教什麼樣的數學

很多教師認為，對於非數學專業的學生而言，會計算導數與積分、能簡單地應用它們解決問題就夠了，這種觀點深刻地反映在微積分課堂教學中。非數學專業的大學生該學什麼樣的數學？教師該教什麼樣的數學？或者準確點說，學生該如何學數學？教師該如何教數學？ 這涉及我們需要培養什麼樣的大學生的問題。

數學是一切科學的基礎，這個基礎不僅反映在學生將來能將課堂上學到的數學知識依樣畫葫蘆地運用到工作中，更重要的是能靈活運用數學思想與方法解決問題。對於創新型人才而言，最重要的能力不是掌握已經被人熟知的數學應用方法，而是發現未知的運用數學解決問題的方法。從這個意義上說，掌握數學的思想方法比掌握數學的實際應用更重要，前者屬於更高境界的數學。從這個意義上來看， Steward 的《微積分》並不是無可挑剔，該書對於數學在各個領域應用的介紹可謂酣暢淋漓， 但或許出於淺顯易懂的緣故，對於微積分內在的思想與方法論的闡釋則稍嫌欠缺。該教材的內容對於大多數非數學專業大學生也許夠了， 但對於相當一部分希望將來在科學研究上有所造就的學生來說顯然有些膚淺。該教材的另一個弱點是內容過於龐雜，很難在現有的課時內完成全部內容的教學。上述兩個原因或許正是我國大學很少採用該教材的原因，但瑕不掩瑜， 它的確是一本難得的優秀的微積分教材。

我們需要教什麼樣的數學？這個問題並不難回答，簡而言之：教有用的數學！問題在於什麼是有用的數學？知識本身無所謂有用與無用。學習者會用，知識對於他就是有用的；學習者不會用，知識對於他就是無用的。

有人認為，能解決實際問題的數學就是有用的數學。能解決實際問題的數學固然是有用的，但這遠遠不是有用數學的全部，甚至不是數學最重要的部分。數學是一門思維科學，它不僅與自然科學、社會科學密切相關，同時還屬於哲學範疇。換句話說，她教給我們的是一種思考問題、解決問題的方法。

大自然的神秘面紗遠遠沒有為人類所完全揭開。數學方法無疑是了解大自然必不可少的重要手段。沒有數學，人類將無法真正了解大自然。面對神秘莫測的大自然，不僅現有的數學工具遠遠不夠，即使是已有的數學工具，我們也還遠遠沒有弄清楚到底哪些有用，哪些沒有用。特別是最近一個世紀以來，數學、自然科學發展是如此迅速，已經使科學家們沒有能力同時兼顧數學與自然科學，也就是說，數學已經逐漸遠離了自然科學而獨立發展了。正因為如此，人們並不清楚現代數學與自然科學之間到底有什麼關係，換句話說，如今的數學對於自然科學到底有沒有用。

歷史上，數學與自然科學殊途同歸的例子並不罕見，泛函分析的發展與量子力學的發展就是典型的例證。

出現這種有趣的現象並不奇怪，因為數學與自然科學在方法論上是相通的。由此可見，數學的「有用」體現在兩個方面：一是科學的思維方法；二是自然科學在現實生活中的應用。從某種意義上說，前者更重要，因為科學的思維方法是了解未知的鑰匙。

教材內容增加什麼、減少什麼並不是最重要的，重要的是老師在課堂上做什麼。遺憾的是，雖然我們有督導過程、有學生評價環節，但實際的教學過程是否體現了數學的思想性似乎無人關注，也難以量化。很多時候，我們的教學改革與教學過程猶如兩列互不干擾的並行火車。

當我們走進現在的數學課堂，再回顧20年前的數學課堂，不僅發現實質性變化不大，甚至有種今不如昔的感慨。大部分課堂教學仍然過於注重數學技巧與細節，對數學知識中蘊藏著的數學思想往往視而不見或忽略不計。這些技巧與細節對於提高學生的解題能力的確發揮了重要作用，問題是，這些技巧有用嗎？它對於學生日後的工作與生活很重要嗎？如果這些東西對他們日後的工作與生活無足輕重，他們為什麼要學習這些東西呢？

因此，如何提高學生學習數學的興趣，學一點真正可以學以致用的東西，才是有意義和有價值的。

微積分作為數學史上最偉大的發明創造，距今已有900年的歷史。與現代很多數學不同的是，微積分的產生與自然科學直接相關。眾所周知，微積分源於四類基本問題：面積問題、速度與路程問題、光學與切線問題、最大最小值問題。教師在課堂上雖然也會提及這些問題，但關注的重點卻不是解決這些問題的思想方法，而是數學概念與原理本身，或者說過於關註解題的技巧，教了很多無用的技巧，學生「滿腹經綸」，卻沒有將滿腹的知識轉化成內在的能力，面對工作中出現的各種實際問題束手無策，更不用說創新了。

