四維還沒搞明白，科學家就已經把時空擴張到24個維度了

在過去的一個世紀中，對空間的幾何描述成為了理論物理學追求的主要課題。我們普遍接受的空間是三維的，廣義相對論描繪了一個四維的宇宙，而弦論則說宇宙有10維，它的擴展版本M理論認為宇宙有11維，最近甚至還出現了新的24維版本。四維以上的世界究竟是什麼樣子？它們又有什麼樣的意義呢？

作者 | Margaret Wertheim

翻譯 | 顧金濤 劉博堯

審校 | 張克文王妍琳

伏案寫作，抬手打開檯燈，落手拉開抽屜拿出筆，伸手讓指尖划過一尊奇形怪狀的小雕像——那是我妹妹送我的幸運符——背過手拍了拍蜷縮在我身後的貓。右手邊是為文章準備的研究筆記，左手邊則是一堆「必做」的事項（賬單和信件）。上下、前後和左右，我以這個世界的直角坐標軸為刻度，在自己的三維宇宙中航行。

我們的建築、我們的教育和我們的字典告訴我們：空間有三個維度。牛津字典定義空間（space）為「一片連續的自由的，可獲得的或者可被佔用的區域……所有東西都在高度、深度和寬度這些維度中存在和移動。」18世紀時，康德（Immanuel Kant）稱三維的歐幾里得空間是一種先驗必然。如今，隨著計算機生成的圖像和電子遊戲的滲透，我們始終處於一個似乎是公理的笛卡爾坐標系表徵中。站在21世紀的視角，這一點近乎不證自明。

不過，「我們生活的空間具有數學結構」這個觀念，是西方文化的激進創新，它迫使我們拋棄長久以來對現實本質的信念。儘管現代科學的誕生通常被談論成對自然界的機制機械性解釋的過渡，但我們可以看到，更加重要，當然也更加持久的是另一種轉變：我們對空間的概念變成了一種幾何建構。

在過去的一個世紀中，對空間的幾何描述成為了理論物理學追求的主要課題，從阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）開始，學者們都試圖將自然界所有基本作用力解釋成空間形狀本身的副產品。儘管在局部層次我們被訓練成將空間想成三維，廣義相對論描繪了一個四維的宇宙，而弦論則說宇宙有10維，它的擴展版本M理論甚至認為宇宙有11維。有些宇宙模型將宇宙描繪為26維，最近還出現了讓純數學家們興奮不已的24維版本。但這些「維度」到底是什麼？談論一個10維的空間存在又有什麼樣的意義呢？

什麼是「空間」？

要理解現代數學中對空間的描述，需要把空間想成物質可以佔據的舞台。至少，「空間」應該是某種延展出去的東西。這對我們來說似乎是顯而易見的，但亞里士多德卻十分厭惡這個觀點，他對物理世界的概念定義，在古典時代晚期和中世紀統治了西方思想界。

嚴格地說，亞里士多德的物理學中並不包括空間理論，只有位置的概念。想像桌子上的一個杯子，對亞里士多德來說 ,杯子被本身也是實體的空氣環繞，在他的世界圖景中，並不存在真正「空無一物」的空間，這裡只有空氣和杯子者兩種物質的邊界。對於亞里士多德來說，「空間」（如果你願意這麼稱呼的話）只是杯子和環繞在其旁邊的無限小邊界。如果空間不能擴展，那麼任何東西都不會在空間之中。

亞里士多德之前幾世紀，留基伯（Leucippus）和德謨克利特（Democritus）就已經提出了一種調用內含空間的「原子化」視角來描述現實世界的理論，他們認為，在虛空中移動的微小粒子(或原子)組成了物質世界。但亞里士多德拒絕原子論,聲稱虛空的概念在邏輯上不自洽，他說根據定義，「什麼都沒有」是不可能存在的。擺脫亞里士多德對虛空的異議，從而形成延展空間的概念，是一個世紀課題。直到伽利略和笛卡爾在17世紀早期，將延展時空變成了現代物理的基石之一，這才讓這個創新的設想發展成熟。就像1924年美國哲學家埃德溫·伯特（Edwin Burtt）評論的那樣，對這兩個思想家而言，「物理空間與幾何領域等同起來」，這裡的幾何領域，也就是如今學校教的三維歐幾里得幾何。

