數學應該是什麼？數學家：她是知識，她是方法，她是藝術，她是樂趣

作者簡介：羅懋康，中國數學會副理事長、國際模糊系統協會副主席、教育部長江學者特聘教授、國家傑出青年基金獲得者、四川大學教授。

我們不是要給大家講多麼高深的數學理論，而是像標題一樣，解答很多同學關心的數學是什麼的問題。

我們今天主要講6個方面的內容，首先是數學應該是什麼，知道了原因後呢，作為我們學數學的人來講就是學了數學幹什麼；要幹什麼就要知道她的優劣，她的長短；然後回到現在，我們目前怎麼學數學；最後，談談將來怎樣用數學。

數學應該是什麼?

第一個問題，為什麼不說數學是什麼，而說數學應該是什麼呢。大家思考一下，這兩個問題含義是不同的。如果是問題是"數學是什麼"，那我今天就要給大家一個定義。但問題是，沒有一個公認的數學的定義，也難以給出一個公認的定義。所以我們只能問"數學應該是什麼"，這裡"應該"就是一個主觀的概念，就是說從我們的角度，我們的需要來說，數學應該是什麼。所以我們從自己的需要出發，探尋數學應該是什麼，但不回答數學是什麼。

數學至少應該具有以下四個功用：她是知識，她是方法，她是藝術，她是樂趣。我們一 一來看。

首先，她是知識。那什麼又是知識呢？我們可以這樣概括來說，知識，是對思維對象或行為對象的性質或規律的認識或經驗。當然對知識有一些要求，主要包括兩個方面。第一個方面，它描述某種思維框架的內涵。這個要求，它自身的唯一標準就是邏輯自洽，就是不要自相矛盾。典型的實例，純粹數學，智力遊戲，思維方式。第二個方面，是描述或作用某些客觀實際。這個方面的知識就比第一個方面多了一個要求，除了邏輯自洽，還要求符合實際。典型實例是工程技術，社會科學，軍事科技。在這些領域，說的通俗點，僅僅要求知識能自圓其說是不夠的，必須還要符合實際，否則要出問題，甚至是致命的後果。好了，由此就產生了一個問題，有沒有符合實際卻又不邏輯自洽的知識呢？有這樣一些例子，但這些例子從不同的層次來看，其本身仍然必須是邏輯自洽的。你比如說工程中對δ函數的定義和使用。δ函數是說在整個數軸上除一點以外，函數值都為0，在這一點函數值定義為無窮，而函數在整個數軸上的積分等於1。這個在邏輯上顯然不自洽，當工程中就這麼用它，就是符合實際。因此δ函數表面的邏輯不自洽只是因為我們站的層次還不夠，如果我們站在廣義函數的角度來看，或者說，我們從極限的角度來理解它，它又是自洽的。所以說任何知識首先的一個要求就是邏輯自洽，如果一種知識連自圓其說都做不到，恐怕下面的事情就比較難辦。原因又何在呢？就是因為邏輯是正確有效的進行理性思維的最基本的規則。如果不合邏輯就意味著你在某些方面一定會出問題。那這裡面就又有一個問題，所謂原因的原因，為什麼邏輯就對呢？邏輯的對就好像我們數學裡的公理一樣，是人類幾千年的實踐所證明了的。實際上，邏輯是人類幾千年符合實踐的經驗的總結，最終被亞里士多德提出。

那麼數學之於邏輯又是什麼關係呢？在數學當中邏輯最基本的表現就是公理，在形式邏輯中，形式邏輯的數學表達就是數理邏輯。在形式邏輯中，最基本的就是以下一些規律：同一律，矛盾率，排中率，充足理由率，以及充足理由率的反面，因果律。同一律的意義是說一個命題的性質在整個論證過程中必須保持穩定，不能開始是張三，後面變成李四了；矛盾率當然就是不能自相矛盾；排中率就是說性質或者範疇的劃分必須明確；充足理由率就是說前提必須成立，並且前提要包含結論，因果律呢，就是把這個反過來，每一個結論必須有一個前提。我們日常生活中有很多不確定性，而不確定性是對確定性的否定，確定性又是由這幾條規律構成的，因此對這幾條規律的否定就構成了不確定性。那麼，這幾條和起來構成確定性，所以只要否定其中的一條，就構成了某種不確定性。因此，我們有五種基本的不確定性，隨機性，模糊性，不穩定性，不完全性，不一致性，它們分別是因果律，排中率，同一律，充足理由率以及矛盾率的否定。由此我們看到邏輯以及邏輯中的數學表現看出，數學思維以及對於我們現實當中的需要進行理性思考的問題是如此紛繁複雜，所以數學上僅僅有了公理，邏輯上僅僅有了對於確定性認識的規律，那還是遠遠不夠的。因此，從數學這個角度，我們就從公理推出了浩瀚的數學結構。從一開始我們就講，對於我們來說，數學應該是什麼，那麼現在我們可以回答說，數學就是針對結構、關係及其變化細化後的邏輯。因此數學能給我們關於理性思維所必需的關於對象的結構、結構及其變化的最基本的知識--基本保障。這一條可以說是最重要的。除去少部分準備以數學研究作為終身事業的同學以外，絕大多數同學將來多多少少要接觸和用到數學以外的很多知識，而對於這些同學，數學知識本身還不是最重要的，數學的思維對大家大幫助會更大。這點我們稍後還會提到。不僅如此，很多問題中對結構、關係及其變化的把握不僅構成必要條件，也幾乎構成充分條件。這個大家將來會有越來越深的體會，數學的思維方法運用好了，可以放到其他領域，包括人文社科，工程技術，甚至包括處理人際關係。

