個是不通過獨立思考就能搞出來的。當然，這並不等於說不接受前人的成就而「獨立」「思考」。例如有許多人，搞哥德巴赫猜想，對前人的工作一無所知，這樣搞，成功的可能性是很小的。獨立思考也並不是說不要攻書，不要看文獻，不要聽老師的講述了。書本、文獻、老師都是要的，但如果拘泥於這些，就會失去創造力，使學生變成教師的一部分，這樣就會愈縮愈小，數學上出了收斂的現象。只有獨立思考才能夠跳出這個框框，創造出新的方法，創造出新的領域，推動科學的進步。獨立思考不是說一個人獨自在那裡冥思苦想，不和他人交流。獨立思考也要藉助別人的結果，也要依靠群眾和集體的智慧。獨立思考也可以補救我們現在導師的不足。導師經驗較差，導師太忙顧不過來，這都需獨立思考來補救。甚至於象我們過去在昆明被封鎖的時候，外國雜誌沒處來，我們還是獨立思考，想出新的東西來，而想出來的東西和外國人並沒重複。即使有，也別怕。例如說，我青年時在家裡發表過幾篇文章，而退稿的很多，原因是別人說你的這篇文章那本書里已有此定理了，那篇文章在某書里也已有證明了等等。而對這種情況是繼續干呢？還是就泄氣呢？覺得上不起學，老是白費時間搞前人所搞過的東西。當時，我並沒有這樣想。在收到退稿時反而高興，這使我明白，原來某大科學家搞過的東西，我在小店裡也能搞出來。因此我還是加倍繼續堅持搞下去了。我這裡並不是說過去的文獻不要看，而是說即使重複了人家的工作也不要泄氣。要對比一下自己搞出來的同已有的有什麼區別，是不是他們的比我們的好，這樣就學習了人家的長處，就有進步，如果相比之下我們還有長處就增加了信心。

我們有了獨立思考，沒有導師或文獻不全，就都不會成為我們的阻力。相反，有導師我們也還要考慮考慮講的話對不對，文獻是否完整了……。總之，科學事業是善於獨立思考的人所創造出來的，而不是象我前面所說的等於幾塊集成電路的那種人創造出來的，因為這種人沒有創造性。毛主席指出，研究問題，要去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及裡。做到這四點，就非靠獨立思考不可，不獨立思考就只能得其表，取其粗，只能夠偽善雜存，無法明辨是非。

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搞研究工作的幾種境界

1.照葫蘆畫瓢地模仿。模仿性的工作，實際上就等於做一個習題。當然，做習題是必要的，但是一輩子做習題而無創新又有什麼意思呢？

2.利用成法解決幾個新問題。這個比前面就進了一步，但是我們在這個問題上也應區別一下。直接利用成法也和做習題差不多，而利用成法，又通過一些修改，這就走上搞科學研究的道路了。

3.創造方法，解決問題，這就更進了一步。創造方法是一個重要的轉折，是自己能力的提高的重要表現。

4.開闢方向，這就更高了，開闢了一個方向，可以讓後人做上幾十年，成百年。這對科學的發展來講就是有貢獻。我是粗略地分為以上這四種，實際上數學還有許多特殊性的問題。象著名問題你怎樣改進它，怎樣解決它，這在數學方面一般也是受到稱讚的。在二十世紀初希爾伯特提出了二十三個問題。這許多問題，有些是會對數學的本質產生巨大的影響。費爾馬問題我想這是大家都知道的。這個問題如用初等數論方法解決了，那沒有發展前途，當然，這樣他可以獲得「十萬馬克」。但對數學的發展是沒有多大意義的。而庫麥爾雖沒有解決費爾馬問題，但他為研究費爾馬卻創造了理想數，開闢了方向。現在無論在代數、幾何、分析等方面，都用上了這個概念，所以它的貢獻遠比解決一個費爾馬問題大。所以我覺得，這種貢獻就超過了解決個別難題。

我對同志們提一個建議，取法乎上得其中，取法乎中得其下。研究工作還有一條值得注意的，要攻得進去，還要打得出來。攻進去需要理論，真正深入到所搞專題的核心需要理論，這是人所共知的。可是要打得出來，並不比鑽進去容易。世界上有不少數學家攻是攻進去了，但是進了死胡同就出不來了，這種情況往往使其局限在一個小問題里，而失去了整個時間。這種研究也許可以自娛，而對科學的發展和社會主義的建設是不會有作用的。

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我還想跟同學們講一個字，「漫」字

我們從一個分支轉到另一個分支，是把原來所搞分支丟掉跳到另一分支嗎？如果這樣就會丟掉原來的。而「漫」就是在你搞熟弄通的分支附近，擴大眼界，在這個過程中逐漸轉到另一分支，這樣，原來的知識在新的領域就能有用，選擇的範圍就會越來越大。我贊成有些同志鑽一個問題鑽許多年搞出成果，我也贊成取得成果後用「漫」的方法逐步轉到其它領域。