早在物理學家接受歐幾里得視角之前，畫家已經在空間的幾何概念上先行一步。多虧了他們，我們才在概念框架中跨出一大步。在中世紀晚期，在新興起的柏拉圖和畢達哥拉斯的思潮的影響下（這兩位也是亞里士多德的學界對手），「上帝按照歐式幾何定律創造世界」的觀念開始滲透進歐洲。因此，當藝術家想要正確地描繪世界，他們應當模仿造物主的表現手法。從14世紀到16世紀，諸如喬托（Giotto）、保羅·烏切洛（Paolo Uccello）和皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡（Pierodella Francesca）等藝術家建立了現在所知的「透視」技巧，這種風格在當時被稱為「幾何圖像」。通過有意識地探索幾何原理，這些畫家逐漸學會如何構建三維空間內物體的圖像。在這個過程中，他們重新編譯了歐洲人的思維，使他們用歐幾里得的方式來看待空間。

歷史學家塞繆爾·埃傑頓（Samuel Edgerton）在《喬托幾何的遺產》（The Heritage of Giotto』sGeometry，1991）中敘述了這段值得銘記的延續，他注意到我們對亞里士多德空間觀的摒棄，有一部分是來自透視畫緩慢長期的影響：當人們站在透視畫前，發自內心地感受，就好像他們透過牆壁看到了另一邊的一個三維世界。而其中的非凡之處在於，當哲學家和科學家小心翼翼地挑戰亞里士多德的空間概念時，藝術家們卻通過對感知的依附，在知識界的疆域中大出風頭。用大白話說，透視的表現方式是一種虛擬現實，就像如今的VR遊戲一樣，試圖給觀者製造一種幻覺——他們被轉移到了另一個在幾何上一致，心理上可信的世界。

透視表達的歐幾里得幻想空間逐漸印刻在了歐洲人的意識中，並被笛卡爾和伽利略接受為現實世界的空間。值得補充的是，伽利略自己就受過透視法的訓練。他對深度的表現能力是他在對月亮的開創性繪畫中的一個關鍵特徵，他畫出了月亮上的高山和峽谷，暗示了月亮和地球一樣是固態的實體。

通過接受透視畫作的空間觀，伽利略可以用數學法則展示諸如炮彈等物體的運動方式。空間本身就是一種抽象——一種沒有特徵、不活躍、不可觸摸、不可感知的虛空，它唯一的可知性質就是它的歐幾里得形式。到了17世紀末期，牛頓（Isaac Newton）將伽利略的視角拓展到整個宇宙，延展出潛在的無限的三維真空——向所有方向永恆延伸的廣闊無物的「空」。「實在」的結構就這樣從哲學和理論問題轉換到了幾何命題上。

維度，數學的圖像化

當畫家用數學工具開發出創作的新方法時，科學革命也曙光初現，笛卡爾探索了將數學關係進行圖像化的方法。在這個過程中，他形式化了「維度」的概念，不僅在我們的意識中注入了一種看待世界的新方式，更創造了一種新的科學工具。

當今幾乎所有人都能認出笛卡爾的天才成果，笛卡爾坐標系，一個帶有x軸和y軸的直角坐標系統。

根據定義，笛卡爾平面是一個二維空間，因為我們需要兩個坐標來定義其中的任意一個點。笛卡爾發現在這個框架下他可以將幾何形狀與方程聯繫在一起：一個半徑為1的圓就可以用等式x2+ y2= 1來描述。

我們在平面上畫的一系列圖像都可以用方程來描述，這種「解析幾何」或者「笛卡爾幾何」，很快就成為牛頓和萊布尼茲發明的微積分的基礎，之後的物理學家以此來描述運動。理解微積分的一種方式是研究曲線，它讓我們可以規範地定義曲線在哪裡最陡，或者它在哪裡達到局部極小或者極大。在對運動的研究中時，微積分使我們能夠分析和預測被拋出的物體在哪裡可以達到最高點，或者何時沿著彎曲軌道滑落到特定的速度。微積分發明以後，它已經成為了科學幾乎所有分支的重要工具。

