如果說費米子是組成大樓的的磚頭，那麼玻色子就是水泥！

最新 03-02

導讀：本章摘自獨立學者靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》。此文旨在幫助大家認識我們身處的世界。世界是確定的，但世界的確定性不是我們能把我的。

接著我們來說說這位天才的其中之一費米—狄拉克統計理論。之所以叫費米—狄拉克統計。是因為費米和狄拉克分別獨立的發展了這個理論。所以以他們兩個人的名字命名。

費米-狄拉克統計，有時也簡稱費米統計、FD統計，在統計力學中用來描述由大量滿足泡利不相容原理的費米子組成的系統中，粒子處在不同量子態上的統計規律。

這個統計規律的命名來源於恩里科·費米和保羅·狄拉克，他們分別獨立地發現了這一統計規律。不過費米在數據定義比狄拉克稍早。

費米–狄拉克統計的適用對象是，熱平衡時自旋量子數為半奇數的粒子。除此之外，應用此統計規律的前提是——系統中各粒子之間的相互作用可以忽略不計。這樣，就可以用粒子在不同定態的分布狀況來描述大量微觀粒子組成的宏觀系統。

不同的粒子分處於不同的能態上，這一特點對系統許多性質會產生影響。費米–狄拉克統計適用於自旋量子數為半奇數的粒子，這些粒子也被稱為費米子。由於電子的自旋量子數為1/2，因此它是費米–狄拉克統計最普遍的應用對象。費米–狄拉克統計是統計力學的重要組成部分，它利用了量子力學的一些原理。

根據量子力學，費米子為自旋為半奇數的粒子，其本徵波函數反對稱，在費米子的某一個能級上，最多只能容納一個粒子。因而符合費米–狄拉克統計分布的粒子，當他們處於某一分布時（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為

{displaystyle left{epsilon _
ight}}的能級上同時有{displaystyle n_}

個粒子存在著，不難想像，當從宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的幾率特別的大，而其中出現幾率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：

1926年發現費米–狄拉克統計之前，要理解電子的某些性質較為困難。例如，在常溫下，未施加電流的金屬內部的熱容比施加電流的金屬少了大約100倍。此外，在常溫下給金屬施加一強電場，將造成場致電子發射（Field electron emission）現象，從而產生電流流經金屬。研究發現，這個電流與溫度幾乎無關。當時的理論難以解釋這個現象。

當時，由於人們主要根據的是經典靜電學理論，因此在諸如金屬電子理論等方面遇到的困難，無法得到令人滿意的解答。他們認為，金屬中所有電子都是等效的。也就是說，金屬中的每個電子都以相同的程度對金屬的熱量做出貢獻（這個量是波爾茲曼常數的一次項）。上述問題一直困擾著科學家，直到費米–狄拉克統計的發現，才得到較好地解釋。

前面的章節敘述了給定費米子系統在不同量子態上的分布，一個量子態上最多只能具有一個費米子。利用費米–狄拉克統計，還可以獲得費米子系統不同能量值上的分布情況，這與分析量子態的原理略有不同，因為可能出現多個定態具有同一能量值，即出現所謂的簡併能量態情況。

如果經典範疇中涉及的位移、動量之間的關係還遠未達到不確定性原理所設定的極限，通常可以採用麥克斯韋-玻爾茲曼統計來代替費米–狄拉克統計，這樣做可以簡化數學計算的難度。如果粒子平均間距R{displaystyle {ar }}rR 遠大於粒子的平均物質波波長。{displaystyle {ar {lambda }}}就可以採用上述經典範疇的處理方式。

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1926年，拉爾夫·福勒在描述恆星向白矮星的轉變過程中，首次應用了費米–狄拉克統計的原理。由恆星演變而來的白矮星，是另一個不屬於經典範疇、必須採用費米–狄拉克統計的例子。儘管白矮星的溫度很高（其表面溫度通常能達到10,000開爾文），但是它內部高度聚集的電子和每個電子的低質量，使得處理這問題必須採用費米–狄拉克統計，而不能用經典的波爾茲曼統計近似處理。

1927年，阿諾·索末菲將費米–狄拉克統計應用到他對於金屬電子的研究中。對於常溫（約300開爾文）下金屬中的電子，由於R遠小於物質波的波長{displaystyle {ar }approx {ar {lambda }}/25}，因此該系統遠離經典範疇。這是因為電子質量較小，並且在金屬中聚集程度較高。這樣，為了分析金屬中的傳導電子，必須採用費米–狄拉克統計。