鑒別一個學問家或個人，一定要同廣，同深聯繫起來看。單是深，固然能成為一個不壞的專家，但對推動整個科學的發展所起的作用，是微不足道的。單是廣，這兒懂一點，那兒懂一點，這隻能欺欺外行，表現表現他自己博學多才，而對人民不可能做出實質性的成果來。

數學各個分支之間，數學與其它學科之間實際上沒有不可逾越的鴻溝。以往我們看到過細分割、各搞一行的現象，結果呢？哪行也沒搞好。所以在鑽研一科的同時，把與自己學科或分支相近的書和文獻瀏覽瀏覽，也是大有好處的。

5

我再講一個「嚴」字

不單是搞科學研究需要嚴，就是練兵也都要從難，從嚴。至於說相互之間說好聽的話，聽了誰都高興。在三國的時候就有兩個人，一個叫孔融，一個叫彌衡，彌衡捧孔融是仲尼復生。孔融捧彌衡是顏回再世。他們雖然相互捧得上了九霄雲外，而實際上卻是兩個飯桶，其下場都是被曹操直接或間接地殺死了。當然，聽好話很高興，而說好話的人也有他的理論，說我是在鼓勵年青人。但是這樣的鼓勵，有的時候不僅不能把年青人鼓勵上去，反而會使年青人自高自大，不再上進。特別是若干年來，我知道有許多對學生要求從嚴的教師受到衝擊。而一些分數給得寬，所謂關係搞得好的，結果反而得到一些學生的歡迎。這種風氣只會拉社會主義的後腿，以至現在我們要一個老師對我們要求嚴格些，而老師都不敢真正對大家嚴格要求。所以我希望同學們主動要求老師嚴格要求自己，對不肯嚴格要求的老師，我們要給他們做一些思想工作，解除他們的顧慮。同樣一張嘴，說幾句好聽的話同說幾句嚴格要求的話，實在是一樣的，而且說說好聽話大家都歡迎，這有何不好呢？並且還有許多人認為這樣是團結好的表現。若一聽到批評，就認為不團結了，需要給他們做思想工作了等等。實際上這是多餘的，師生之間的嚴格要求，只會加強團結，即使有一時想不開的地方，在長遠的學習、研究過程中，學生是會感到嚴師的好處的。同時對自己的要求也要嚴格。大慶三老四嚴的作風，我們應隨時隨地、人前人後地執行。

我上面談到過的消化，就是嚴字的體現，就是自我嚴格要求的體現。一本書馬馬虎虎地念這在學校里還可以對付，但是就這樣畢了業，將來在工作中間要用起來就不行了。我對嚴還有一個教訓，在1964年，我剛走向實踐想搞一點東西的時候，在「烏蒙磅礴走泥丸」的地方，有一位工程師，出於珍惜國家財產的心情，就對我說：雷管現在成品率很低，你能不能降低一些標準，使多一些的雷管驗收下來。我當時認為這個事情好辦。我只要略略降低一些標準，驗收率就上去了。但後來在梅花山受到了十分深刻的教訓。使我認識到，降低標準1％，實際就等於要犧牲我們四位可愛的戰士的生命。這是我們後來搞優選法的起點。因為已經造成了的產品，質量不好，我們把住關，把廢品卡住，但並不能消除由於廢品多而造成的損失。如果產品質量提高了，廢品少了，那麼給國家造成的損失也就自然而然地小了。我這並不是說質量評估不重要，我在1969年就提倡，不過我們搞優選法的重點就在預防。這就和治病、防病一樣，以防為主。搞優選法就是防止次品出現。而治就是出了廢品進行返工，但這往往無法返工，成為不治之症。老實說，以往我對學生的要求是習題上數據錯一點沒有管，但是自從那次血的教訓，使我得到深刻的教育。我們在辦公室里錯一個1％，好象不要緊，可是拿到生產、建設的實踐中去，就會造成極大的損失。所以總的一句話，包括我在內，對嚴格要求我們的人，應該是感謝不盡的。對給我們戴高帽子的人，我也感謝他，不過他這個帽子我還是退還回去，請他自己戴上。同學們，求學如逆水行舟，不進則退。只要哪一天不嚴格要求自己，就會出問題。當然，數學工作者，從來沒有不算錯過題的。我可以這樣說一句，天下只有啞巴沒有說過錯話；天下只有白痴沒想錯過問題；天下沒有數學家沒算錯過題的。錯誤是難免要發生的，但不能因此而降低我們的要求，我們要求是沒有錯誤，但既然出現了錯誤，就應該引以為教訓。不負責任的吹噓，雖然可能會使你高興，但我們要善於分析，對這種好說恭維話的人要敬而遠之，自古以來有一句話，就是：什麼事情都可以穿幫，只有戴高帽子不能穿幫。不負責任地恭維人，是舊社會遺留下來的惡習，我們要儘快地把它洗刷掉。當然，別人說我們好話，我們不能頂回去，但我們的頭腦要冷靜、要清醒，要認識到這是頂一文錢不值的高帽子，對我的進步毫無益處。