接著看方法，方法和知識是兩個不同的範疇。我們來看數學能給我們提供哪些方法。我們希望這裡的方法能有一些自由度。如果這些方法可以用在數學裡面，當然它很有用，但倘若換到了其他領域，就沒有了用武之地，那效用總感覺沒有完全發揮。所以我們考慮方法的話，更多的還是考慮它的普適性，從這個角度入手。數學當然給我們提供了處理對象的結構、關係及其變化規律的方法，但還不僅如此，當我們進行理性思維時，提煉最主要的性質和關係，暫時排除冗餘信息，顯然是提高思維效率的必要方式。因為我們如果要考慮結構、關係及其變化，第一步就是提煉。比如問你2個蘋果加上2個梨子是幾個水果，一種方法就是背下來，哦，2個蘋果加上2個梨子是4個水果，另一種方法就是提煉，提煉的結果就是"加法"，提煉出來的東西是什麼，這就是關係。所以我們要利用數學中的思維方法的話，第一步就是提煉。同時，數學還給我們提供了提高理性思維效率的模式和方法。比如說，微積分給我們提供了這樣一個思維模式，他考慮的是局部和整體，有限和無限間的變化關係。我常給我的研究生說，當你拿到一個對立的問題，你能在兩個矛盾的對立面間自由轉換，從一個概念連續地、無限階可微地轉化到另一個概念，那你的思維靈活性就夠了。局部與整體，有限和無限就是這樣的範疇。再像抽象代數告訴我們的是個體之間結合對應等運算關係確定的結構。幾何呢，告訴我們曲率、度量、連通等內蘊性質確定的結構。

下面我們舉個例子，看看從數學思維可以推導出什麼樣的思維方法。比如我們免不了都要進行抽象，那抽象到什麼程度才算對呢。比如我們提出兩類抽象的準則。第一類是正確抽象準則：一個概念或對象對一類現實背景的抽象是正確的，如果該類現實背景總是可以（定性的或定量的）無限逼近改概念或模型。這個是正確的，那正確的又是不是完備的呢，也就是說是不是把該抽象的都包含在裡面了呢，這就是下面完備抽象準則：一個概念或模型對一類現實背景的抽象是完備的，如果該類現實對象的總體總是（定性的或者定量的）無限逼近該模型或概念。這就給咱們判斷一個抽象是否正確，是否完備的一個判別準則。那麼這個準則也就是咱們數學衍生出來的思想方法的實例之一。

再比如說極端性命題，在社會現實生活中，任何具有傾向性的言論或行為T（注意，這已經超出了數學的範疇），對於其傾向的極端P，均有P的領域U，使得T進入U之後，T的正確性不再成立。這樣說是為了嚴格，也是為了靠近數學的表達方式。其實很簡單的說，社會上一些言論、行為、思想，倘若到了極端的程度，你不用細分析它，它一定有問題。隨便哪個極端，無論是極左還是極右。由此也就有了極端性命題的推論，也就是適度性推論：現實社會中，任何具有傾向性的言論或行為的正確性只能在其正反極端之間一個範圍更小的區域中成立。有同學可能會聯想到中庸之道，注意，兩者的定位不同。這裡我們是把它作為一個方法來用，而中庸之道是作為一種行為準則。又比如說萬有性命題：社會現實中，對於任何具有傾向性的言論或行為或事件，對於與之相關的任何一方，都存在使之向於自己有利的方向解釋或發展的可操作、可實現方法。這個思想方法又能帶給我們什麼呢？有同學可能會想到代數大定理一樣，只是一個存在性定理，一元n次方程總有解，你又不告訴我解在哪。但是注意，有沒有解就能給你去尋找解的信心，不然連有沒有解都不知道很可能做到一半就沒有信心了。而確定了有解，則給了我們找到解的信心，從而去尋找並找到解。這些都是從數學的思想方法都到的。又比如絕對性定理：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都不能絕對成立。

