愛因斯坦的「黑洞方程」的證明

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1915年11月，在普魯士科學院的演講中，阿爾伯特·愛因斯坦講述的觀點顛覆了人類的宇宙觀。愛因斯坦解釋說，我們並不是居住在一個絕對的幾何空間和時間中，實際上，我們棲息在一個被命名為「時空」的四維現實里，它隨著物質能量的變化而發生著波動。

愛因斯坦將他的神奇創見展示在幾個構成他廣義相對論理論核心的方程中，即愛因斯坦場方程。自二十世紀以來，這個理論已被多個實驗所證實。

然而，即便愛因斯坦的理論似乎很好地描述了我們觀察到的世界，但用以支撐它的數學證明仍然在重重迷霧之中。數學家很少能夠從數學方面對方程予以證明——我們知道它們有效，但我們卻不能確切地說出原因。也是因此，愛因斯坦不得不退而求其次——依靠近似而不是精確的解決方案——通過他人為創造的視角來觀察宇宙。

然而，在過去的一年中，數學家們把廣義相對論的數學部分推向了更大的輿論焦點。有兩組研究人員提出了有關廣義相對論中一個重要問題的證明，這個問題被稱為黑洞穩定性猜想。他們的工作證明，愛因斯坦的方程吻合關於時空行動表現的物理推測：如果震動它，它會像果凍一樣震動，然後到一個穩定的形式，就像它開始的樣子。

「如果這些解不能穩定下來，那就意味著它們不是物理的。他們將僅是一個『數學幽靈』，在數學上存在問題，並且從物理角度來看沒有任何意義，「普林斯頓大學數學家Sergiu Klainerman說。

為了完成證明，數學家必須用愛因斯坦方程來解決中心難題。為了描述時空形狀如何演變，就需要一個坐標系來確定點的位置，如經緯度。然而在時空中，其實很難找到一個可以適用於任何地方的坐標系。

將黑洞「搖一搖」

著名的廣義相對論將時空描述為一張橡皮布。在正常情況下，表面是平整的。但是開始往它上面擲球時，即在宇宙中加入各種天體時，表面發生了「形變「。球體會朝著彼此滾去，而隨著球體的移動，橡膠布的形狀也會隨之變化。

愛因斯坦的場方程描述了時空形變的方式。如果可以給出關於每一點處曲率和能量的方程信息，方程式就能告訴你時空未來的形態。這樣，愛因斯坦的方程其實與任何對物理現象進行建模的方程式一樣，無非是嘗試告訴你 ：這就是球在零時的位置，而這是它五秒鐘之後所在的地方。

宇宙不會給你一個天賜的首選坐標系。 ——Peter Hintz

「這是數學上的精確定量探討，試圖說明物質存在下的時空扭曲情況，」加州大學伯克利分校的研究員Peter Hintz說。在1916年，愛因斯坦發表了廣義相對論之後，德國物理學家卡爾·施瓦茲柴爾德幾乎立即找到了用以描述我們現在所知的黑洞的方程精確解。隨後，物理學家又找到了描述克爾黑洞和R-N黑洞的精確解。

這仍然是描述黑洞的唯一準確解。如果再添上一個黑洞，那麼力的作用就變得太複雜了，以至於除了一些最特殊的情況，當今的數學技術還難以處理。不過，你依然可以針對這組有限解提出一些重要問題。比如說：當你震動一個黑洞時，會發生些什麼？

黑洞穩定性猜想

這個問題現在被稱為黑洞穩定性猜想。這個猜想預測，愛因斯坦場方程的解將在「擾動下穩定」。這個意思簡單來說就是，如果你微微晃動黑洞，周圍時空將首先動搖，而最終它會穩定到一個與你開始晃動時十分接近的狀態。Klainerman解釋道：「大致上，穩定性意味著：我對方程取特殊解，然後稍微擾動它們，即稍微改變一點數據，最終達成的動態結果總是將非常接近原始狀態。」

所謂的「穩定性」結果是任何物理理論都會面臨的重要考驗。要進一步理解穩定性，想像一個比黑洞更為熟悉的例子也許更有用。假設有一個池塘，現在想像一下，你用扔石頭的行為來擾亂池塘。池塘會晃動一下，然後再次變得靜止。在數學上，任何你用以描述池塘的方程（這裡應該是Navier-Stokes方程）的解應該也同樣適用於描述基本物理圖像。如果起始解和長時間後穩定下來的解不匹配，方程的有效性就會受到質疑。

「無論這個方程具有何種性質，或者它甚至可能在數學上是完美的，但如果它與物理上所期望的不符，那麼它就不可能是正確的方程，」Vasy說。

加州大學伯克利分校的數學家Peter Hintz

對於從事研究愛因斯坦方程的數學家來說，穩定性證明比求解方程本身更加困難。考慮到閔可夫斯基空間這種所有時空結構中最簡單的情況，它的愛因斯坦場方程的解發現於1908年，是在愛因斯坦早期狹義相對論的理論背景下發現的。但直到1993年，數學家才設法證明，如果你將這個平坦又空蕩的時空微微搖晃，它最終一定會回歸到平坦、空蕩的初始模樣。 而由Klainerman和Demetrios Christodoulou發現的這一成果，在該領域一直享有很高的評價。

