數學的智慧與美
數學這門古老的學科，從古至今人們一直在挖掘它，研究它，使用它，它給人類創造了無窮無盡的財富，數學為何有如此魔力?
數學的智慧
數學為人類社會提供了可靠的有效思維方式-----歸納與演繹相結合的思維方式。歸納與演繹的思維方式本來是一般科學的思維方式，但是它在數學中具有最明確的形式，數學是它的最好的載體，而且可以說它是由數學研究而發生、發展的。數學的思維和素養也有利於人們形成遇事能從根本點出發進行有條理的分析思考，有助於形成實事求是、不人云亦云、不盲從、不迷信權威的作風。
數學是整個教育管道中的泵,他為整個基礎教育提供推動智慧發展的動力,數學知識雖不是能力,但他能活化人們的智慧,培養人們的能力。
數學自古以來就呈現出不凡的威力。
在古代，人們憑著極好的眼力在茫茫星海中先後找到了水星、金星、木星、土星、火星。1766年提替斯總結出一個經驗公式：
設地球與太陽的平均距離（即一個天文單們）是10，那麼各行星與太陽的距離可表示如下：
水星4=4+0（3.9）
金星7=4+3（7.2）
地球10=4+6（10）
火星16=4+12（15.2）
？28=4+24（？）
木星52=4+48（52.0）
土星100=4+96（95.4）
括弧內是實際距離，它和左邊計算出來的數很接近。
左邊的數是用數列0、3、6、12，……加上4得出來的，這數列除第一項外，每一項都是前一項的二倍。 1772年，德國天文學家波德對此進行整理後公開發表，並定名為"波德定律"，於是引起了天文學家的極大興趣，大家都認為在相當於28那個空當里，可能有一個未被發現的行星。
1781年3月13日，赫歇爾發現土星之外還有一個行星，後來被定名的天王星，它和太陽的距離是192，和波德定律計算的結果196很接近。這更增強了人們尋找與太陽距離為28的那個空當里的新行星的信心。終於在19世紀的第一個晚上，皮亞齊在義大利西西里島的巴勒莫天文台上核對星圖時，在金牛星座附近偶然發現一顆8等星與星圖不合。第二天晚上他發現它已向西移動。他連續觀測了40天，一直到2月11日，終於因勞累過度病倒了。後來他將觀測結果寫信告訴歐洲大陸的天文學家。當時正值拿破崙遠征埃及，英國艦隊封鎖了地中海。直到1801年9月，大陸上的天文學家才知道這件事，但那時這顆星已接近太陽，被太陽光所掩，望遠鏡不管用了，怎麼辦？
對此，有人提出一個設想，能否根據有限的觀測數據確定出新行星的軌道？當時很多天文學家曾致力於研究這一問題，但未能成功。而當時年僅24歲的德國數學家高斯，沒有用望遠鏡，只在辦公室里夜以繼日地用鉛筆在紙上計算，經過幾個星期的努力，創造了一種只需要三次觀測數據就可以定位行星橢圓軌道的計算方法，從而成功地解決了這一問題。
於是天文學家查赫根據高斯的方法，造了一個覓星表，並預報了距離太陽為28的這顆星的位置。直到這年的除夕，天氣大晴，天文學家終於在預報的位置上找到了這顆星。這顆星的發現顯示了數學理論的巨大威力。
這顆星後來命名為穀神星，與太陽的距離27.7.和波德定律大致相符。
通常人們把數學分為純粹數學與應用數學。「數學彷彿是冰山，冰山在水面之下的部分是純數學領域，水面之上為尖點，那是我們可以看見的數學向其他領域的滲透和應用。如果沒有水下大得多的部分，水面之上的尖點將會消失。」
純粹數學研究數學本身提出的問題，如費馬大定理，哥特巴赫猜想，幾何三大難題等。這些問題與生活無關，不用於技術，不能改善人類的生活條件。應用數學卻不同，它直接應用於技術。
現代戰爭離不開數學.
