關於上一篇文章的進一步解釋

寫那篇指紋拓撲的文章的時候，我只是瀏覽了一下Penrose的文章，大概領會了一下精神，感覺自己寫出來的東西也足夠了，大家隨便看看，是吧，意思意思就好。沒想到，大佬們太認真（），說我沒解釋清楚，後來郭哥私下和我交流，我才明白最應該補充的是什麼。又把Penrose的文章好好看了看，裡面的圖我就直接摳來用吧。下面就用比較平白的語言，講一講最重要的想法。

首先，我們說一下方向場，想想水流，幾乎每一處水流都有一個方向。抽象出來，我們就可以畫出方向場，如下面的圖，是各種不同的具有一個奇點的方向場，每一點的方向就是該處方向線的切方向，奇點的方向無法定義。

接下來，我們看一個含有幾個不同奇點的方向場。

這些奇點並不是可以隨便組合起來的，它們之間要相互「協調」，具體說來就是，假如你在這個方向場里任意行走，每一時刻都調整自己的方向與你所處的點的方向一致，那麼：

1、你可以從場里的任意一個點走到另一個點，沒有你走不到的地方；

2、你每次走到離你很近的下一個位置時，都只需要轉過一個很小的角度。

還記得我們在上一篇文章中是怎麼給奇點分配指標的嗎？你逆時針繞著奇點走一圈，如果凈效應是你逆時針轉了180度，就記為+1，凈效應是順時針轉了180度，就記為-1。我們還按照這個標準，來看看上面圖中的奇點。上次有人說沒看出來是怎麼轉的，那這次我再做個示範，請一定要仔細想明白。

這樣逆時針走了一圈後，你順時針轉了360度，因此，中間那個奇點的指標為-2。同樣地，剩下兩個奇點的指標都是+2。這些奇點的指標之和為+2。

現在，我們不去內部繞了，就沿著這個場的邊界，即那一圈虛線來走。任選一點出發，繞一整圈回到原點，發現什麼？凈效應是你逆時針轉了360度，就好像你圍著一個指標為+2的奇點走了一圈！也就是說，如果你完全看不見內部的奇點是怎麼分布的，只是繞著邊界走了一圈，就能準確地報出內部奇點的指標之和。這是巧合嗎？當然不是，這對每一個「協調」的方向場都是成立的。

這就是最關鍵的一句話：通過邊界可以獲取內部的信息。

其實想想也很好理解，比如你要想連續地完整地把兩個奇點繞完，還要穿過位於它們中間的部分，那麼中間的部分你肯定得經過兩次，而且這兩次方向相反，在凈效應中就相互抵消了，於是只有最外面這一圈即邊界起了作用。

回過頭再想想上一篇文章，文末我們說只需繞著手掌邊緣走一圈，就得到內部所有奇點的指標之和為-4，是不是恍然大悟？你可以形象地理解為，所有奇點的效應都集中到指縫那裡表現出來了。如果你現在沒有拿起筆的衝動，真的真的看到這裡打住最好。

如果你實在太學術，真的要去把指紋圖標上箭頭走一走，就會發現你無法把它做成「協調」的方向場。這是因為指紋中的奇點跟我們上面討論的方向場中的還不太一樣。怎麼說呢？比如你硬要在loop或triradius里規定方向，然後把所有的方向都轉180度，這時找一個合適的角度，你會看到一個和之前一模一樣的triradius；然而在一般的方向場中就不成立了，比如在開篇的第一幅圖中，如果你把所有的方向都調180度，本來是都匯聚到這個點，變成了從這個點發散出去，再也不可能是原來的樣子。不過對於指紋，我們用邊界推測內部的討論仍然適用，因為我們只要求和方向線平行，具體的細節就不展開了。

對讀者致以我崇高的敬意。

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