奇人貢培茲：「死亡率定律」是個啥？

生命界的生老病死，乃自然界的一大規律，本沒有什麼值得大驚小怪的。然而，19世紀英國的一位數學家卻為後人留下的一份寶貴的遺產——「死亡率定律」，這倒引起了人們的興趣。

那麼，這位數學家有什麼樣的傳奇呢？他的「死亡率定律」又是一個什麼樣的定律呢？

奇人貢培茲的「死亡率定律」（網路圖）

自學成才的數學家

本傑明·貢培茲（Benjamin Gompertz）於1779年出生於倫敦的一個富足家庭，其父親是一個鑽石經銷商。然而，由於貢培茲是猶太人，這使得他在就學方面受到了歧視。

1810年，他最初按照父親的意願在倫敦證券交易所謀得了一份工作，但他矢志不渝的目標是想當一名精算師。什麼是精算師呢？原來，精算師是一類處理金融風險類業務的商業性職業人員，主要分布在保險、金融及其他領域中。

倫敦證券交易所（網路圖）

做精算師需要具備多方面的專業知識，如數學、統計學、經濟學、金融學以及財務管理等方面的專業知識及技能。

為了能當一名優秀精算師，貢培茲可是沒少用功啊！他對數學、統計學以及金融理論等的愛好達到了痴迷的程度，並時不時地向數學刊物提交論文。

貢培茲因年僅10歲的兒子不幸去世，悲痛之餘辭去了倫敦證券交易所的工作。

1821，他應聘了一家保險公司，但遭到了董事會的反對。原因很簡單，因為他是一個猶太人。

數據的海洋（網路圖）

此後，他專註地從事數學方面的研究，並且取得了不小的成績。1819年，他成為了英國皇家學會會員，還被譽為關於傷亡和概率問題的著名專家。

「死亡率定律」出籠記

1824年，貢培茲引起了一家聯合保險公司的注意。公司高層非常欣賞貢培茲的才華，「怎麼，就因為宗教信仰不同而拒絕聘用你，太不公平了！沒關係，我要為你提供一個施展才華的大舞台！」

精算師（網路圖）

貢培茲被委任為這家聯合保險公司的精算師，從而開啟了他職業生涯中的一個黃金時段。1825年，他向皇家學會提交了一篇事關他學術地位的重磅論文。

這篇論文的標題為「人類死亡率的函數表達及確定生命危險性的新模式」。就是這篇論文奠定了他在數學和保險業中的學術地位，並深刻影響了後世的人壽保險以及其他諸多領域。

保險業在西方國家起步很早，現在大約有90%以上的居民都會購買不同險種的保險。人壽保險的計算需要基於人身保險事故出險率變動的規律。所謂出險率就是發生危險事故的概率。

發達的保險業（網路圖）

人身保險的主要品種是人壽保險，而人壽保險是以生命表的形式來表述被保險人死亡概率的。所謂生命表，又被稱為死亡表或壽命表，是根據以往一定時期內各種年齡的死亡統計資料編製而成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表。

1661年，英國出現了歷史上最早的死亡機率統計表。1693年，世界上第一張生命表誕生。這是英國天文學家哈雷(A. Hally)根據德國布勒斯勞市的居民壽命資料編製出的一張完整的生命表，它奠定了近代人壽保險費計算的基礎。

哈雷編製了世界上第一張生命表（網路圖）

18世紀40至50年代，英國人辛普森和多德森兩人發起組織了「倫敦公平保險公司」，首次將死亡表運用到計算人壽保險的費率上。

英國社會（網路圖）

壽命是人口學研究的一個基本要素，特別是人壽保險更關注年齡與死亡風險的關係。貢培茲為了簡化養老金和保險金的計算方法，對所在地區的人群死亡率進行了收集和統計，以希望能找到某些規律性的東西。

結果他發現了一個十分有趣的規律，那就是嬰幼兒的死亡率一般都比較高，其後則會出現逐年下降的趨勢，大約到了10－15歲的時候死亡率達到最低點；可是，青春期過後死亡率又會很快上升，上升的速率大約每8年（有的說是10年）翻一番，這種趨勢可以一直持續到80歲。

年齡性別死亡率曲線（網路圖）

為了驗證這樣一個規律，貢培茲以英國、法國和瑞典不同歷史時期的人群死亡率為研究對象，結果與上述的有趣規律十分吻合。

貢培茲發現了一個關於人類生老病死的自然規律，即人類在一生中的某個年齡階段，其死亡率會呈現幾何級數增加的趨勢。這個規律就叫做「死亡率定律」，也叫「死亡率法則」等。

解讀「死亡率定律」

貢培茲論文的主題是，在人類成年後的大部分時間裡，隨著年齡的增長，人類死亡的幾率會成倍地增加。

貢培茲「死亡率定律」（網路圖）

對於外行人來看，這個結論的確也沒有什麼驚天動地的發現，然而對於保險領域的業內人士來說那可是一個不小的發現呀！貢培茲的模型被保險公司用來計算人壽保險的成本，同時也可用於對人口模型的精鍊。