從上一張圖的基礎上，我們可以很容易想到如何再加一條坐標軸。通過x,y,z軸我們就可以描述一個球面，一個半徑為1的球面的方程是：x2+ y2+ z2= 1。

通過三根軸，我們可以描述三維空間的形式。同樣地，每個點都可以被三個坐標唯一確定，這是使空間成為三維的必要條件。

我們再接再厲，再加到第四個維度會怎樣？姑且把多出來的這個參數稱其為「p」，現在我可以寫下一個方程，來描述這個存在於四維空間的球面：x2+ y2+ z2+ p2=1。我不能把這個物體畫給你看，但是從數學上看，再加另一個維度是一個合理的操作。這個「合理」指的是不存在邏輯上的矛盾，即沒有理由不能這麼做。

我可以繼續這樣做，增加更多維度。我可以定義一個五維空間中的球面，其空間擁有5個坐標軸（x,y, z, p, q），球面方程x2+ y2+ z2+ p2+ q2= 1。再定義一個六維的：x2+ y2+ z2+ p2+ q2+r2= 1，等等等等。

儘管我可能難以將這些高維球面可視化，我卻可以用符號來描述它們，理解數學歷史的方式，就是抱著開放性的心態，超越那些看似合理的事情。這就是查爾斯·道奇森（CharlesDodgson）在《愛麗絲鏡中奇遇記》（Through the Looking Glass, and What Alice Found There,1871）中描述的「早餐前做6件不可能的事」。

數學上，我可以描述一個任何維數的球面。我只要不斷添加新坐標軸就可以了，數學家稱之為「自由度」。按照習慣它們被命名為x1、x2、x3、x4、x5、x6等等。就像笛卡爾平面上的任意一點可以被兩個（x,y）坐標描述一樣，任何一個在17維空間中的點都可以用一組17個的坐標（x1,x2,x3,x4,x5,x6… x15,x16,x17）描述。這樣高維空間中的球面被稱為流形（manifolds）。

從數學視角，一個「維度」只不過是另一條坐標軸（自由度），最終成為一個純粹的符號概念，並不一定與物質世界的任何東西發生聯繫。在1860年代，曾影響過路易斯·卡羅的先鋒邏輯學家奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）總結了這個領域越來越抽象的觀念，強調數學是純粹的「符號的科學」，並不需要與自身之外的任何東西關聯。數學在某種程度上，是在想像的空間中馳騁的邏輯。

數學家在理念世界中自由玩耍，物理學家則不同，他們被限制在自然界中，至少在原則上，必須與物質世界保持一致。然而這一切還是宣告了一種解放的可能性，因為既然數學允許多於三個維度，而且我們認為數學在描述世界中很實用，我們怎麼知道物理空間的維數被限制為3個？儘管伽利略、牛頓和康德將長度、寬度、高度視為公理，我們的世界就不會有更多維度了嗎？

從三維出發

宇宙有多於三個維度這個觀念，又一次通過藝術形式進入公眾意識，這一次是來自文學的猜測，其中最著名的是數學家埃德溫·A·艾伯特（Edwin A Abbott）的《平面國》（Flatland,1884）。這部迷人的社會諷刺作品講述了住在平面國上的一位謙卑的方塊先生的故事。有一天，一個三維生物，球大人，前來拜訪並帶方塊先生去了立體王國。在這個有體積的仙境，方塊先生看見了一個三維版本的自己——立方體，之後開始幻想推進到第四個、第五個和第六個維度。他很疑惑，為什麼沒有超立方體和超超立方體？

悲哀的是，當方塊先生回到平面國，他被視為瘋子，關到了瘋人院。這個故事另一個值得稱道之處在於，它意識到了鼓吹社會慣例的危害。當方塊先生聲稱有其它維度的空間時，他同時也力圖證明其他維度生物的存在——他是一個數學怪人。

