各種數學理論的不足之處（不是權威，僅供參考）

數學的無限與有限或無窮與有窮

無限只可以是認識的對象，卻不可以是計算的對象。如對無限進行計算，那麼就是對於無限這個概念進行破壞，而失去無限的本來意義。也應該定義有限的範圍，即進行歸一化處理，因為在自然真實中總是存在有限範圍，人們的認識可以達到無限，可是實際的接觸範圍總是有限的。即在自然真實中只存在有限自然整數集合的連續統，不存在無限自然整數集合的連續統。

從嚴格的概念定義上來說，無限是不屬於集合的。眾所周知，凡是集合則屬於封閉有限範圍，情況無限屬於無限開放情況，封閉性無窮屬於人為性規定，開放性無限屬於真實自然。從語義上來講，無限集合違背了語言規則規定，又不符合邏輯演繹規則，集合是屬於有極限意義，而不是具有無極限意義。我們所謂的無窮並不是真正意義上的無窮，而是具有人為任意性的無窮。是代數邏輯符號掩蓋了算術上的有限性界限，使有限與無限混合起來。人的認識已知的能力是可以能夠達到無限的，但是所能夠接觸具體的事物的範圍卻是有限的。知無止境，為有止境。

無限小量並不是等於零，而是永遠接近零，零就是沒有，準確的說是不存在無限小量，而是有限小量，與無限小量是兩回事。如果在有限時可以存在最，無限時不存在最，這是首先應該明確的。雖然都是無限，可內容上卻存在很大區別，如無限大是真正意義上，而無限小卻是有極限的，即為零，有些所謂的無限大不是真正意義上的，而是有極限內的無限大。真無限是為無限大，假無限是永遠接近而又永遠達不到的極限的無限小。最小是無限小，最大卻不是無限大，因為物體不存在無限大，所以粒子也不存在無限小，只是有限小，而這個有限小，目前還無法準確定義。終極沒有最小只有更小，否則就不會存在無限這個概念定義了。什麼叫做最？根本就沒有一個限制性的約束，完全是人為任意性的規定。

古人曾經說過：至大無外，至小無內，是指空間範圍。一日之棰，日取其半，萬世不竭，在認識上是可行的，可是在實際中卻是行不通的，因為永遠肯定做不到。不存在最大卻存在空間延展無限大，存在最小卻不存在無限小，因為必然會存在大於零或接近零，卻永遠不等於零。無窮小量是人們原則靈活性的機智，不是精確的，是近似的，卻達到了類精確的效果。微積分充其量也不過是個具有近似值的經驗公式。自然存在有些本來就不是精確的，我們也沒有辦法，也只能而已。用半衰期計算，不管是什麼物質總是存在豈不荒謬？無限，無論是在人的想像或現實中都是存在著的，證實或證明當達到時還又沒有達到時的以此類推。

無限大可以是自然真實存在著的，可是無限小在真實自然中卻是不存在的，完全是人為理想化的結果，至於小到什麼程度只能由自然事實來決定，可以認識但卻無法操作，這是人們的能力所不能及的地方，但對人類活動毫無影響。無究與有限概念的產生首先是選擇類不同結果，首先在邏輯上就不一致，直接挑戰邏輯使邏輯失效，嚴重違反邏輯規則，也更是邏輯所無法解決的。就是數學恆等式中的那個等號也是不精確相等的，也只不過是個近似值而已，因為自然界不存在完全精確大小或完全一樣的兩個1。

整體大於部分的本義應該是指整體是無限的，部分是有限的。有限的與有限的相加也永遠還是有限的，但如果是無限的相加那麼就也是無限的了。大數進行無限的相加並不比小數進行無限的相加大，因為一旦納入被無限的相加時那麼即完全相等，其不同是大數先接近無限的範圍，而小數則後接近無限的範圍。即使在有限的前提下也存在著無限的可分性，但這個無限是建立產生在有限的前提上的，目前我們人類的認識就是屬於這種認識無限，而是在有限性前提下的。別說是超出太陽系，就是在太陽系本身體系內還沒有認識清楚。無限只能在人的想像或理想中存在，在現實存在中存在是我們無法驗證和能夠達到的，因為我們的生命或活動能力是有限的，但是並不妨礙我們對無限的思考與認識。理想或認識可以達到無限，而實際性操作卻是有限，無論不管什麼先進技術都是存在有限的極限。

