關於計算與算計的遊戲
前幾年我看過一本叫做《幻世之刺客傳說》的網遊小說（別看，巨坑），小說里，每個用戶在虛擬遊戲中創建賬號時，除了選擇種族、職業之外，還要參與這樣一個互動遊戲：
從1到100之間選擇一個數字，如果所選數字接近系統中所有玩家所選數字平均數的三分之二，可獲得系統的隨機獎勵。
讀到這兩行遊戲規則，我想大部分人的反應會和我一樣，那就是再讀一遍。這個遊戲並不需要玩家對題目進行計算，所需考慮的，只是其他玩家將會如何選擇。也就是說，算出答案，就是這個遊戲的題目本身。
不妨先假設所有玩家的答案會平均分布在1-100的範圍之內，那麼平均數就是50左右，而平均數的三分之二則是33。可是問題並沒有到此為止：33這個數字並不難算，如果大家都知道33是最佳的選擇，答案又怎麼會平均分布在1-100之間？如果大家的答案都在33附近，平均數的三分之二豈不是成了22？而進一步地，如果大家都算出了22這個數字，所選答案都是22左右，平均數的三分之二又會變得更小。
只要這個念頭一起，想像中的平均數就會不斷地以指數衰減，一層層遞歸猶如層層瀰漫不清的煙圈，在虛空中凝結成了一個謎局：別人的遞歸會停止嗎？我應該停止嗎？遞歸會收斂到，可是真的會有人選嗎？
還是後退一步，不做任何假設，進行更穩妥嚴謹的推理為妙。所有人的答案都在1-100之間，所以平均數絕不可能大於100，平均數的三分之二不可能大於66。所以選擇66以上是絕對不可行的。沒有人會選擇66以上的數字，那麼平均數應該不會大於66，三分之二的話是44，選擇44以上的數字絕非明智之舉。那麼繼續，幾乎所有人都會把答案限制在44以下，所以平均數的三分之二應該小於29。於是，29，19，13，9，6，4，3，2，1，0………遞歸的魔鬼再一次露出了它的爪牙，無窮次的遞歸真的可以成立嗎？如果不能成立，問題到底出在哪裡？
美國邏輯學家劉易斯在1969年提出了「公共知識」的概念，他認為，某種東西要成為甲和乙之間的「協約」，就必須成為甲和乙的公共知識，也就是說，甲乙不僅自己要知道，而且要知道對方知道，還要知道對方知道自己知道，還要知道對方知道自己知道對方知道……這是一個無窮的過程。只有所有這些層次的「知道」同時滿足，這份協約才能成為甲乙的「公共知識」，否則就只是「共有知識」，即雙方都知道，但不知道彼此知道的知識。
讀過《三體》的同學一定對「猜疑鏈」這個概念印象深刻（消滅人類暴政，世界屬於三體！誤）。在科幻作家劉慈欣的筆下，相距遙遠的兩個文明難以探知彼此的虛實，難免會相互猜疑，進而引發不可避免的相互消滅。兩個文明要實現和平，保持默契，不僅其自身必須是熱愛和平的文明，而且必須知道對方也是熱愛和平的文明，否則為求自保，只好先下手為強。但這還不夠，雙方還必須知道對方知道自己熱愛和平，還必須知道對方知道自己知道對方熱愛和平，必須知道對方知道自己知道對方知道自己熱愛和平………
層層的猜疑猶如冰冷的鎖鏈，將宇宙中的交流禁錮在一個文明之內，不同的文明猶如在黑暗森林中遊走的獵人，不說話，不發光，只是靜靜地消滅所有的活物。在光年甚至更加廣闊的尺度下，遙遠的文明永遠無法有效交流，因此共有知識不會成為公共知識，推測他人的想法也就不再可能。
（下圖是三體世界派來的水滴以及人類世界的恆星級艦隊23333）
猜數字的遊戲也是這樣的。幾乎所有人都知道66以上的數字不可以選，這一點可以看做是共有的知識。但是大家如何知道別人知不知道這個知識？即使每個人都知道別人知道66以上不能選，又如何保證每個人知道別人知道每個人都知道66以上不能選？
無窮迭代的條件並不能滿足，因為公共知識不存在，而共有知識並不具備無窮次迭代的特徵。
說到這裡，似乎這個遊戲已經無法可解了，其實不然。玩家永遠無法找到一個終極的正確答案，但每次遊戲的玩家不同，不同的玩家們會選擇不同的結果，進而產生一個只適用於該次遊戲的正確答案。
說穿了，這個遊戲就是在評估其他玩家的想法，有多大比例的人會想到第一步，有多大比例的人會想到第二步，有多少人會這樣想，有多少人會那樣想。贏得遊戲的人，會是那個最懂得其他玩家的想法的人。
諸葛亮就是這樣的人。
小時候我一直不明白，華容道截住曹操真的能說明諸葛亮聰明絕頂嗎？當時赤壁之戰，舳艫千里的曹軍被燒得丟盔卸甲，曹操帶著一隊人馬逃到華容道。華容有兩條道，一條大道，一條高山小路。諸葛亮派關羽到小路上埋伏，還特意放起烽煙，曹操望到，便往小路走。
