翻到過去寫的論文，4000字以前全是廢話

數學與哲學

摘要數學作為一種哲學現象，早已是人們的常識。歷史地看，古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家。最著名的如柏拉圖和達·芬奇。晚近以來，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等文化名人也都是20世紀數學文明的締造者。數學文化的存在價值在即將公布的高中數學課程標準中，數學文化是一個單獨的板塊，給予了特別的重視。許多老師會問為什麼要這樣做？一個重要的原因是，20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向，並一直影響到今天的中國。數學的過度形式化，使人錯誤地感到數學只是少數天才腦子裡想像出來的「自由創造物」，數學的發展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類文化的哺育。於是，西方的數學界有「經驗主義的復興」。

§1數學和文學哲學

數學和文學的思考方法往往是相通的。舉例來說，中學課程里有「對稱」，文學中則有「對仗」。對稱是一種變換，變過去了卻有些性質保持不變。軸對稱，即是依對稱軸對摺，圖形的形狀和大小都保持不變。那麼對仗是什麼？無非是上聯變成下聯，但是字詞句的某些特性不變。王維詩云：「明月松間照，清泉石上流」。這裡，明月對清泉，都是自然景物，沒有變。形容詞「明」對「清」，名詞「月」對「泉」，詞性不變。其餘各詞均如此。變化中的不變性質，在文化中、文學中、數學中，都廣泛存在著。數學中的「對偶理論」，拓撲學的變與不變，都是這種思想的體現。文學意境也有和數學觀念相通的地方。徐利治先生早就指出：「孤帆遠影碧空盡」，正是極限概念的意境。

歐氏幾何和中國古代的時空觀中，初唐詩人陳子昂有句云：「前不見古人，後不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下。」這是時間和三維歐幾里得空間的文學描述。在陳子昂看來，時間是兩頭無限的，以他自己為原點，恰可比喻為一條直線。天是平面，地是平面，人類生活在這悠遠而空曠的時空里，不禁感慨萬千。數學正是把這種人生感受精確化、形式化。詩人的想像可以補充我們的數學理解。

數學與語言是文化的載體和外殼。數學的一種文化表現形式，就是把數學溶入語言之中。「不管三七二十一」涉及乘法口訣，「三下二除五就把它解決了」則是算盤口訣。再如「萬無一失」，在中國語言里比喻「有絕對把握」，但是，這句成語可以聯繫「小概率事件」進行思考。「十萬有一失」在航天器的零件中也是不允許的。此外，「指數爆炸」「直線上升」等等已經進入日常語言。它們的含義可與事物的複雜性相聯繫，正是所需要研究的。「事業坐標」「人生軌跡」也已經是人們耳熟能詳的詞語。

§2數學的宏觀和微觀認識

數學的發展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類文化的哺育。於是，西方的數學界有「經驗主義的復興」。懷特的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。克萊因的《古今數學思想》、《西方文化中的數學》、《數學：確定性的喪失》相繼問世，力圖營造數學文化的人文色彩。

國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數學與文化》，彙集了一些數學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍後出版的有齊民友的《數學與文化》，主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值，特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數學文化學》，特點是用社會建構主義的哲學觀，強調「數學共同體」產生的文化效應。以上的著作以及許多的論文，都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。

認識和實施數學文化教育 進入21世紀之後，數學文化的研究更加深入。一個重要的標誌是數學文化走進中小學課堂，滲入實際數學教學，努力使學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。那麼，如何在中小學數學教學中進行數學文化教育呢？筆者認為應該從以下幾個方面加以認識和實施。 認識數學文化的民族性和世界性 每個民族都有自己的文化，也就一定有屬於這個文化的數學。古希臘的數學和中國傳統數學都有輝煌的成就、優秀的傳統。但是，它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國的不同政治文明孕育了不同的數學。古希臘是奴隸制國家。當時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治。

男性奴隸主的全體大會選舉執政官，對一些戰爭、財政大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說服對方，使學術上的辯論風氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理，也就需要證明。先設一些人人皆同意的「公理」，規定一些名詞的意義，然後把要陳述的命題，稱為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產生的。中國在春秋戰國時期也有百家爭鳴的學術風氣，但是沒有實行古希臘統治者之間的民主政治，而是實行君王統治制度。春秋戰國時期，也是知識分子自由表達見解的黃金年代。

當時的思想家和數學家，主要目標是幫助君王統治臣民、管理國家。因此，中國的古代數學，多半以「管理數學」的形式出現，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這裡退居其次。因此，從文化意義上看，中國數學可以說是「管理數學」和「木匠數學」，存在的形式則是官方的文書。古希臘的文化時尚，是追求精神上享受，以獲得對大自然的理解為最高目標。因此，「對頂角相等」這樣的命題，在《幾何原本》里列入命題15，藉助公理3給予證明。在中國的數學文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。 同樣，中國數學強調實用的管理數學，卻在演算法上得到了長足的發展。負數的運用、解方程的開根法，以及楊輝三角、祖沖之的圓周率計算、天元術那樣的精緻計算課題，也只能在中國誕生，而為古希臘文明所輕視。

