理解岩石中的數學，或許能發家致富喲

最新 03-21

木頭和石頭，或許是最早被我們的祖先拿來使用的材料了。木製工具的保存時間不長，但有的石器工具樣本據信已有超過上百萬年的歷史了。岩石本身就是一種非常有趣的材料，它們先被製作成工具、再被應用於建築，可以說，岩石塑造了人類的文明。的確，可以說岩石是我們最永恆的材料。

圖一：岩石是一種神奇的材料，它塑造了人類的文明。|圖片來源：Plus

彈性的岩石

當我們看到一塊岩石時，我們看到的一塊非常堅固的東西——確實，這是它作為材料的主要特性。然而，外表是可以具有欺騙性的，岩石還有許多其他的性質，其中還有一些非常明顯。任何曾經歷過地震的人或許都注意到一個事實，即岩石可以表現出彈性。彈性介質可以在（適當大的）力的作用下發生少量形變，其中形變的程度（位移）與力成比例；當力被移除時，彈性介質會返回到其原始的位置。

彈簧就是彈性介質的一個例子。彈簧的伸長與力之間的關係最早是由羅伯特·胡克（Robert Hooke，1635-1704）發現的。彈性材料的一個特徵是它可允許膨脹和壓縮的彈性波。在彈簧中，我們可以通過沿著它的長度發送一個脈衝來觀察這一點。同樣的，岩石也允許波的傳播，例如我們在地震時就能看到的衝擊波。

除了具有破壞性，這些波也可以非常有用。事實上，我們對地球內部的大部分知識都來自於研究這些波在岩石中被反射、折射和衍射的方式。通過解決這種反問題（找到測量效應的起因的問題），我們可以找出地核的屬性。

從數學角度來看，這涉及到求解波動方程。這是石油公司為了尋找石油時會採用的非常類似的方法。為此，他們會引爆一個小型爆炸（通常是壓縮空氣），然後測量反射波的強度，這樣就能探測到海底深處的油田。

上述這種觀測表明，對於岩石而言，短時間尺度內（上萬年）的岩石可以表現出彈性。然而，在更長的時間尺度上，岩石可以表現為不同類型的材料。我們習慣於將岩石視為冰冷、堅固且易碎的物質。然而，在它們形成過程中，岩石是高溫、且處於極高壓力之下的，在足夠長的時間內能像液體一樣流動的。這種行為被稱為粘性。與位移和力成正比的彈性材料不同，粘性材料具有與作用力成比例的速度。

摺疊的岩石

了解了岩石的這些方面後，讓我們能將數學運用到一個特別有趣的問題上：岩石層是如何在長時間的巨大力作用下發生彎曲的？這個問題之所以重要，是因為在大陸漂移的影響下，岩石層會受到來自移動板塊的巨大壓力，而這種力會使得岩層形變從而產生山脈。因此數學可用來預測岩石會如何摺疊，以及山脈會如何形成。

舉個例子，想像一下用 x 軸測量從水平方向對一個未變形的岩石層施加的壓力；用 u 軸表示任何在垂直方向的產生的形變（如圖二所示）。

圖二：未變形的岩石層。|圖片來源：Plus

我們可以用一個四階的微分方程來表示在位置 x 處，壓力 P 所造成的 u 方向的形變：

這裡的 E 是岩石的彈性模量，它測量的是抗變形能力，I 被稱為截面二次軸矩，而a、b、c 是取決於岩石本身的常數。

這個方程被結構工程師稱為梁方程（beam equation）。它用於預測在建築物、橋樑和其他結構中鋼樑（或其他材料）如何承受屈曲力。準確地求解這一方程，對確定結構的安全限值非常重要，將這個方程應用於岩石也表明了應用數學的力量和靈活性。求解方程能讓我們知道岩石層的形狀，其中一個解的例子就是正弦波，它的形狀與弦上的波形相同（如圖三所示）。