連續統假設

連續統假設：在可數集基數和實數集基數之間再沒有別的基數。

所有的數或表示幾何的數都可以在連續統序列中存在，用整體觀念來看數學體系則是相容的。雖然集合與集合之間存在一定一致的對應或序列關係，都是屬於連續統假設，然而其中的子集合基數卻不相同，在不同的集合中是不相容的，是各個不同部分領域具有各自不同的特徵特點罷了。混淆了子集合與自然整數集合之間的基數不同的區別，導致有限與無限之間沒有明顯的界限，二者的任意某一階段或定域是並不相等，成了一個令人模糊的連續統，連續統假設已經失去真實意義。（超窮數理論只是康托爾本人的誤會。）

連續統假設建立在比較集合元素個數的基礎上。但是要比較集合元素個數，首先要明確集合元素的意義和集合之間的關係是否相容。同樣的連續統在時間、空間、幾何、數量的表示關係上是不一樣的。例如{長度：1*1，2*2…}和{面積：1*1，2*2…}表示的實際意義是不一樣的，雖然它們在數字上的結果相同。同樣，對於複雜的問題之間，若存在著某種不可比較性，數量上的一一對應關係也就失去了意義。

如果兩個有限定性實際意義的集合，它們之間的意義相同，可以相容，那麼我們可以構造建立對應法則，討論基數問題。如果兩個有限定性條件實際意義的集合，它們各有各的意義，其關係不能相容，那麼我們不能建立數量上的一一對應關係，討論基數問題。

數學一方面要考慮形式上的構造，另一方面也要考慮實際意義，因為數學最終還要應用於自然。那麼對於連續統假設，我們看到它提出了研究集合基數關係的問題，但是對於是否兩個集合之間能相互比較基數，以及集合的實際意義問題沒有給出解釋。

那麼連續統假設需要另外補充條件，即集合的實際意義，以及集合之間的關係，根據實際情況，我們可以判斷其基數的大小，而對於沒有現實意義的集合，這樣做沒有意義。

數學連續統假設的獨立性存在任意性，有限與無限之間應該設定一個界限，絕不可以任意無原則的等同。（哥德爾曾經指出：）集合永遠不能屬於自身，全集合是不存在的，但概念也許適用於自身，全概念是存在的。哥德爾認為：集合是外延，概念則是內涵。類只有一個主題，但大類有交叉迭代複合性，許多分類的小主題。連續性或與整體性的關係，被任意割裂成許多零碎的關係。希爾伯特關於建立不同公理系統的相容性問題是最基本的想法是不存在的，特徵與具體事實是對立著而存在的，所謂的公理只是特徵，特徵與特徵根本就不相容。我們應該充分發現特徵而不應該在規定特徵。

連續統任意性的將自然語言中的概念定義給破壞了，在人們的思想中造成嚴重的影響，無窮再也不具有無窮的準確意義了。n到底屬於那個數，是+1以前還是以後的呢？還要看怎麼數，若以大數為數一下子就到頭了，是一個封閉的大1，因為只有一個無限。無限可分與無限整合的關係是不一樣，是以整體前提，還是以部分為前提？

一個數可以用作被計算的數，還可以被用作計算後的數，整個數連續序列中的其中任意的一個也都是可以的，我們可以根據應用的實際情況進行無窮性的選擇方法，各種數學結構都被包含在連續的數列之中。

超越數是改變了實數概念的結果，這裡的自然數列是人為性規定劃定的一個數列。把實數軸與自然數軸作了一次混合，構造了一個新數列，仍叫做自然數列。否則自然數列後怎麼可能有大於無窮大的第一個數W。