曹操的手下問他：有烽煙就是有埋伏，為什麼還要過去送人頭？曹操卻說：兵法講究虛實，虛則實之，實則虛之。諸葛亮在小路放煙，是故意放給我們看，好讓我們往大路走，我偏走小路，不中他的計。
關羽出發前也和諸葛亮討論過，他很納悶：我在小路放煙，曹操看見就知道有埋伏，他如何肯來？諸葛亮卻說：關將軍不知道兵法虛虛實實之論嗎？曹操懂得用兵，看見小路煙起，肯定認為我虛張聲勢，引他走大路。他偏走小路，正中我的計。
小時候的我並不認為這說明諸葛亮有多聰明，他只是運氣好而已。曹操如果只想到第一步，有烽煙就是有埋伏，就會走大路，關羽撲空。如果想到第二步，虛則實之，實則虛之，那他會走小路，關羽成功。如果再多想一步，諸葛亮故布虛虛實實的迷陣，虛則虛之，實則實之，那他會走大路，關羽撲空。如果再多想一步，諸葛亮知他以虛為虛以實為實，故而虛仍實之，實仍虛之，那他會走小路，關羽成功。所以我那時以為，關羽是否能夠成功，完全取決於曹操的反應，並不是諸葛亮算計得好。
只是我那時畢竟還小，不懂得玩家也是遊戲的一部分，甚至在這種博弈遊戲中，玩家會是遊戲中最為重要的一部分。諸葛亮知道曹操的智力和計謀處在什麼水平，曹操卻不知道諸葛亮，曹操以為諸葛亮最多想到第一步，可諸葛亮卻明白曹操想不到第二步。掌握了其他玩家的策略，就掌握了克敵制勝的關鍵。孫子曰：「知己知彼，百戰不殆；不知己而知彼，一勝一負；不知己不知彼，每戰必殆。」古人誠不我欺也。
為了模擬這個遊戲，我在朋友圈裡發了兩條一模一樣的遊戲規則：「從1到100之間選擇一個數字留在評論區，最接近所有評論的平均數的三分之二的人，可以獲得紅包。」
兩次遊戲的不同之處在於，在第二條朋友圈裡我加了一句「請注意，在上一輪遊戲中，獲勝者選中的數字是18。[機智]」
兩次遊戲的結果分別如下。
圖中橫坐標的每個數字，代表1-5，6-10，11-15這樣一個長度為5的區間，一共20個區間。縱坐標是所選數字落在每個相應區間的玩家人數。
可以觀察到，第一次遊戲中，峰值落在第五個區間，也就是21-25之間。而第二次遊戲的峰值落在第三或第四個區間，也就是11-20之間。前後兩次遊戲規則相同，但大家的策略顯著改變了，為什麼呢？
因為公共知識出現了。
我在第二次遊戲中註明了第一次遊戲的結果是18。我所說的話，每個人都能看到，並且每個人都知道其他人也會看到，且每個人都知道其他人也知道每個人都會看到，而每個人都知道其他人也知道每個人都知道每個人都會看到………這是一個無窮的過程，由於我對這一知識進行了公共宣告，這個知識就成了所有玩家的公共知識。
既然第一次遊戲以18為結果，那麼就一定有相當比例的人已經意識到了多層迭代的可能性，而這一可能性本身，也就由於遊戲組織者的宣告，成為了接近於公共知識的存在。既然多層迭代的可能性從共有知識朝著公共知識的方向邁了一步，那麼玩家們選擇的峰值也就繼續迭代一層，降到了更低的水平。
可是事情並不是到此就結束了：第二次遊戲出現了一些攪局者。
觀察分布直方圖，可以看到統計結果出現了嚴重的右偏，在鐘形曲線的右尾上出現了幾個極端的大數，經過計算得出，這個分布相對於正態分布的「偏度」已經達到了1.9，這說明一些極端數據的存在會使平均值右移，偏離於峰值。
這些極端值是怎麼產生的呢？4個100，1個94，他們就是來攪局的。第一次遊戲沒有出現攪局者，因為大家不知道別人會不會認真對待這個遊戲，感興趣的好友會選擇認真遊戲，不感興趣的好友會選擇直接翻過去，繼續刷朋友圈。如果沒有人關注，攪局者沒有必要展現與眾不同的幽默。第二次遊戲則不同，他們已經知道許多人都參加了第一次遊戲，也知道參加第二次遊戲的人都很認真地想獲得勝利，即使沒有參加遊戲的人也會多多少少關注一下這條朋友圈的評論區。在此時填上一個100，有一種以一己之力改變遊戲結果，影響其他玩家人生軌跡（誤）的成就感。
雖然這部分人很少，但他們選擇的數字都很大，53個人里出現4個100，直接將平均數拉高了6，確實很大程度上改變了遊戲結果。這說明，在一個充滿風險的遊戲中，不僅要合理地估計峰值和方差，也要將一些可能出現的3σ以外的「黑天鵝」事件考慮在內。黑天鵝事件不常發生，但一旦發生，就將是影響整個遊戲邏輯的大事件，所以不能輕易地假設遊戲結果滿足正態分布，在選擇策略的時候除了峰值和方差之外，峰度和偏度也是一定要考慮的重要因素。
博弈遊戲通常都很有趣，各位看官，尤其是這兩次遊戲的玩家，如果有什麼想法或感慨請在評論區隨意吐槽hhhhhhh
（最後放個埃舍爾鎮樓）
TAG:有時言語 |