在19世紀晚期和20世紀早期，包括許多許多數學家、作家查爾斯·漢頓（Charles Hinton，發明了四維立方體的名稱「tesseract」的和科幻作家）、藝術家達利（Salvador Dalí）和神秘主義思想家鄔斯賓斯基（P D Ouspensky）探索了第四維度的想法以及人們碰到它們會意味著什麼。

之後，在1905年，當時名不見經傳的物理學家阿爾伯特·愛因斯坦發表了一篇論文，將真實世界描繪為一個四維的宇宙。在他的「狹義相對論」中，時間是空間的三個經典維度之外的另一維度。在相對論的數學表述中，四個維度都是緊密相連的，也形成了時空這一辭彙。這種對時空的組合絕對不是任意的。通過這種途徑，愛因斯坦發現有一種非常強大的數學方法出現了，這種方法超越了牛頓力學，並且可以對帶電粒子的行為做出預測。只有在四維的模型中才可以使電磁學得到完整精確的描述。

相對論絕不是簡單的文字遊戲，尤其是在愛因斯坦將狹義相對論擴展為廣義相對論後。多維宇宙有了更深層的物理含義。

在牛頓的物理圖像中，物質在自然力尤其是引力的影響下隨著時間在空間中移動。空間，時間，物質和力是現實中相互獨立的幾個物理要素。在狹義相對論中，愛因斯坦強調時間和空間是統一的，這就將基本的物理要素由四個減少到三個：時空，物質和力。廣義相對論又進了一步，將引力描述為時空本身的結構。從四維時空的角度來看，引力只不過是空間形狀產生的效果罷了。

為了理解這一意義重大的物理圖像，我們先想像一下它的二維類比。假如有一張有彈性的薄膜，我們在上面畫上直角坐標系的網格。現在我們在網格上放置一個保齡球。在保齡球周圍，薄膜就會有伸展形變，所以一些點之間的距離就會變得更遠。我們通過使這個空間不均勻，改變了空間中測量得到的固有距離。廣義相對論說這種空間形變是諸如像太陽一樣的大質量物體對時空造成的影響。這種時空本身和直角坐標之間的偏離也就形成了我們所知的引力。

在牛頓理論中，引力是無中生有的，然而在愛因斯坦的理論中，引力產生於四維流形的內在幾何性質中。在流形中伸展更多，或者和直角坐標偏離更大的地方，引力也就更強。有時人們將其稱為「橡膠膜物理」。在這種物理模型中，使行星繞著恆星轉，恆星繞著星系轉的巨大的力，不過是彎曲空間的副產品。引力實際上是幾何的作用。

如果在四維空間中可以解釋引力的形成，那麼五維空間會給我們帶來什麼科學上的優勢呢？為什麼不試一試呢？1919年，一個叫卡魯扎（Theodor Kaluza）的年輕波蘭數學家提出了這個問題，他想著既然愛因斯坦將引力整合到了時空中，那麼類似的，或許再多加一個維度就可以將電磁力視為時空的幾何副產物。所以卡魯扎在愛因斯坦的方程中又加了一個維度，他很高興地發現在五維空間中兩種力都很好地變成了幾何模型的產物。

儘管在數學上這個模型如魔法般的好，但是問題是這個額外的維度似乎並不和任何物理實際相吻合。在廣義相對論中，這個第四維度是時間；在卡魯扎的理論中，第五維度並不是任何你可以指向，看到或者感覺的東西，它只是在數學上存在。甚至愛因斯坦都不願意接受這個看起來不切實際的創新。他問道，這個維度是什麼？它到底在哪？

管子上的螞蟻

1926年，瑞典物理學家克萊因（Oskar Klein）回答了這個問題，而他的答案看起來像是幻想王國來的。他說，想像你是在一條細長的管子上生活的螞蟻，你可以前後走而感覺不到腳下這個小的環狀的維度。只有你們世界的螞蟻物理學家們可以用螞蟻的顯微鏡來看到這些小的維度。根據克萊因的說法，我們四維時空中的每個點都有一圈像管子一樣的額外維度，這一維度太小以至於我們看不見。因為這個維度尺度的數量級比原子都要小很多，我們一直以來都忽略了這個維度也不足為奇。物理學家只有用超級強大的粒子加速器才有希望看到這麼小的尺度。