無窮套根在自然中是不存在的，因為平直空間最多是三維。無窮連分數或無窮小數也是只可認識無法操作的，極限是人們所能滿足的需要為止。

集合連續統是關於以什麼基數為標準單位關係。中國古人對於無限的認識是非常明確的，用不著反覆討論，否則無論基數多大都是不可數的。就是小1，如果具有可分性，那麼也就微分，那樣也可以無限的分下去。用老話講叫不著邊不靠譜，過分討論無限性是無意義的，是以滿足實用為目的的。

微積分

總之微積分的有效作用是類似最小的近似量，然後再求總的近似量，永遠也不會有精確量，來達到實際應用計算的目的。知道某些初始，知道結果，然後通過計算過程來達到結果。

微積分的實質就是相似的比率關係。函數的目的是求不變數，然後再用不變數來代入，由於變數而引起總量的變化。函數的目的無非是想要建立起一種對應關係，這種對應關係也可以稱為比例關係或線性關係。將一個數看作是由若干函數組成，是由若干因素的關係所組成的現代微積分關係。函數所定義的恰恰是總數其中的常量係數的不變數，也可以當作類比求1的問題處理，即可以將100看作是由100個1所組成的。物質最小的不變數就是基本粒子所具有的虛設的量，如普朗克常量，類似微積分的求最小的近似量。微積分將分立的差異，用數學手段把它們變成具有連續性的一個過程。

本來有些圖形屬於不可展開體，所以永遠也沒有精確的展開解，只有求近似解，如球面等雙曲線，圓周率的精確度是永遠沒有盡頭的。微積分在有些應用上具有不完備的任意性，在有些地方適用，有些地方不適用。由微積分的近似性可以看出現代數學並不是一門精確準確確定性的學科，自我標榜嚴密清晰精確等，實則存在許多方面的疏漏，本身是不完善的。微積分有很多不能自圓其說的地方，後來人們為了補充完善，被弄出了實變函數。

分析數學的偏微分方程並沒有對於運動的原因給予解釋，而只是相似近似地描述了運動的狀態和類比相似幾何圖形的關係，那個等號應該是約等於號，無論怎麼近似但都不是精確的，並且永遠不會有精確解，而只能如此永遠是近似解。

非線性偏微分方程是否不可解，有多少解？關鍵是它的未知的是太多，無法確定，只是揭示了關係。本來就應該用物質的觀念去對待湍流現象就會簡單多了，就不會混亂了，然後再用數學，否則為什麼會是非線性呢？為什麼不穩定。現在數學界流行非線性，混沌說明數學遭遇存在挑戰。不論怎麼說用非線性偏微分方程來描述宇宙引力狀態是不準確的，因為非線性方程各項中的未知量的具有物理意義的原因是不清楚的。

偏微分方程的求解還存在一定困難，那麼它表示的物理意義不得而知？慣性系的非線性為什麼不遵守慣性系自身的限定？混沌模糊不清的非線性，存在非常真切不明的原因。引力場非線性偏微分方程的解要滿足是初始或邊界條件之後的唯一性，在數學上還沒有得到證明，理論上無法實現而實驗上更無法實現。

變分法的最小作用原理雖然接近事實，但還是沒有或不能將自然作用關係揭示出來，還是在人為作用下的慣性運動前提基礎上來對待問題。引力場方程是如何解釋兩極處問題的？無法考慮，因為不遵守方程規則。

非線性方程

非線性因為是代數方程，高次方程或多元未知數它們之間必然存在著相互制約的條件聯繫關係。即如果一個未知數一旦確定，那麼其它也與之對應，完全可以根據實際情況或需要而進行試商，存在有限解。如果是算術式，則不會有這個麻煩了，都是代數惹的禍，沒有具體的數字怎麼計算。各種求解四次以上的高次方程，如果是算術則可解，即化乘法為加法，然後再求平均數；可以採用兩頭試商的方法，即通過試商的大小可選擇再試的方法。實際上並沒有太大的實用意義，並不是不可行，也還可以通過列表方便可查。