可見，教育的關鍵在於教師怎麼理解教材，如何恰當地使用教材。教學不應只是傳授知識，更應重視培養學生思維能力和靈活運用知識的能力。而數學思維能力及運用能力的培養則依賴於對數學的興趣，這種興趣來自哪裡？既來自對數學的了解，更來自數學的審美能力。

數學的美概括起來大致有這樣幾個方面：（1）簡單性；（2）對稱性；（3）奇異性；（4）統一性；（5）抽象性；（6）哲理性；（7）趣味性。

數學之美如同數學思想一樣被隱含在書本中，學生從教材里是很難看到的，老師的任務就是要挖掘掩藏在書本知識背後的思想與美麗並展現給學生。一個精彩的課堂，其結構、形式以及教師的機智都可以散發出數學美的光芒。當學生離開學校，不再學習數學，數學教育留給他的應該是：學會用數學的眼光去觀察問題，用數學的頭腦去思考問題，會鑒賞數學之美，具備數學的思維方法以及自主自發地在工作乃至生活中運用。只有這樣，學生才算是真正學到了有用的數學。

回到微積分教學。微積分是大學非數學專業最重要的數學課程，教學課時多，涉及面廣。目前理工科微積分教學忽略了兩個問題：一是忽略了與中學階段所學知識的銜接，二是忽略了知識的實際背景。還是讓我們從函數談起。

現在高中階段學生就開始學函數概念、微積分基礎知識，但學得有點不倫不類。如果是在過去絕大多數中學生沒有機會上大學的情況下，讓中學生們了解一點微積分思想是可以理解的，可如今的中學生相當一部分都要進入大學，換句話說，還得重學微積分。以目前中學教材及教師的實際情況而論，中學生真的能理解並掌握微積分所蘊含的深刻思想嗎？

大學的微積分教學注意到這個問題沒有？翻開微積分教材，你會看到和幾十年前相比基本沒什麼變化。函數是微積分的基本研究對象，要講微積分自然少不了函數。問題是該如何處理它們？我覺得函數需要介紹，但不宜像以往那樣將過多的精力放在各種函數性質的詳細闡述上，因為中學階段對各種初等函數已經有過比較詳細的介紹。有些人認為函數部分可以一帶而過，我不這麼看。其一，學生在中學階段學的函數同樣不成體系，很多重要概念並沒有介紹。其二，學生除了知道抽象的函數概念，大概誰也說不清函數到底可以用來幹什麼，大學老師無異於在幫中學教師炒夾生飯。筆者認為，函數理論的介紹不能是中學內容的重複，而應該是其補充與深化。

學生對初等函數早已熟悉，教師倘若再糾纏於細節性問題，學生肯定會覺得乏味，但初等函數是微積分研究的最重要對象，所有的計算都是針對初等函數進行的，忽略過去顯然是不妥的。問題在於怎麼講？建立模型的目的有兩個：一是利用模型解釋現實世界中的某種現象，二是利用模型對被研究的對象作預測。由此可見建立數學模型的重要性。那麼，如何根據實際問題建立數學模型呢？通常有以下幾步：

（1）根據實際問題選擇適當的自變數和因變數。這是十分關鍵的一步，既要考慮到模型能反映客觀現實，又要考慮到數學處理的方便。換句話說，我們需要作一些折中。因變數的確定是比較簡單的，往往根據我們要解決的問題即可確定。但自變數的確定就不那麼簡單了，應將影響某種現象的最本質的因素確定為自變數。也就是說，這樣的量足以左右某種現象的變化。

（2）建立適當的函數關係。建立函數關係有兩種辦法：一是根據某種現象的規律來建立，如天體的運動遵循牛頓定律，經濟市場的各種現象通常遵循經濟規律等。二是採集數據再作數據處理，從中發現規律。通過將數據描點，就可以得到函數的圖像表示，比如一些統計圖表就是這樣得到的。

（3）利用數學知識或工具對模型作分析，給出該數學問題的解答。微積分就是要告訴我們如何分析這些數學模型。

（4）根據對數學問題的解答，作出實際問題的客觀解釋。如果一個模型不僅能解釋某種客觀現象，還能對這種客觀現象的未來作出比較準確的預測，這就是一個非常成功的模型了。

在介紹數學模型後，可以側重介紹各種初等函數通常在什麼樣的實際問題中出現。如果從這樣的角度來講述函數，不僅可以幫助學生複習了中學階段學習過的函數概念，更重要的是學生能夠知道函數不僅僅是抽象的符號與演算。

（本文摘自《中國大學教學》2018年第1期文章「淺談大學非數學專業的微積分教學」。作者曹廣福是華南農業大學教授，首屆高等學校教學名師獎獲得者，國家「萬人計劃」教學名師入選者。）

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