動力學問題的求解

動力學的典型問題可以大致歸結為以下三類：

(1)已知質點的運動情況，求其他物體施於該質點的作用力，即研究質點何以作這種運動。

(2)已知其他物體施於某質點的作用力，求質點的運動情況。

(3)已知質點運動情況與所受力的某些方面，求質點運動情況與所受力的未知方面。

質點動力學問題的求解，關鍵是力。牛頓運動定律指出，力使質點獲得加速度。而質點在各個瞬時的加速度(附以適當的初始條件)則完全確定了質點的運動情況，這是我們在質點運動學中已研究過的問題。這樣，力對質點運動情況的影響是通過加速度表觀出來的，因此，加速度這個物理量起著很重要的「橋樑」作用，它將牛頓運動定律與質點運動學結合起來。而牛頓運動定律與質點運動學知識相結合，就提供了解決各種各樣質點動力學問題的原則依據。

當質點運動時，常常受到預先給定的限制，如斜面上的物體只能沿斜面運動，等等。我們把限制質點自由運動的條件稱為約束，通常用約束方程來表示質點所受的約束。

約束物體與被約束物體之間在接觸點處互施作用力，我們把作用在被約束物體上的這種力稱為約束反力，或簡稱約束力;作用在一個物體上的外力，如果它的大小和方向與約束無關，則稱為主動力。

約束反力以主動力的存在為前提，但主動力與約束反力存在根本的差別。主動力要麼大小、方向均已知，如重力等;要麼大小、方向與質點運動的某些瞬時量有關，如萬有引力和彈簧的彈性力由質點的瞬時相對位置決定，粘滯阻力則與質點的瞬時相對速度有關。總之，主動力與約束條件無關，不管其運動服從什麼樣的微分方程，也不管除了它以外是否還有別的力存在，它的變化規律是已知的。而約束反力的大小和方向一般都是未知的，它既與約束條件有關，又與物體的運動情況有關，必須通過求解運動微分方程才能確定。例如，摩擦力與物體在接觸面的正壓力有關。

約束運動具有以下兩個明顯的特點：

(1)獨立坐標的數目減少了。

(2)由於運動微分方程中出現了未知的約束反力，使方程式中未知量的個數增多了。

正因為有如此特點，結果從牛頓定律所能得到的代數方程的數目會少於未知量的個數。因此，必須引入約束方程才能構成完備的方程組，以便達到求出未知量的目的，這一點對求解約束運動非常重要。

綜上所述，求解質點動力學問題的步驟為：

(1)隔離物體。如果所討論的問題多於一個質點，可以把幾個物體分別隔離出來，對每個物體分別加以討論。

(2)受力分析。採用圖示方法把質點受到的力（主動力與約束力)全部示於圖中，不得遺漏。為防止遺漏某些力，應當注意掌握力的特性，即除了萬有引力之外，所有的力都是接觸力，只有相互接觸的物體才相互作用(近代物理認為就連萬有引力也不過是物體通過引力場而相互作用的）。因此，為考察某一物體守到哪些力的作用，除了重力之類的萬有引力(這通常是不致遺漏的)以外，只須注意這一物體與哪些物體相接觸，只有在與其他物體相接觸處才受到其他物體的作用力，而且作用力與反作用力總是成對出現的(重力的反作用力作用在地球上），這樣做就能有效地防止遺漏某些作用力。

(3)運動分析。對質點進行運動分析是十分必要的。必要的運動分析，加上正確的受力分析，提供了給出動力學方程的前提條件。

(4)選定坐標系，列出方程。動力學方程是矢量方程，為了算出結果，一般應寫出分量方程。在什麼坐標下寫分量方程，往往應根據運動或受力進行選取，選取得當可以使求解簡潔，不易出錯。對於約束運動，往往還需要列出約束方程。

(5)方程求解和討論。對分量方程進行數學求解，必須注意結果的合理性，給出必要的討論。

本文轉自公眾號萬象經驗

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！