這樣的代數方程是沒有實際計算意義的，即沒有計算功能，只有表示或揭示關係的功能。如果按照現在的非線性處理只能得到近似解，即按照微積分或偏微分的函數法求最小子集，將一個本來具有精確解的算術式強制性的整成一個具有近似性的方程關係，改變確定性為不確定性。與其說是具有非線性還不如說是具有任意性。這種方法是很靈活，即是一個沒有辦法的辦法，可是現在卻被當作對物理等現象無法解釋的有效描述，把一些不理解的因素變化歸結為非線性。

有些事物出現因果不相同的情況，那一定是又增加了新的原因因素我們還不知道，如孤波是受到衝擊運動的水又與在空氣的作用下形成的。而不是什麼非線性本質，或什麼對稱性破缺，其實也並不是什麼複雜，所謂的複雜只是有些情況還不清楚而已。如什麼不確定性、混沌、蝴蝶效應、吸引子、分叉、分形、隨機漲落、粗粒化細粒化等。

為什麼非線性成為現代數學的思潮，因為為性理想化規定規則在真實自然中只是某些特殊情況。如水面、筆直的植物主幹、各種球體、蜂窩、雪花、某些礦物結晶體等線面規則體，在真實自然中不規則線面體才是普遍存在著的，以試圖滿足所有方面的需要。

幾何圖形

概念翻譯不準確問題，幾何本來就是具有多少的意思，非要加上圖形的意思，拓撲等於變形，這樣更加直觀說明問題和更符合簡單性原則，這些命名應該不應該修正。

歐幾里得《原本》幾何的原始定義存在問題，如果非歐幾何是對歐幾里得幾何的否定，那麼非歐幾何所面臨的將是同樣的命運。三維絕對平直空間並沒有錯，它是約定最簡單的說明問題的，而是怎麼用的問題，黎曼幾何也同樣面臨適用範圍問題。

黎曼幾何是空間立體幾何，歐幾里得幾何是平面幾何，是分屬於兩個不同的概念範疇的，是不能互換與等同的，作為數學是可以的，但是作為物理卻是不可以的。數學只能知道幾何圖形，但是為什麼形成幾何圖形的物理過程和原因卻不清楚。物體球形結構說明物體是處於在周圍均衡相等的壓迫作用之中而形成的。自然幾何是在自然力的作用下的一種結果，作為技術反推是有效的，作為認識，無論如何我們也不能把結果當作原因來對待。圖形特徵與人為規定應該區別，某種圖形具有某種特徵是事物自身所具有的，與我們的人為性規定完全是兩回事。

濫用維度數的概念其結果必然導致錯誤認識，空間概念只能為三維，這是約定俗成，難道不去證明一下就不可以了嗎？三維以上的維數是有悖於常識的。動態圖像並非不能用圖像來描述，如動畫的圖像。四維準確地說是什麼樣的圖像？不能用圖像描述的圖像有什麼作用？算不算作圖像？維度是不是應該統一下認識？多維空間是有限的空間，絕對空間卻是無限廣延的。

不應該混淆三維和投影的關係，它們是不一樣的，三維是按絕對比例，投影是按相對實際投影比例，前者接近絕對空間，後接近自然相對空間。活動的標架，可以將各種不同的多維空間嵌入到三維平直空間，否則是無法嵌入的。如當一個小球嵌入大球的某一位置時我們不知道小球還能否成為球狀，因為在大球不同位置的空間里的曲率不同的，那麼勢必會對小球曲率形成影響。在大球中因為曲率關係直線變成曲線，那麼說小球的直徑也可以彎曲了？如果在某一方向小球的直徑彎曲，那麼這個小球還是標準的球嗎？違背球的定義，任何位置的直徑都相等。三維是可兼容，多維是無法相容或兼容的，如兼容其真實性的形體會被破壞。有人說拓撲學家像螞蟻一樣趴在圓周上，看到的只是局部結構，卻沒有認識到整個圓周被嵌入到三維空間中。黎曼空間是能被三維立體空間所包容，拓撲的整體背景是三維的。

