針對模型降階的機器學習

模型降階的作用是降低數值模型（ODEs）的階數，加速模型模型的求解速度，基於機器學習的模型降階方法是具有很大發展潛力的方向。

世界由物質和能量組成，工程科學的目標是理解物質和能量，並試圖模擬和開發任何系統。

許多物理現象可以用數學上相同形式的系統表示，而任何系統都能用一組連續的偏微分方程（partial differential equations，PDEs）或離散的常微分方程（ordinary differential equations，ODEs）表示。同時，任意一組偏微分方程都應該轉化為一個ODEs，可能是線性ODEs或非線性ODEs。因此，需要離散化來估計連續系統的行為。比如，麥克斯韋爾方程（Maxwellequation）就是在連續時間和空間下的描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間的複雜關係。大部分的計算機輔助工具利用數值有限元方法（finite element method，FEM）來準確地在空間上離散化，建立模型，並模擬這些複雜系統。

物理系統的數學建模流程如下：

在矩陣形式系統下求解線性ODEs方程可以利用直接法，比如高斯消去法，和間接法（迭代法），比如Jacobi方法，求解非線性ODEs方程，可以利用Newton方法。這些方法對分析中等規模的問題很適合。但對於大規模的ODEs問題，這類方法往要幾天甚至幾周的時間，因此，需要加速這個模擬過程的演算法和技術。加速這種模擬的一種方式是用簡化的系統替換原始系統，新系統能刻畫原來系統主要的特徵，這種方法成為模型降階技術（modelorder reduction, MOR）。利用該技術可以降低原來系統的複雜度，產生低階的模型來代替原來高階模型。

目前有很多MOR方法，但還沒有哪種方法對所有系統都使用，每種系統都需要利用相應的最合適的降階技術，因此仍需要更先進的MOR技術。基於機器學習的MOR技術最近幾年發展很快，並在多個領域發揮了一定作用。MOR代表了一個重要研究領域，它不僅廣泛應用於電磁學領域，也應用其領域，比如流體動力學、機械學、計算生物學、電路設計、控制理論、生物醫學應用，等等模型降階的方法在文獻(J.R.Koza, 1992)和文獻(S. Panda, 2012)中首次提到，在文獻(S.N.Sivanandam, 2016)中詳細討論了大型矩陣可以簡化為小型矩陣並得到合理的估計。基本的MOR方法在上世紀80年代和90年代大量發表，後來有出現了很多新的MOR方法。所有的MOR方法可以分為5類，分別為頻率域方法、時間域方法、頻率-時間域方法和優化技術。儘管存在許多的MOR方法，仍有許多問題沒法解決，而且，非線性MOR方法（NMOR），以及參數化的MOR方法(PMOR)仍非常不成熟。

參考文獻

Mohamed, Khaled Salah. "Machine Learning for ModelOrder Reduction."2018

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