我舉個例子說，比如"人不為己，天誅地滅"，這裡的人是指基於一定社會屬性的人的全體，是全稱命題，那這個肯定有問題，又比如說類似的"人皆向善"，就一定也有問題。因此就有一個絕對性推論：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都存在反例。那同學要問了，這個有什麼用呢？我舉個例子，你面對一個群體，現在要下一個判斷，這個判斷決定著你的決策。如果沒有這些思想方法，你從"人不為己，天誅地滅"這些觀點出發，推演你的結論，那你就等著倒霉吧。再像道德性命題：賦以道德品性序的社會成員個體的集合在任何時候都呈正態分布。這個也是數學思想方法在現實中的應用，任何一個社會，在它的道德標準下進行量化排序後一定是正態分布的。以及後面的利害性推論：全稱命題"人不為己，天誅地滅"、"人都是自私的"、"人為財死，鳥為食亡"、"人的行為都由其自身利益驅動"、"人性本惡"及其等價命題在任何時候都存在反例。我剛才已經說了，這些是存在性命題，它只告訴你存在反例，沒有告訴你怎要找反例，但是如果你不知道存在反例，而去做決策，那麼恐怕就要犯很大的錯誤。而有了這些命題，你就會知道對於具體問題，你會一個個人的具體分析，而不會一概而論。

數學第三方面的功用是藝術。先來看看什麼是藝術。這裡需要提醒的是，我在這個所做的很多定義其實都是根據數學思維進行的定義。通過這些定義也是來告訴大家怎樣廣泛而靈活的運用數學思維。倘若你之前沒有看過藝術的定義，那麼你能從邏輯或者說數學思維的角度自己給一個定義嗎？我們來看，所謂藝術，就是為人們所需（理性）或所悅（感性）的某一方面能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。下面就舉幾個例子。

比如下面的西施，女媧，拉奧孔，米洛的維納斯等。還有比如戰爭，注意，戰爭也是一門藝術。比如長勺之戰，赤壁之戰，淝水之戰。其中淝水很有意思，它給我們提供了三個成語：投鞭斷流，草木皆兵，風聲鶴唳。又比如說毛澤東主席的四渡赤水，淮海戰役。注意，各個國家的軍事教科書中，淮海戰役都是被列為以少勝多的經典戰役。還有朝鮮戰爭第二次戰役。我不清楚大家對這段歷史熟不熟悉。順便說一下，近年來有一股風氣，就是對過去的一切東西，都進行詆毀式的攻擊。我不敢肯定這個是有組織的，但至少是有害的。我們來看看數據，這個可不是我說的，是美國自己的朝鮮戰爭紀念碑上刻的，就在華盛頓。

美國的朝鮮戰爭紀念碑：

美軍＋聯軍（不含美軍）：死亡、失蹤－1,161,523

美軍＋聯軍（不含美軍）：負傷－1,167,737

美軍＋聯軍（不含美軍）：戰鬥損失－2,329,260

他上面寫的是死亡和失蹤，但大家想想在朝鮮那個地方仗打完了，人找不到，基本上就等同於死亡。在這些人員損失中，聯合國軍方面承認由志願軍造成的損失將近2/3；因此，志願軍以39萬餘人的總損失，對敵人造成的60餘萬人的死亡、失蹤損失，總計殲敵則在140萬人以上！）。我們回頭再來定義戰爭的勝負，單從人員的傷亡情況看，誰贏誰輸已經很清楚了。我們現在來定義戰爭的勝利，如果一方的戰爭目的在他可以接受的代價下達到了，那就叫取得了戰爭的勝利。美國的目的是打掉金日成，而我們最開始沒想到能打到三八線。只是希望能在鴨綠江邊給朝鮮留塊地方，實在不行就退到中國建立流亡政府。而下面這句是美國人自己說的，志願軍的戰鬥始與鴨綠江，止與三八線，誰勝誰負大家心裡很明白。在比如說馬拉松戰役，大家應該看過《斯巴達的三百勇士》，至少盜版嘛。還有坎尼之戰（公元前3世紀布匿戰爭，漢尼拔，迦太基，全殲羅馬軍團，羅馬統帥、執政官瓦羅率370人逃脫，7萬人被殺；10萬士兵，翻越比利牛斯山脈，深入羅馬境內作戰13年！"費邊主義")。以及著名的奧斯特里茨戰役（拿破崙大破俄奧聯軍）。

數學作為藝術，是指其對人類抽象思維能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。比如大家都非常熟悉的Fermat大定理。 多麼漂亮，但是整整358年，它耗盡了全世界無數專業和業餘數學家畢生的心血。還有像龐卡萊猜想：單連通3維閉流形同胚於3維球面。也是前年才完成證明。還有四色定理：1852，倫敦的大學生Francis Guthrie向老師Morgen提出。1976，美國伊利諾斯大學Kenneth Appel和Wolfgang Haken用電子計算機證明"四色問題"。將四色問題轉化為2000個特殊圖形的四色問題，然後在電子計算機上計算1200個小時，完成上百億次判斷。這些大家都是比較熟悉的。數學的第四個功用是樂趣。數學（主要是純數學）作為幾乎完全依賴於純粹的抽象思維的體系（更為抽象的哲學尚有部分"符合實際"的要求），有著非常純粹的結構美--像黎曼ζ函數——將無窮乘積和無窮和進行轉換，這樣的一種結構美。此外，人都希望自己聰明；而數學這種思維的純粹很符合人們心目中"檢驗、提高聰明程度"的印象，因此，思考數學問題也是一種樂趣。我能思考你不能，這樣有一種滿足感。

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