生活在更多的維度里|混亂博物館
這個物質世界慷慨地滋養了我們的軀體
,
但也殘酷地囚禁了我們的想像。高維空間是什麼樣子
?
這恐怕是所有科學幻想中最無法滿足的那一類了。
根據不同的定義,你或許接觸過許多遐想高維空間的方案,在本期混亂博物館裡,我們首先會從純數學的角度了解高維度的歐氏空間,隨後討論兩種非常現實的高維空間——一種來自艱深的理論,一種來自廣闊的視角。
-文字稿-
額外的時空維度是當代科幻故事中最熱衷的話題,無論《星際迷航》里的曲速率引擎,抑或《星際穿越》里的五維空間,都是這個樣子——這也是20世紀之後的獨特幻想,也是今天最難滿足的幻想。
「人類不可能想像沒有經驗過的事物」,我們寓居的這個三維空間禁錮了我們的眼界,即便道行最高深的數學家也不能想像高維空間里發生了什麼,我們只能像柏拉圖洞穴寓言里的囚徒一樣,從高維事物的投影和特性中管窺蠡測。
這種側面構想的方法很多,最常見的做法是藉助計算機觀察投影,就像三維物體會在二維空間留下二維的投影一樣,高維物體也會在三維空間中留下三維的投影:一個三維的球體從一個二維平面穿過,會投影出一個先增大後減小的圓;同樣,一個四維球體從我們的空間中穿過,也會投影出一個先增大後減小的球。
但如果是四維空間的多面體穿過我們的空間,就會留下一些萬花筒似的複雜形體——經過計算,我們知道四維空間一共有6種正多胞體:5個正四面體圍成的正五胞體,8個立方體圍成的正八胞體或者叫超立方體,16個正八面體圍成的正十六胞體,24個正八面體圍成的正二十四胞體,120個正12面體圍成的正一百二十胞體,還有600個正四面體圍成的正六百胞體——顯然,即便投影也不能幫我們想像得多麼清楚了。
這樣高度抽象的數學概念,給我們留下了一種「高維空間在現實中並不存在,純粹是數學家的想像」的印象,不過事情恐怕比我們想像得還要複雜一些——如很多人已經聽說過的,我們可能生活在一個多達11維的宇宙中。
這是為了調和廣義相對論和量子場論的一種嘗試:廣義相對論極其成功地解釋了大尺度上的萬有引力,我們不久前觀測到的引力波就對它做出了精彩的驗證;量子場論則精確地回答了強力、弱力、電磁力,其它三種基本力在微觀尺度上的來源:粒子是場的激發態,它們互相交換媒介粒子而相互作用。
但是這兩種理論並不統一,如果在空間中的一個點上結合二者,就會算出現一些無窮量的糟糕結果——而弦論就是一種候補的彌合理論:粒子並不是無體積的質點,而是一些振動的弦,自然就不存在無窮量的問題了。經過更詳細的計算,弦論幾乎完美解決了一大批高能物理難題——但是這樣一根弦的運動太複雜了,三維空間放不下它,必須有多達9到10維的額外空間,這樣的空間常用一個卡拉比-丘成桐流形描述,如果你是欣賞3D立體畫的高手,就能從現在的畫面中看到這個流形在3維空間中的投影。然而這個高維空間的大多數維度都蜷縮起來,在宏觀世界裡觀察不到,我們只能想像在足夠小的尺度上,會突然進入一個11維的奇妙世界。
另一方面,並非只有物體存在的空間才有資格被稱為「真實」的空間——所謂空間的維度,就是指能在空間中找到多少個獨立的「坐標」。
就以如日中天的人工智慧學來說,我們經常會訓練一種人工神經網路,識別各種複雜的符號、圖形甚至聲音,其中處理的向量可以擁有成百上千坐標,從實踐上講,這就是在長寬高之外,將顏色、形狀、明暗、連通性等等變數都看作可變的維度,綜合成了一個超高維度的空間——我們可以說,AlphaGo就是在一個高維空間里找到了驚奇的走法。
同樣,在進化上,我們還會研究一種「適應度地形」——就是把生物的各種基因當作坐標,並以生物對環境的適應程度作為一個高度,由此繪製出一個如同地形圖一樣的景觀——顯然,一個生物擁有的基因數量數以萬計,在這個意義上講,真正的進化之路綿延於一個上萬維度的超級空間中,我們觀察到的種種進化規律,都是這個超級空間在4維時空里浮光掠影而已:比如我們會提到一種「中性突變」的概念,就是因為維度越高的空間越容易形成鞍點,地勢平坦,自然選擇迷了路,因此停滯下來。
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