在震驚散去後，物理學家們就被克萊因的想法迷住了，在上世紀四十年代，他們對這一理論進行了進一步發展，理論有了更多的數學細節，同時也加入了量子力學的闡釋。不幸的是，這一新的維度的尺度極小，讓我們很難想像如何通過實驗驗證它的存在。克萊因計算出這個小圈的直徑只有10-30厘米。與之相比，氫原子的直徑有10-8厘米，所以我們討論的是一個比最小的原子還要小20個數量級以上的尺度。直至今日，我們都沒有任何辦法看到如此小的尺度。所以這個想法就逐漸失去了關注。

但是卡魯扎並不是一個輕言放棄的人。他相信自己第五維度的想法，他也相信理論的重要意義，所以他決定自己做一個實驗，實驗的項目是游泳。卡魯扎不會游泳，所以就讀了所有能讀到的關於游泳的理論。在他感覺自己已經掌握了足夠多的理論知識後，他陪著家人去了海邊，然後衝進了浪中，驚奇地發現他就這樣遊了起來。在卡魯扎看來，這個游泳的實驗支持了理論的真實性，儘管他最終沒有看到自己心愛的第五維度理論的成功，在六十年代研究弦論的理論工作者又重新拾起了高維空間的工作。

到上世紀六十年代，物理學家們發現了自然界另外的兩種力，這兩種力都是在亞原子尺度作用的。它們叫做弱核力和強核力，這兩種力可以導致一些輻射，也可以將夸克組合在一起形成原子核中的質子和中子。在六十年代末期，隨著物理學家開始探索弦論新的方面（將粒子假設為空間中極小的橡皮筋的振動），卡魯扎和克萊因的想法又重新浮現到了理論工作者的腦海中，他們逐漸開始思考這兩種亞原子力是否也可以通過時空的幾何性質來描述。

後來證明，為了完全包括這兩種力，我們必須在數學描述中再加入另外五個維度。當然，沒有任何先驗的理由來說明必須有五個維度，同時，這些額外的維度和我們的感官經驗沒有任何關係。它們只是存在於數學描述中。所以我們就有了弦論中的10維宇宙。10個維度中有4個是大尺度的時空維度（可以通過廣義相對論描述），另外有6個額外的「緻密」維度（一維用於描述電磁力，5維用於描述核力），這些維度都捲曲在一起，幾何結構極其複雜。

物理學家和數學家正在花費大量的精力來理解這些極小的維度的可能形狀，並試圖找出現實世界中有哪些是與之對應的。技術上來說，這些可能的形式被稱之為卡拉比－丘流形，它們可以存在於任何更高的偶數維度的空間中。這些形式奇怪詭異，又精細複雜，它們構成了一個多維空間中抽象的類別。一個穿過它們二維薄片（這幾乎是我們所知的最好的可視化方式）可以讓人聯想到病毒的晶體結構，它們看起來幾乎是活的。

穿過卡拉比－丘流形的二維薄片。圖片來源：維基百科

描述10維空間的弦論方程有很多版本，但是在上世紀九十年代，普林斯頓高等研究院（愛因斯坦的常常出沒的地方）的數學家愛德華·威滕（Edward Witten）說明假如我們將空間視為11維，問題就會簡單很多。他將這一理論稱為M理論，而對「M」到底代表什麼諱莫如深。通常人們認為M代表膜的英文membrane，但是也有人認為是「矩陣」（matrix），「大師」（master），「迷」（mystery）或「怪物」（monster）。

5維空間中的一個4維泡泡

迄今為止，我們仍然沒有任何證據證明這些額外的維度確實存在，我們仍然像游泳的物理學家一樣，夢想著我們沒有辦法到達的微觀世界——但弦論確實是數學本身的一個有力的結論。最近，這一理論的某個24維的版本又取得了進步，顯示出了和數學的幾大分支之間的相互聯繫，這也就是說，即使弦論最終在物理上不能取得成功，那也會在純理論方面得到豐厚的回報。在數學中，24維的空間十分特殊，有很多神奇的事會在其中發生，比如以一種極其優雅的方式將球體堆疊在一起，雖然現實世界卻不太可能是24維的。大多數弦論方面的理論工作者認為，對於我們所熱愛並居住的世界來說，10維或者11維就足夠了。