實事求是，是科學的根本，如果搞科學的人不實事求是，那就搞不了科學，或就不適於搞科學。黨一再提倡實事求是的作風，不實事求是地說話、辦事的人，就背離了黨的要求。科學是來不得半點虛假的。我們要正確估價好的東西，就是一時得不到表揚，也不要灰心，因為實踐會證明是好的。而不太好的東西，就是一時得到大吹大擂，不會多久也就會煙消雲散了。我們要有毅力，要善於堅持。但是在發現是死胡同的時候，我們也得善於轉移，不過發現死胡同是不容易的，不下功夫是不會發現的。就是退出死胡同時，也得搞清楚它死在何處，經過若干年後，發現難點解決了，死處復活了，我就又可以打進去。失敗是經常的事，成功是偶然的，所有發表出的成果，都是成功的經驗，同志們都看到了，而同志們哪裡知道，這是總結了無數失敗的經驗教訓才換來的。跟老師學習就有這樣一個好處，好老師可以指導我們減少失敗的機會，更快吸收成功的經驗，在這個基礎上又創造出更好的東西。還可以看到他的失敗的經驗，和山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村，怎樣從失敗又轉到成功的經驗，切不可有不願下苦功繞幸成功的想法。天才，實際上在他很漂亮解決問題之前是有一個無數次失敗的艱難過程。所以同學們千萬別怕失敗，千萬別以為我寫了一百張紙了，但還是失敗了，我搞一個問題已兩年了，而還沒有結果等就喪失信心，我們應總結經驗，發現我們失敗的原因，不再重複我們失敗的道路，總的一句話，失敗是成功之母。

似懂非懂，不懂裝懂比不懂還壞。這種人在科學研究上是無前途的，在科學管理上是瞎指揮的。如果自己真的知已和承認不懂，則容易聽取群眾的意見，分析群眾的意見，尊重專家的意見，然後和大家一起做出決定來，……。特別對你們年青人，沒有經過戰火的考驗(戰火的考驗是最好的考驗，錯誤的判斷就打敗仗，甚至於被敵人消滅)，也沒有深入鑽研的經驗，就不知道旁人的甘苦。如果沒有組織群眾性的搞科學研究的鍛煉和能力，就必然陷入瞎指揮的陷井。雖然他(或她)有雄心想辦好科學，實際上會造成拆台的後果。所以我要求你們年青人有兩條：(1)有對科學鑽深鑽懂一行兩行的鍛煉。(2)能有搞科學實驗運動，組織群眾，發動群眾，把科學知識普及給群眾的本領。不然，對四個現代化來說就會起拉後腿的作用。對個人來說一事無成，而兩鬢已斑。

當前在兩條不可得兼的時候，擇其一也可，總之沒有農民不下田就有大豐收的事情，沒有不在機器邊而能生產出產品的工人。腦力勞動也是如此，養得腸肥腦滿，清清閑閑，飽食終日無所用心的科學家或科學工作組織者是沒有的。

單憑天才的科學家也是沒有的，只有勤奮，才能勤能補拙，才能把天才真正發揮出來。天資差的通過勤奮努力，就可以趕上和超過有天才而不努力的人。古人說，人一能之己十之，人十能之己百之，這是大有參考價值的名言。

6

要善於暴露自己

不懂裝懂好不好？不好！因為不懂裝懂就永遠不會懂。要敢於把自己的缺點和不懂的地方暴露出來，不要怕難為情。暴露出來頂多受老師的兒句責備，說你「連這個也不懂』」，但是受了責備後不就懂了嗎？可是不想受責備，不懂裝懂，這就一輩子也不懂。科學是實事求是的學問，越是有學問的人，就越是敢暴露自己，說自己這點不清楚，不清楚經過討論就清楚了。在大的方面，百家爭鳴也就是如此，每家都敢於暴露自己的想法，每家都敢批評別人的想法，每家都接受別人的優點和長處，科學就可以達到繁榮、昌盛。「四人幫」搞得大家對問題表態不好，不表態也不好，明知不對也不敢暴露，這樣就自然產生僵化，僵化是科學的死敵，科學就不能發展。不怕低，就怕不知底。能暴露出來，讓老師知道你的底在那裡，就可以因材施教。同時，懂也不要裝著不懂。老師知道你懂了很多東西，就可以更快地帶著你前進。也就是一句話，懂就說懂，不懂就說不懂，會就說會，不會就說不會，這是科學的態度。

好表現，這似乎是一個壞事，實際也該分析一下。如果自己不了解，或半知半解而就賣弄他的淵博，這是真正的好表現，這不好。而把自己懂的東西交流給旁人，使別人以更短的時間來掌握我們的長處，這種表現是我們歡迎的，這不是好(hào)表現，這是好(hǎo)表現。科學有賴於相互接觸，互相交流彼此的長處，這樣我們就可以興旺發達。我上面所講的有片面性，更重要的是為人民服務的問題。大家政治理論學習比我好，同時我們這裡也沒有時間了，就不在這裡多講了。我用一句話結束我的發言：

不為個人，而為人民服務。

當然我這篇講話就是這個主題，但沒能充分發揮，不過人貴有自知之明，我對這方面的認識更弱於我對數學的認識了，而政治幹部比我搞業務的人就知道的更多了，我也就不想在這裡超出我的範圍多說了。

來源：數學中國

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