5個有趣的拓撲變換問題

拓撲學

真燒腦

如果你喜歡上次的空間想像能力挑戰，你一定會喜歡 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一書。

書中的第一章有五個非常經典的「拓撲變換」類謎題，在此與大家分享。

注意遊戲規則：我們假設所有物體都是用橡膠做成的，可以隨意地拉伸、擠壓、彎曲，但不允許切斷、粘連等任何改變圖形本質結構的操作。

1

能否把左圖連續地變形為右圖？

2

能否把左圖連續地變形為右圖？

3

左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否通過連續變換，把這個圓變到右圖所示的位置？

4

在一個輪胎的表面上打一個洞。能否通過連續變換，把這個輪胎的內表面翻到外面來？

5

能否把左圖連續地變形為右圖？

先自己想像一下。。。

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答案如下：

1. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的，如下圖所示：

這意味著，假如人類的身體可以像橡膠人一樣任意變形，那麼用兩手的拇指和食指做成兩個套著的圓環之後，我們可以不放開手指，把圓環給解開來。

Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 一書里畫了一張非常漂亮的示意圖：

更加有趣的是，如果僅僅是手腕上多了一塊手錶，上述方案就不能得逞了：

2. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的，如下圖所示：

3. 左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否通過連續變換，把這個圓變到右圖所示的位置？

答案是可以的，如下圖所示：

4. 在一個輪胎的表面上打一個洞。能否通過連續變換，把這個輪胎的內表面翻到外面來？

答案是可以的。

首先，作出如下圖所示的連續變換。可以看到，一個表面有洞的輪胎本質上等於兩個粘在一起的紙圈！

不過，注意紙圈 1 和紙圈 2 的地位不太一樣：一個是白色的面（即最初輪胎的內表面）沖外，一個是陰影面（即最初輪胎的外表面）沖外。

現在，把紙圈 2 當成原來的紙圈 1 ，把紙圈 1 當成原來的紙圈 2 ，倒著把它們變回輪胎形，輪胎的內外表面也就顛倒過來了。

有趣的是，把輪胎的內表面翻出來之後，輪胎上的「經線」和「緯線」（姑且這麼叫吧）也將會顛倒過來：

Wikipedia 上有一個巨帥無比的動畫，直接展示出了把一個圓環面的內表面翻到外面來的過程。此動畫看著非常上癮，小心一看就是 10 分鐘！

5. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的。

首先，作出如下圖所示的連續變換，於是就變成了問題 1 中的圖 (a) 。

再利用問題 1 的辦法，即可變出我們想要的形狀來。

本文由超級數學建模編輯整理

本文來源於Matrix67：http://www.matrix67.com/blog/archives/5140

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