拓撲規則是有限性其中的一種情況或幾種情況，而在真實世界中則是具有很多種情況。拓撲為幾何代數化。拓撲猶如能夠變形的麵糰，具有相當大的靈活性與任意性，以滿足各種需要。用拓撲數學方法也可以用一根線把所有不同形態的物質按開啟化順序或相互作用關係，將它們一一地穿起來而連成一個完整無限循環的整體，拓撲就是關聯。在這方面宇宙是有限的，可是在別的方面也還是存在無限的。

幾體問題的解最終不是數學問題而是機理問題，機理問題解決其數學問題是也有解了。數學只是對某些現象的形式做了描述，而不是對形成機理進行描述內容原因解釋。大自然中物體有它自身構成數學幾何的原因，這是數學幾何自身無法解釋清楚的，它可以量化自然，卻無法解釋產生自身的原因。

衡量代數幾何化或幾何代數化的關鍵原則是方便簡單性，而且能直觀容易說明或解決應用問題。例如把運動幾何化的某些微積分，但也容易造成誤會，把不是這麼回事硬解釋成了這麼回事。幾何的物理基礎是物質存在，固態剛體流體空間也是，不要忘記這才是它存在的前提條件，即它不是完全抽象的脫離實際的與現實無關；數學也是如此，它有它的實在意義，不是毫無關係。幾何圖形的函數關係是本身固有的關係，然後將運動的軌跡流形也類比作幾何圖形，或也用函數關係來解決卻是不合適的。竟然將時間也空間化或幾何化成為了流形。常微分或偏微分方程徹底將物理學幾何化了，大家不去追求物理運動原因或變化原因內容，而是去關心運動或變化的數學幾何形式方面去了。難道幾何空間就不可以描述物理空間的內容了嗎？是數學幾何的思想影響了我們的觀念，由公設公理推出定理定律。任何極端孤立的幾何是無任何內容意義的，在現實中也是不存在的，只在數學領域存在。

微積分或變分法或泛函分析將某些不規則形線段和圖形或空間被看作為點和線的任意性的連續性集合或函數空間。由於抽象空間或泛函分析的興起，更增加了把點集作為空間來進行研究，進而在泛函分析中起作用的性質又被歸結為拓撲性質。主要因為點集序列的極限居重要位置，完全脫離了物理作用的空間成為純數學的幾何空間。即泛函分析的運算元就是從一個空間到另一個空間的變換。我們不應該以沒有物理內容的人為性數學幾何空間中的同胚或拓撲變換來取代真實自然具有物質內容變化的空間。

如果有些人為性的規定恰好近似接近某些自然現象，那隻能是一種偶然巧合。例如數學張量分析和微分幾何不是依據自然現象去進行認識解釋，而是利用數學建模的方法而對自然進行任意性處理：什麼任意維任意階任意張量任意分量等解釋。Ricci在愛因斯坦之前有關張量分析就早已存在應用這一物理目的了。如果恰好近似接近或滿足了某些自然現象就是正確的，如果不近似接近還可以再任意性的加上各種規定，直到滿意為止，但是這個坐標系與另外坐標系並不是完全相等，如地球月亮太陽或各種星體之間。

理論數學是人類思維遊戲活動的陷阱。如果作為遊戲活動，對於啟發智力是具有極大的幫助，但也難免具有一些負面影響；如果作為混飯吃的職業也是可以的，但也容易誤人子弟；如果作為事業，那將是對人們的極大誤導。現在仍然有大批的數學家們在津津樂道的從事這種遊戲活動，豈不知寶貴的生命時間被殘酷的犧牲。

本文選摘自小木蟲，作者：19811015

原文鏈接：http://muchong.com/html/200602/191848.html

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