1991年海灣戰爭時，有一個問題放在美軍計劃人員面前，如果伊拉克把科威特的油井全部燒掉，那麼衝天的黑煙會造成嚴重的後果，這還不只是污染，滿天煙塵，陽光不能照到地面，就會引起氣溫下降，如果失去控制，造成全球性的氣候變化，可能造成不可挽回的生態與經濟後果。五角大樓因此委託一家公司研究這個問題，這個公司利用流體力學的基本方程以及熱量傳遞的方程建立數學模型，經過計算機模擬，得出結論，認為點燃所有的油井後果是嚴重的，但只會波及到海灣地區以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至於產生全球性的後果。這對美國軍方計劃海灣戰爭起了相當的作用，所以有人說：「第一次世界大戰是化學戰爭(炸藥)，第二次世界大戰是物理學戰爭(為原子彈)，而海灣戰爭是數學戰爭。」
高新技術離不開數學.
"高技術本質上是一種數學技術"。這種觀點已為越來越多的人所接受。許多西方公司意識到：利用計算技術去解決複雜的方程和最優化問題，已改變了工業過程的組織和新產品的設計。數學大大地增強了他們在經濟競爭中的力量。無怪乎美國科學院院士J．G．Glimm不僅稱數學為非常重要的科學，而且說它是授予人以能力的技術。他說："數學對經濟競爭力至為重要，數學是一種關鍵的普遍適用的，並授予人以能力的技術。"時至今日，數學已兼有科學與技術兩種品質，這是其它學科所少有的，不可不知。
由於對數學重要性的重新認識，在歐洲建立了"歐洲工業數學聯合會"，以加強數學與工業的聯繫，同時培養工業數學家去滿足工業對數學的要求。在一篇有關的報告中，列舉了歐洲工業中提出的20個數學問題，其中包括：齒輪設計、冷軋鋼板的焊接、海堤安全高度的計算、密碼問題、自動生產線的設計、化工廠中定常態的決定、連續鑄造的控制、霜凍起伏的預測、發動機中汽輪機構件的排列、電化學繪圖等等。
數學的美
一向以嚴謹著稱的數學到底美不美? 有位數學家極力主張數學同藝術一樣美。這位數學家就是"劍橋學派"的創始人哈代。且聽哈代怎麼說來著：數學家的造型，同畫家和詩人一樣，也應該是美麗的；數學概念應該就像色彩和語詞一樣，以和諧優美的方式結合起來。美不美是檢查的第一關，蓬頭垢面的數學不能與世長存。力主數學美的，還有同是英國人的學界大老羅素，他講道：數學，如果公正地看，包含的不僅是真理，也是無上的美--一種冷峭而嚴峻的美，恰像一尊雕刻一樣。為了說明數學的這種種「冷峭而嚴峻的美」、「無上的美」，我們可以舉出一些初淺的例子。
數學有簡潔美。內涵深刻的數學往往在形式上簡單得出奇，比如牛頓第二運動定律，拉普拉斯方程，愛因斯坦質能轉換公式，等等，一個簡明形式就囊括了世間萬事萬物。完全像我國晉朝文人陸機的《文賦》里歌唱的，「籠天地於形內，挫萬物於筆端」。數學具意念上的抽象美。我們世界明明是三維的，數學家偏偏研究無窮維。抽象得不但世間常人那裡找不到對應物，而且就在數學家本人的腦袋裡，也只有同"精鶩八極，心游萬仞"的高揚精神狀態進行關照。特別，數學還帶著一種創造上的通感(Synaethesia)美。通感人能夠於色彩中聽到聲音，在語詞里看見顏色……而一個個高明的數學家，能夠在代數里看得見形象的幾何，於數論中聽到美妙的曲線，從博弈論當中嗅聞出經濟數量關係和人性的味兒……正因為數學美，所以她迷人；正因為她迷人，所以吸引著許多數學家終生孜孜不倦、苦心孤詣地為她而獻身。
