數學概念是真實存在的，還是被人們創造出來的？

在數學中，有很多不符合直覺，但卻經常出現的東西，比如說虛數。因為不符合直覺，所以有些對數學不太了解的人，就會有這樣的疑問：這些數學對象真的存在嗎？

這其實牽涉到了一個相當深刻的數學哲學問題：數學對象到底是什麼？

這個問題自然見仁見智，但我可以講一下我自己的觀點，相信也跟相當一部分數學家的觀點一致。

一言以蔽之：兩者都是，取決於你的視角。

舉一個例子，一幅油畫，它裡面畫的東西是真實存在的，還是畫家創造出來的？

你大概會說，這當然是畫家創造出來的，畢竟畫裡邊畫什麼都可以，寫實的風景可以，印象派的也可以，荒誕不經的也可以，甚至完全抽象的東西也可以。畫裡邊的東西，在現實世界不一定存在，它們除了是畫家創造出來，還能是什麼呢？

但從另一個方向來說的話，畫裡邊的東西，作為畫的一部分，似乎也是真實存在的。比如梵高《星夜》中的星空，在現實中當然不存在，但你要是跟別人提起《星夜》這幅畫，大家都會想起其中星空的模樣。所以，要說《星夜》中的星空並非實在，好像也說不過去。另外，《星夜》中的星空雖然是虛構，但至少也是從現實的基礎上升華而來，刻畫了現實星空的某些方面。在這種意義上，《星夜》中的星空更加有了一點實在的味道。

梵高的《星夜》，圖片來自Wikipedia

數學也是如此。

與大部分人類活動的結晶一樣，數學也是人構建的。許多數學理論，尤其是最前沿最抽象的那些，都很難說是直接描繪了現實中的什麼東西。克羅內克說過：「上帝創造了自然數，其餘一切都是人類的造物。」這就將這個方向的觀點推到了極致。我們甚至可以說，連自然數也只是人類為了方便的創造出來的概念。三個蘋果是存在的，三道門也可以存在，但「三」這個概念，脫離了實際的物質，是否還是真實存在呢？這就是一個很大的疑問。

但數學概念，作為人類活動的結晶，無疑是存在的，只不過不是什麼看得見摸得著的東西，而是作為一種思想而存在。還是拿「三」這個概念做例子，應該沒什麼人會否認這個概念的存在，因為我們天天都在用這個概念。但即使作為一種思想，數學概念也有現實的部分，因為很多數學來源於生活。是因為有了三個蘋果，有了三道門，所有這些真實存在的事物，才讓我們提出了「三」這個概念。「三」，實際上刻畫了現實的一個側面，所以它是現實的一種抽象和延伸。

一切數學概念，都可以用這種眼光去看待。即使有一些數學概念看起來非常複雜抽象，但定義它的人必定有他的需要，而這種概念必定具有某種邏輯必然性，所以才會讓別人想到要定義它。

現在重新舉複數的例子。課本上定義虛數i就是滿足i*i=-1的數，然後以此為依據構建出複數。你也許會覺得，這好像沒有邏輯，不是在亂來么？這是因為課本只能講大部分人能理解的內容。實際上，複數有其邏輯必然性，它是我們想要解方程的結果。實係數方程在實數內不一定有解，但我們可以證明，所有實係數方程在複數內必定有解。也就是說，複數是實數的一種延伸，使得我們可以在上面解任意的方程。我們可以證明，複數是所有這些延伸之中最簡單的一種，這就是複數的邏輯必然性，用數學的術語來說，就是複數域是實數域的代數閉包。所以，定義複數是有理由的。另外的理由，就是複數的確在現實中出現了。電磁學中，利用複數能更好地描述電磁波的傳播，而在量子力學中，波函數甚至只能利用複數來描述。所以，複數的確也描述了現實的某些側面。

是的，複數是人類提出的概念，但難道它作為一個概念就並非真實存在，難道它之中就沒有一點現實的成分嗎？我想未必。

一切數學概念也是如此。它們是人創造的，但也描繪了現實的某些方面，具有邏輯上的必然性，而作為概念，它們必然真實存在。

作者：方弦

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