我們應當充分重視中國傳統數學中的實用與演算法的傳統，同時又必須吸收人類一切有益的數學文化創造，包括古希臘的文化傳統。當進入21世紀的時候，我們作為地球村的村民，一定要溶入世界數學文化，將民族性和世界性有機地結合起來。 揭示數學文化內涵，走出數學孤立主義的陰影數學的內涵十分豐富。但在中國數學教育界，常常有「數學=邏輯」的觀念。據調查，學生們把數學看作「一堆絕對真理的總集」，或者是「一種符號的遊戲」。「數學遵循記憶事實-運用演算法-執行記憶得來的公式-算出答案」的模式，「數學=邏輯」的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說，一個充滿活力的數學美女，只剩下一副X光照片上的骨架了。數學的內涵，包括用數學的觀點觀察現實，構造數學模型，學習數學的語言、圖表、符號表示，進行數學交流。通過理性思維，培養嚴謹素質，追求創新精神，欣賞數學之美。和所有文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化，一方面拒人於千里之外，使人望數學而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數學家當成「怪人」。學校里的數學，原本是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的「篩子」、打人的「棒子」。

優秀的數學文化，會是美麗動人的數學王后、得心應手的僕人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。多側面地開展數學文化研究 談到數學文化，往往會聯想到數學史。確實，宏觀地觀察數學，從歷史上考察數學的進步，確實是揭示數學文化層面的重要途徑。但是，除了這種宏觀的歷史考察之外，還應該有微觀的一面，即從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊。以下將闡述一些新視角，力求多側面地展現數學文化。

§3數學和美學

數學的宏觀和微觀認識。宏觀和微觀是從物理學借用過來的，後來變成一種常識性的名詞。以函數為例，初中和高中的函數概念有變數說和對應說之分，其實是宏觀描述和微觀刻畫的區別。初中的變數說，實際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢和性態。高中的對應則是微觀的分析。在分段函數的端點處，函數值在這一段，還是下一段，差一點都不行。

政治上有全局和局部，物理上有牛頓力學與量子力學，電影中有全景和細部，國畫中有潑墨山水畫和工筆花鳥畫，其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點考察函數呢？ 是不是和諧美？二次方程的求根公式美不美？這涉及到美學觀。三角函數課堂上應該提到音樂，立體幾何課總得說說繪畫，如何把立體的圖形畫在平面上。欣賞艾舍爾的畫、計算機畫出的分形圖，也是數學美的表現。

數學這門學科伴隨著我最美好的時候。初中時的我們總是希望自己是比別人聰明的，而數學無疑是最能凸顯一個人智力的了，於是為了證明自己的優秀，我們很多人孜孜不倦的摳著老師提的一道道平面幾何題，我有時真的是能在一次率先解出問題後，讓自己的虛榮心得到滿足。

在中國，數學與數學學科競賽是有著千絲萬縷的聯繫的，我所生長的城市位於祖國的西北，教育質量和水平，尤其是老師，遠不如那些大城市，什麼北京，上海，還有東南的那些發達地區，但還是有一些競賽文化的，而且我自認為自己從小學到初中，甚至高中享受都是我們那個城市所能達到的最好的了，我身邊也竟是一些十分優秀的人。小學參加過希望杯，初中還是希望杯，再到高中接觸到數學聯賽並靠它升學，數學以這樣一種方式，參與到我的生活中來。

我對數學曾抱有一些幻想的，也想學通數學，搞明白一切已有的數學，在去探索些新的，然而事實是我連前者都做不。再看看那些能稱得上數學家的人，像高斯那樣的，都是十六七歲就有了響噹噹的成功，雖然在今天數學發展到如此地步，發現點新的東西是不容易的，可本人還沒有顯露出什麼相對或是絕對的數學才華。

我覺得，在中國搞數學是很難的，如果只為愛好，毫不功利，我可能難以養活自己，而我們這一代人大多是獨生子女，只為愛好去研究數學不掙錢養家是非常不現實的，很多人承受不了那樣的壓力。我從來沒有出過國，更重要的是沒有接受過國外的教育，不知道那些國家的教育是什麼樣的，還有他們的社會是什麼樣的，就沒有資格去評判。但儘管如此，我學習到的知識告訴我要去尊敬那些真正搞數學研究的人，尤其是那些條件不好者。

在我的周圍的人中，他們的家長在孩子報志願時不願讓孩子報數學專業，而是什麼金融或是會計之類的，很多同學他們自己也將數學專業妖魔化，視之洪水猛獸。家長的選擇真的很自然，學生的想法也很無奈，可能說到底他們沒有遇到過一位真正好的數學老師吧。

相信老師不會認真看的，後面是我的東西，老師你有自己的研究，應該無暇顧忌這麼多不認真的東西。

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