坐標系困境：廣義相對論險入歧途

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阿爾伯特·愛因斯坦在1915年底提出了他的廣義相對論。而實際上，在此兩年之前他就已經完成了它。學者在研究他那兩年間的筆記資料時，找到了廣義相對論完整的方程式，最多只缺少一些細節性的東西。匹茲堡大學科學史及愛因斯坦研究專家John Norton說：「這確實應該已經是最終的理論。

原來，在廣義相對論提出的最後關頭，愛因斯坦發現了一個嚴重的缺陷，這令他在懷疑與發現的歧途上顛沛流離，幾近讓他抹殺掉自己最大的科學成就。而他當時所做的決定至今依然深刻影響著數學和物理學。

以下就是這個缺陷的內容：廣義相對論旨在取代牛頓經典力學體系。這意味著它必須能完美解釋牛頓方程所有能解釋的物理現象，也能解釋那些牛頓方程所不能解釋的現象。然而在1913年，愛因斯坦認為自己的新理論無法解釋弱引力場的情況，而這一情況牛頓體系可以處理得很好。

「回想起來，這只是一個奇怪的缺陷」 Norton說。

為了糾正這一缺陷，愛因斯坦認為必須捨棄這個新生理論中的一個核心特徵。

廣義相對論方程，即愛因斯坦場方程，描述了時空的形狀是如何隨著物質和能量的存在而改變的。為了描述這種改變，我們需要在時空上強加一個坐標系，以便標明各點的位置，就好像我們日常生活中使用的經緯度一樣。

對於坐標系而言，最重要的是要認識到它們是人類的創造物。或許，在一個坐標系中我們將某點標記為（0,0,0），而在另一個坐標系中我們卻將它標記為（1,1,1）。這個點的物理屬性實際上是沒有改變，雖然我們的標記並不相同。

「這些（坐標系）標籤是屬於我們的，而不是屬於這個世界自身的。」加州大學爾灣分校的科學哲學家James Weatherall說。

愛因斯坦最初希望他的方程是與坐標無關的（他稱之為「廣義協變」），這意味著無論你因為機緣巧合使用何種坐標系，它們都會無差別地產生正確、一致的宇宙描述。但愛因斯坦此時已經讓自己深信不疑，為了解決他所「犯下的錯誤「，他必須放棄」廣義協變「。

廣義協變原理：物理定律必須在任意坐標系中都具有相同的形式，即物理定律必須在任意坐標變換下是協變的。

他的這一企圖不僅失敗了，並且讓他錯得更深：他試圖表明，協變不是他的理論可能具有的特性，何況從更原則的層面上講，它也是不可能的，因為它違反了因果律。正如愛因斯坦在一項研究中所說的那樣，「對於一流的頭腦來說，杜撰似是而非卻又無法確證的爭議論點，是再容易不過的事情了。」

好在愛因斯坦及時退出了這趟渾水。1915年末，他獲悉聲望卓著的德國數學家大衛希爾伯特，也獨立地接近完成廣義相對論構想。這讓愛因斯坦重拾了對自己這個偉大創想的信心，在那幾個欣喜若狂的星期，愛因斯坦又拿出了手中雪藏了兩年的廣義相對論方程，並採用了上文提到的理論處理。 同年，在普魯士科學院的四次講座中，他首次宣布了這一偉大成就。毋庸置疑，這徹底改變了我們對物質世界的看法。

我們知道，今天的愛因斯坦場方程是廣義協變的。他們表述的是在能量和物質存在的情況下時空如何變化，而更重要的是，這是放之整個宇宙皆準的物理真理，無論你用什麼坐標來標記事物。

然而，數學家和物理學家仍然在圍繞坐標系統的問題進行研究，正是這些問題困擾著愛因斯坦，拖緩了廣義相對論的問世。如今，科學家在統合廣義相對論與量子理論方面做了大量的努力，原因部分就在於，難以發展出同樣具有廣義協變特性，適用愛因斯坦場方程量子引力理論。

Weatherall說：「從某種意義上說，你可以認為，我們無法找到一個合適的量子引力理論的原因是，我們不知道如何在對任何坐標系都無依賴性的前提下來闡述愛因斯坦場方程的解。

在實踐過程中，最大的挑戰恰恰在於想清楚如何「打破「愛因斯坦方程的廣義協變，也就是說，如何選擇一個適用於特定問題的特定坐標系。對於那些研究黑洞穩定性猜想的數學家來說，這個問題尤其突出，這在最近一篇文章《愛因斯坦黑洞方程的證明》中已經述及。根據感興趣的特定問題，分析一些坐標系是否比其他坐標系更好，找出可供選擇的最優坐標系，以及如何隨著解的變化來調整坐標系，這實在是數學裡的一門高級藝術。

如果有一個適用於每個問題和每個時空配置的單一通用坐標系統，新的證明將變得十分容易。但是，正如愛因斯坦在那段猶豫不決的時間中所發現的那樣，宇宙不承認任何一種特殊的坐標選擇。

「不僅僅是找不到這樣的選擇，」Weatherall說，「我們認為愛因斯坦教給我們的一件事情就是，根本就不要期望有這樣的選擇。」

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