數學是自然科學之中這種吸引力和親和力最強的一門學科!真正的數學家把不懈追求當作無比歡樂，而又將歡樂當成藝術享受。雪萊有詩說：「美好事物是一種永久享受!」數學美，數學家才會樂在其中吧。世上沒有什麼力量，能夠把一個數學家從他的「美人」身邊拉拽出去。數學家可以說是世上最忠貞的情人。他或者她一輩子會許多許多次墮入愛河，但每一次都是對同一個「人」。果然，有些大數學家有了數學，就真的不再同人結婚，像牛頓，伽羅華，哈代，諾特(現代代數創始人)等。那麼，到底能不能給數學裝上感情通道、讓數學同人們的愛情相連相通呢? 法國曾經拍過一部愛情電影，《我愛上的是正切函數》(C" est la tangente que je préfère)，講的是一個花季少女同一個盛年男人的故事，說明他們並不是兩個沒有交集的集合，肯定這兩個地球高級生物邂逅相遇而墮入情網的概率不為零。電影最後暗示，數學同電磁場一樣，是一片美麗得動情的場! 電影的主人公，一位是聰明絕頂的高三女生，另一位是從東歐來到巴黎的男士。他們兩個人的目光在公交車上不期而遇，於是爆發了愛情、也醞釀了故事。女孩子薩碧娜出生在雙親「下崗」而窮困潦倒的家庭。可是，女孩子卻是一個數學天才。她像數學上的「奇點」一樣孤芳自賞，她披著數學定理的耀眼輝光高翥雲端；她從不加入同學愚蠢的「發燒友」集合、混沌團「閉包」什麼的。對於數學上的方程和圖像薩碧娜卻能迎刃而解，可是現實生活里的X、無解方程，加上兜不出來的拓撲圖形太多太凶太亂太狠，她無法應付。薩碧娜於是高呼：數學!數學!來救救我呀!謝謝數學、謝謝那個像漸進線一般從遙遠神秘的東方翩然來臨的男人，薩碧娜終於從數學裡找到了能量，找到了如同雙曲線飛向浩淼和空曠一樣飛出家庭和困境的力量……數學美麗，還在於她像絕色佳人一樣有一種"惹是生非"的挑逗美。數學研究得愈深入，就會發現更多哲學問題，藝術問題，美學問題，甚至陌生難解的人生問題，叫人爭論，令人遐想，促人深思。這裡有一個特別具有挑逗美的例子，美籍奧地利數學家哥德爾證明了「不完備性定理」。這定理大膽直面「嚴格」、「完備」、「和諧」等完美指標，斬釘截鐵地說數學的形式系統都是「不完備的」，其中一定包念著無法證明的命題，既不能證明它「真」，又不能確認其「假」!定理使德國數學泰斗希爾伯特苦心經營了幾十年的嚴格完美大廈傾倒一旦。後來，這條定理引發一場場數學的和哲學的車輪大戰。哥德爾定理於是有了許多首不同唱詞。其中一個說法是：任何一部VCD或DVD都有不能夠放像的碟片!於是，喜好深刻的好事者又推出了一個有趣的哲學命題：人類到底能不能認識自身呢?計算機科學奠基人圖靈提出的「不可計算性」的思想，也有這樣強大的挑逗威力，而且又引出了計算機能不能超過人類哲學問題……一個孤高遺世的數學定理或理論，當它在數學之外引起大海汪洋的思潮、如痴如醉的辯論的時候，人們回眸一下，難道不承認這正是數學的美嗎?美人尤物的特點難道不正是「回眸一笑百媚生，六宮粉黛無顏色」嗎?能夠挑撥起世界頂尖知識精英的無窮情思、澎湃心潮，不美，能夠做到嗎? 所以，一位德國數學家才引用伏爾泰的話這麼講：阿基米德腦海里的綺思遐想，比荷馬的要多得多喲! Da war mehr Fantasie im Kopf Archimedes als in dem von Homers! 所以，英國大物理學家狄拉克也才說：上帝使用了美麗的數學來創造這個世界!
TAG:附中教師發展工作室 |