穩定性證明中需要處理的主要困難是：在解的變化條件下，如何持續追蹤四維時空中正在發生的事件。最首要地，就是需要一個坐標系，使我們能夠在時空中識別某個點並測量距離，就像經緯線允許我們定義地球上的位置一樣。但要找到一個適用於時空各個時間點的坐標系並不容易，並且隨著時空形態的演變還要求它依然有效，這更是難上加難。

Hintz在一封電子郵件中寫道：「我們找不到一個一刀切的方式做到這一點，畢竟，宇宙不會給你一個天賜的首選坐標系。」

測量難題

首先得意識到，坐標系是人類的發明創造。其次，並非每個坐標系都能夠定義空間中所有點。

以經緯線為例：它們首先是任意的，製圖員可以將任何想像的線條設為零度經線。雖然經度和緯度的作用是確定地球上的每個位置，但在北極和南極它們卻不具意義。如果你本身對地球一無所知，而只能依賴經緯度讀取數據的話，那麼你很可能會得出錯誤的結論，在一些地方會遭遇到拓撲異常。

如果用來描述物理空間的坐標系統不完全合適，得出的物理空間的性質就有可能出錯，這是難以證明時空穩定性的關鍵所在。

「可能是穩定性確實存在，但由於你使用的坐標不穩定，因此你錯過了這一事實，」劍橋大學研究愛因斯坦方程的數學家Mihalis Dafermos說。

在黑洞穩定性猜想的背景下，它要求坐標系要像貼合著手的手套一樣，無論時空形態的如何改變，坐標系和時空之間的匹配必須始終適宜。如若不然，下列兩個方面都可能會挫敗證明穩定性的努力。

普林斯頓大學的數學家Sergiu Klainerman

首先，坐標系可能會以某種方式改變形態，使其在某些點出現故障（拓撲異常），就像緯度和經度在極點失效一樣。這些點被稱為「坐標奇點」（以區分它們與物理奇點，如實際的黑洞）。它們在坐標系中是未定義的點，從而令我們無法跟蹤持續變化的解。

其次，一個不合適的坐標系可能會掩蓋它要測量的潛在物理現象。為了證明愛因斯坦方程的解在受到擾動之後可以穩定到初始狀態，數學家必須仔細追蹤由擾動引起的時空波動。為了形象地說明，我們還是用池塘做比喻：扔進池塘的石頭會產生波浪，池塘的長期穩定性源於這些波浪會隨著時間的推移而趨於平靜的事實。時空上與這種情況類似，擾動會引發一連串的引力波，證明穩定性則需要證明那些引力波的衰減趨勢。因此證明衰變需要一個坐標系，可以稱為「測量儀」，它被用於測量「波浪」的大小。證明的標準是數學家將看到波浪變平，並最終完全消失。

「衰變必須相對於某些事物來衡量，而這正是出現問題的地方，」 Klainerman說，「即使原則上我有穩定性，如果我不持有正確的測量儀，我也不能證明這一點，因為測量儀不讓我看到衰減，我就沒有波浪的衰減率，也就不能證明穩定性。「

麻煩的是，雖然坐標系統至關重要，但卻並非容易挑選到合適的。「在選擇上，你可以有很大的自由度，」 Hintz說，「它們之中的大部分都很糟糕。」

黑洞穩定性猜想的充分證明要求：證明愛因斯坦場方程的所有已知黑洞解（黑洞旋轉低於一定的閾值）在被擾動後都是穩定的。這些已知的解包括，用非旋轉黑洞時空描述的史瓦茲齊德解，以及克爾系列解。

而本次兩項新的證明都是對全面猜想證明的部分推進。

2016年，Hintz和Vasy在科學預印本網站arxiv.org發布的一篇論文中證明，緩慢旋轉的黑洞是穩定的。但是他們的工作並沒有涵蓋旋轉閾值更高的黑洞。

他們的證明也對時空的性質做出了一些假設。最初的猜想是在閔可夫斯基空間，該空間不僅平坦而空洞，而且也是固定的。 Hintz和Vasy的證明發生在所謂的de Sitter空間中，那裡的時空正在向外加速，這跟實際的宇宙一樣。這種環境變化使得問題變得更簡單，從技術角度來看，這更有利於證明：如果你把一塊岩石扔進一個膨脹的池塘，膨脹會拉動波動並使它們衰減得更快。

「一個正在經歷加速擴張的宇宙，」Hintz說道， 「這將使問題變得更加容易，因為它似乎可以稀釋引力波。」

Klainerman和Szeftel的作品略有不同。他們證明的第一部分在去年11月在網上發布，發生在史瓦茲齊德時空，這更加接近原來更困難的問題設置。他們證明了非旋轉黑洞的穩定性，但他們並未解決旋轉黑洞的解的問題。此外，它們僅證明了狹義攝動的黑洞解的穩定性，這些攝動產生的引力波以某種方式對稱。

兩項工作都致力於尋找合適坐標系。Hintz和Vasy從一個基於近似坐標系的方程式近似解開始，並逐漸提高其結果的精確度，直到它們逼近精確解和一個優良的坐標系。而 Klainerman和Szeftel則採取更多幾何方法來應對挑戰。

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