還有最後一部分的弦論發展值得關注。1999年，麗薩·蘭達爾（Lisa Randall）（哈佛大學第一位拿到終身教職的女性理論物理學家）和拉曼·桑德魯姆（Raman Sundrum，一位美籍印度裔粒子理論物理學家）提出了很可能還有一個額外的在宇宙尺度上的維度，這個尺度是由廣義相對論描述的。根據他們的「膜」理論(即brane理論，brane是membrane的簡稱)，我們通常認為的宇宙很可能嵌在一個更大的五維空間中，類似於一個超級宇宙。在這個超級空間里，我們的宇宙很可能只是很多共同存在的宇宙中的一個，這些宇宙中的每一個都是5維空間中的一個4維泡泡。

我們很難得知是否能夠證實蘭達爾和桑德魯姆的理論。即使這個想法和現代天文學最開始的發展過程有不少相似之處。歐洲人在500年前幾乎無法想像我們生活的地球之外的其他「世界」，但是現在我們知道宇宙中存在著數以億計的圍繞著恆星旋轉的行星。誰知道是否或許有一天我們的後人會發現數以億計的其他的宇宙，每一個都有自己獨特的時空方程。

理解空間幾何結構是科學的一項重大成就之一，但是很有可能物理學家們在這條路上已經走到頭了。因為在某種程度上來說，亞里士多德可能是對的，對空間擴展的概念在邏輯上可能確實有問題。儘管相對論有卓越的成就，我們知道它對於空間的描述其實並不是完備的，因為在量子層面上，相對論就會失效。在過去的半個世紀，物理學家一直在嘗試將在宇宙尺度上理解的空間和量子尺度上的觀測統一起來，但是一直沒有成功。現在人們越來越覺得這樣的一種統一需要激進的新物理。

正如普林斯頓高等研究院院長羅伯特·戴克格拉夫（Robbert Dijkgraaf）最近所說的，愛因斯坦在發展出廣義相對論後，用了餘生的大部分時間在嘗試「用時空的動力學來構建自然法則，將物理學轉化為純粹的幾何。對於愛因斯坦來說，時空很自然地是無限的科學概念分層中『最基本的一層』。」就像牛頓的世界圖像一樣，愛因斯坦的世界圖像將空間視為最基本的存在，空間是其他一切的舞台，但是在很小的尺度上，當量子性質主導時，相關的物理定律告訴我們，我們習以為常的空間實際上可能不存在。

有些理論物理學家近來產生了這樣一種觀點，認為空間可能其實只是一種更基本的物理概念的湧現，就像溫度就是分子運動的宏觀湧現一樣。正如戴克格拉夫所說：「現在的觀點認為時空並不是開始，而是結果，是複雜量子信息導致的自然結構。「

這種想法的一位主要支持者是加州理工學院的宇宙學家肖恩·卡羅爾（Sean Carroll），他最近說經典空間並不是現實的基本結構之一，並提出我們將四維，10維或11維這些維度如此重視的想法是錯的。戴克格拉夫用溫度來進行比喻，而Carroll讓我們考慮「濕度」，濕度的概念是很多水分子聚集時的一種湧現現象。沒有任何一個水分子是濕的，只有你將很多水分子聚集在一起時才能夠使用濕度的概念，所以空間是由量子層面更本質的東西湧現出來的。

卡羅爾這樣寫道，從量子角度來說，宇宙在多於1010^100個維度的數學王國中演化，也就是一萬兆兆兆兆兆兆兆兆個零，想像這樣大的一個數字幾乎是不可能的，與這個數字相比，已知宇宙中所有的粒子數目都顯得微不足道。然而這些維度中每一個都是由量子方程描述的數學空間中的獨立維度；每一個都是宇宙享有的新「自由度」。

假如笛卡爾知道我們把他的想法延伸了多遠，以及「維度」這個簡單的詞包含的極其複雜內容，他一定會震驚不已。

https://aeon.co/essays/how-many-dimensions-are-there-and-what-do-they-do-to-reality

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