「死亡率定律」的解析式：

貢培茲的這個定律雖然是從歐洲的目標人群死亡率資料推導出來的，但同樣也適用於其他國家和地區的人群。這說明不同地域的人群在相同年齡層的死亡率變化具有一致的模式，只不過死亡率曲線起伏的程度不同而已。

貢培茲模式也適用於動物界（網路圖）

動物學家研究發現，這一模式在動物界也具有普適性。即在性成熟時期動物的死亡率達到最低點，之後死亡率呈指數上升規律。 物種之間的壽命差異，主要表現在老齡化的速度差異方面，這可以用死亡率函數的斜率差異來反映。

二百年穿越任評說

貢培茲的死亡率定律對於成年人到老年人階段的死亡率的描述非常不錯，因此是人們研究人類死亡率規律和模式的有力工具。但對大於85歲的老年人與實際的擬合則存在較大誤差。

老齡化社會（網路圖）

貢培茲認為，導致人死亡的原因有兩種，一是機遇，即意外原因；二是抗死亡能力的減退。他做出了這樣一個假定，即一個人的抗死亡能力的減退速度與當時他本人的抗死亡能力成正比。

貢培茲在推導定律時忽略了第一項原因，只考慮了抗死亡能力的減退速度。1860年，Makeham對貢培茲死亡率定律進行了推廣，在死亡率函數中添加了一個常數項。解析式為：

大量的研究證明，貢培茲的死亡定律與實際人口群體的死亡率模式存在明顯的一致性。因此，在研究和討論死亡率問題時，人們常常引用貢培茲的死亡率定律，這說明貢培茲的死亡率定律是一個被人們廣泛接受的理論。

世界上最醜陋的動物——裸鼢鼠（網路圖）

最近有報告稱，裸鼢鼠似乎是遊離在貢培茲法則之外的動物，因此對貢培茲法則提出了挑戰。據悉，裸鼢鼠極少患癌症，並且它們不會衰老。

科學家首次對上千隻裸鼢鼠的生活史進行了分析和研究，發現它們的死亡風險並未隨著年齡漸長而增加，但它們最終也會死亡。

牆內開花牆外也香

貢培茲的死亡率定律作為一個數學模型，其價值不僅僅限於金融和保險行業，現在貢培茲曲線（Gompertz曲線）還在經濟、科技、生物、農業以及工程等領域獲得了廣泛應用。

貢培茲曲線的特點為，初期增長比較緩慢，以後逐漸加快，當達到一定程度後增長率又逐漸下降，最後接近一條水平線。因此，可用貢培茲曲線來描述與萌芽、成長、飽和相關的周期過程。

利用貢培茲曲線數學模型預測汽車夜視系統市場（網路圖）

最近，貢培茲曲線還被應用於新興產業的產品生命周期預測，並表現出了與市場的良好擬合性。原來，在經濟變數的發展進入到某個特定階段時，應用貢培茲曲線來描述是非常方便的。

利用貢培茲曲線數學模型預測智能手機市場（網路圖）

現在，包括台式電腦、手機、筆記本、互聯網等新興產業產品用戶都已到達一定程度並開始增速放緩時，可以用貢培茲曲線來預測商品壽命周期中的市場容量。

人物小傳

本傑明·貢培茲（1779年–1865年），19世紀英國的一位數學家和保險統計師，「死亡率定律」的發現者。他從小就熱愛學習，先後學習了牛頓等大師的著作。他作為一個猶太人，沒有機會進入大學進行學習。但是，這並不能湮滅他學習知識的熱情。

他一邊工作，一邊自學。他自學數學和其他學科，均取得了很好的成績。從1798年起，他便在數學方面嶄露頭角，並獲得某雜誌的年度獎。1825年，在聯盟保險公司任精算師期間發現「死亡率定律」。

1848年，他退休後致力於學術團體活動，他不僅是許多學術團體的成員，也是猶太慈善組織的重要成員，而且還積极參与科學知識的傳播等工作。

參考文獻

【1】煎蛋sh.《預測我們死亡的本傑明·岡珀茨》，搜狐網，2018-02-14。

【2】 魏震.《淺談死亡率預測模型相關研究》，理論廣角 ，2014-08。

【3】韓明 等.《數學建模案例》(M)，同濟大學出版社，2012年版。

【4】鄧宗琦. 《科壇無冕之王：數學與高新技術》(M)，湖北科學技術出版社，2012年版。

【5】宗華.《裸鼢鼠緣何「長生不老」》，中國科學報， 2018-01-29。

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